2027届高考数学一轮总复习10.6离散型随机变量的分布列及其数字特征（课件）

第十章计数原理、概率10.6离散型随机变量的分布列及其数字特征高三一轮数学内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.了解离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.202320242025新课标Ⅰ卷T21

全国一卷T14

新课标Ⅱ卷T18

必备知识回顾1.离散型随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有____的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi__0(i=1,2,…,n).(2)p1+p2+…+pn=__.1知识梳理唯一≥1

Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1+x2p2+…+xnpn平均水平

标准差偏离程度aE(X)+ba2D(X)均值与方差的四个常用性质(1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.(2)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(3)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(4)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).知识拓展1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(3)随机试验的结果与随机变量有对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(

)(4)方差或标准差越小,则随机变量的偏离程度越小.

(

)基础检测×√√√

X123PA3.(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)随机变量X与Y满足Y=2X+1,若D(X)=2,则D(Y)=(

)A.8 B.5 C.4 D.2解析:D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=4×2=8.故选A.A4.(人教A版选择性必修第三册P67练习T3改编)有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计

(

)A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较B解析:已知样本方差D(X乙)=3.4,D(X甲)=11,由此估计,乙种水稻的方差为3.4,甲种水稻的方差为11.因为3.4<11,所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.故选B.关键能力提升考点1

离散型随机变量分布列的性质【例1】

(多选)已知离散型随机变量X的分布列为则下列选项正确的是

(

)A.m+n=0.7B.若m=0.3,则P(X>3)=0.5C.若m=0.9,则n=-0.2D.P(X=1)=2P(X=6)X1246P0.2mn0.1ABD【解析】

对于A,由分布列的性质,可得0.2+m+n+0.1=1,解得m+n=0.7,故A正确;对于B,若m=0.3,可得n=0.4,则P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.5,故B正确;对于C,由概率的定义,知m≥0,n≥0,故C错误;对于D,由P(X=1)=0.2,P(X=6)=0.1,得P(X=1)=2P(X=6),故D正确.故选ABD.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.规律总结

X-101PabcBD

X0123P

ξ0123PmACD

求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义,写出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(ξ),D(ξ).规律总结【对点训练2】

某班级有甲、乙两名同学参加数学竞赛,甲获奖的概率为0.6,乙获奖的概率为0.5,且两人是否获奖相互独立.(1)求两人都获奖的概率;解:两人都获奖的概率P=0.6×0.5=0.3.(2)设X为两人中获奖的人数,求X的分布列和数学期望.解:依题意,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2,P(X=1)=0.6×(1-0.5)+(1-0.6)×0.5=0.5,P(X=2)=0.3,所以X的分布列为期望E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1.X012P0.20.50.3考点3

均值与方差中的决策问题【例4】

为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求X,Y的概率分布列;【解】

依题意,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1,∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,∴X的概率分布列为Y的概率分布列为X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.2(2)求X,Y的数学期望与方差,以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.【解】由(1)可得,E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环),E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环),D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21,由于E(X)>E(Y),说明甲平均射中的环数比乙高,∵D(X)<D(Y),说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定,∴甲比乙的射击技术好,故应选拔甲射手参加奥运会.随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,则再用方差来决定.规律总结【对点训练3】

甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏,令甲班同学目测的误差为X(单位:cm),乙班同学目测的误差为Y(单位:cm).根据游戏记录,统计结果为P(X=-2)=0.1,P(X=-1)=0.2,P(X=0)=0.4,P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.1;P(Y=-2)=0.05,P(Y=-1)=0.15,P(Y=0)=0.6,P(Y=1)=0.15,P(Y=2)=0.05.(1)分别列出随机变量X,Y的分布列.解:根据已知条件,X的分布列是Y的分布列是X-2-1012P0.10.20.40.20.1Y-2-1012P0.050.150.60.150.05(2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度?解释你的理由(可以通过观察给出答案,但必须包含必要的计算过程).解:直观观察X的分布离散程度较大,所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度.由(1)知,E(X)=-2×0.1-1×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0,E(Y)=-2×0.05-1×0.15+0×0.6+1×0.15+2×0.05=0,所以E(X)=E(Y),所以要通过两个班数据的方差比较,说明哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度.因为D(X)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,D(Y)=(-2)2×0.05+(-1)2×0.15+02×0.6+12×0.15+22×0.05=0.7,所D(X)>D(Y),故乙班的情况波动小,所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度.高考真题教材典题(北师大版选择性必修第一册P202习题6-2

A组T6)在一个箱子里装有编号为1,2,3,4,5的完全一样的5个球,现从中同时取出2个球,设X表示取出球的最大编号,求X的分布列.考教衔接

高考真题教材典题(北师大版选择性必修第一册P202习题6-2

A组T6)在一个箱子里装有编号为1,2,3,4,5的完全一样的5个球,现从中同时取出2个球,设X表示取出球的最大编号,求X的分布列.

课时作业75

基础巩固AX012P7pp

AX012Pa

D

Dξ-1012P2aa2ab

C6.(5分)(2025·贵州黔东南一模)在规定时间内,甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5,0.6,0.5,且这三人是否能按时完成任务相互独立.记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为X,则E(X)=(

)A.1.5 B.1.6C.1.7 D.1.8B解析:由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=0.5×0.4×0.5=0.1,P(X=1)=0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.5+0.5×0.4×0.5=0.35,P(X=3)=0.5×0.6×0.5=0.15,所以P(X=2)=1-0.1-0.35-0.15=0.4,所以E(X)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.故选B.7.(6分,多选)(人教A版选择性必修第三册P69例6改编)已知投资甲、乙两种项目获得的收益分别为X,Y,分布列如下,则

(

)A.m+n=0.5B.投资两种项目的收益期望相等C.E(2X+1)=4,D(2X+1)=6.4D.投资甲项目的风险比乙项目高ABDX/百万元-102P0.2m0.6Y/百万元012P0.30.4n解析:对于A,依题意可得,0.2+m+0.6=1,所以m=0.2,0.3+0.4+n=1,所以n=0.3,所以m+n=0.5,故A正确;对于B,C,E(X)=-1×0.2+0×0.2+2×0.6=1,E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,所以E(X)=E(Y),E(2X+1)=2E(X)+1=3,故B正确,C错误;对于D,D(X)=(-1-1)2×0.2+(0-1)2×0.2+(2-1)2×0.6=1.6,D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,则D(X)>D(Y),又E(X)=E(Y),所以投资甲项目的风险比乙项目高,故D正确.故选ABD.

ABD

9.(5分)某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的分布列为则P(X≥9)=______.解析:由分布列可得,0.06+0.14+m+2m+0.2=1,解得m=0.2,则P(X≥9)=0.4+0.2=0.6.0.6X678910P0.060.14m2m0.210.(5分)(2026·河南南阳一模)某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,则该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,公司应要求顾客交保险金为____________元.(p+0.1)a解析:设保险公司应要求顾客交x元保险金,若ξ元表示公司每年的收益额,则ξ是一个随机变量,ξ的取值范围为{x-a,x},P(ξ=x-a)=p,P(ξ=x)=1-p,则ξ的分布列为因此,公司每年收益的期望值E(ξ)=p(x-a)+x(1-p)=x-ap,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,则x-ap=0.1a,解得x=ap+0.1a=(p+0.1)a.ξx-axPp1-p11.(18分)对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据:887

939

643

996

715

838

1082923

901

1182

1035

863

772

9431035

1022

855

1118

768

809将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级.

(2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/亩)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由.作物种类年降水量偏少适中偏多甲8128乙12107丙71012解:作物丙最适合在该地区推广种植.理由如下:设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润(单位:千元)分别是随机变量X,Y,Z,则X的分布列为故种植甲则每亩地获利的期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10,Y的分布列为X812P0.50.5Y12107P0.20.50.3故种植乙则每亩地获利的期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5,Z的分布列为故种植丙则每亩地获利的期望E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10,所以E(Y)<E(X)=E(Z),即种植甲、丙的获利的期望值比乙更高,不考虑推广乙,又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4,D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2+0.3×(12-10)2=3,D(X)>D(Z),故种植丙时获利的稳定性更好.因此,作物丙最适合在该地区推广种植.Z71012P0.20.50.312.(20分)已知某汽车模型公司