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文档简介

各种积分之间的联系第1页，共38页。（优选）第五节各种积分之间的联系第2页，共38页。格林公式

定理1第3页，共38页。(1)边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.第4页，共38页。证明(1)yxoabDcdABCE第5页，共38页。同理可证yxoabDcdABCE两式相加得第6页，共38页。证明(2)D第7页，共38页。第8页，共38页。GDFCEAB证明(3)由(2)知第9页，共38页。第10页，共38页。第11页，共38页。第12页，共38页。解第13页，共38页。解第14页，共38页。xyoLyxo第15页，共38页。xyo(注意格林公式的条件)第16页，共38页。第17页，共38页。xyoL1.简化曲线积分简单应用AB

第18页，共38页。第19页，共38页。2.简化二重积分xyo第20页，共38页。3.计算平面面积第21页，共38页。解第22页，共38页。第23页，共38页。二、高斯公式第24页，共38页。证明第25页，共38页。根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法第26页，共38页。第27页，共38页。同理和并以上三式得：第28页，共38页。Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：第29页，共38页。解第30页，共38页。第31页，共38页。第32页，共38页。解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式第33页，共38页。根据对称性可知第34页，共38页。故所求积分为第35页，共38页。例10.设

为曲面取上侧,求解:

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标机动目录上页下页返回结束第36页，共38页。三、斯托克斯(Stokes)公式

定理.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与

的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1

与平行z轴的直线只交于一点,

设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则有简

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