连续域-离散化设计

连续域—离散化设计1设计原理和步骤将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输出都是模拟量，因而可等效为连续传递函数De(s)A/D输出与输入关系：系统低通且采样频率较高D/A的频率特性：等效连续传递函数计算机实现算法D(z)的计算表示：设计时常近似为：连续域—离散化设计采样频率远大于系统闭环频带，ZOH工作在低频段一阶近似式、二阶近似式※考虑ZOH，设计等效传递函数——修正S平面设计；※

T较小时，不考虑ZOH（不进行修正S平面设计）；连续域-离散化设计的步骤如下

第1步：根据系统的性能（如频带宽度等），选择采样频率。根据需要设计抗混叠前置滤波器。第2步：考虑ZOH的相位滞后（S平面修正设计），根据系统的性能指标和连续域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数Ddc(s)。第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉冲传递函数D(z)，使两者性

能尽量等效。第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，进行下一步；否则，重新进行设计。改进设计的途径有：选择更合适的离散化方法。提高采样频率。修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。2各种离散化方法最常用的表征控制器特性的主要指标：零极点个数；系统的频带；稳态增益；相位及幅值裕度；阶跃响应或脉冲响应形状；频率响应特性。等效离散D(z)D(s)数值积分法一阶向后差法一阶向前差法双线性变换法及修正双线性变换法零极点匹配法保持器等价法z变换法(脉冲响应不变法)离散化方法各种离散化方法对于控制器D(s)

D(z)工程易实现性关心D(z)对D(s)的保真度：稳定性；稳态增益；频率特性；时域响应；串联性；1.一阶向后差分法(1)离散化公式实质：将连续域中的微分用一阶向后差分替换做z变换，得s与z之间的变换关系比较向后差分(矩形积分)法1.一阶向后差分法(2)主要特性①

s平面与z平面映射关系当

=0（s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的圆周。当>0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。当<0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定③变换前后，稳态增益不变。④离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有相当大的畸变。向后差分法的映射关系(3)应用

这种变换映射关系畸变严重，变换精度较低。工程应用用得较少。2.一阶向前差分法(1)离散化公式实质：将连续域中的微分用一阶向前差分替换做z变换，得s与z之间的变换关系比较

向前差分矩形积分法2.一阶向前差分法(2)主要特性①

s平面与z平面映射关系②若D(s)稳定，则D(z)不一定稳定[改进方法是适当减少采样周期T]。(3)应用这种变换的映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。平移放大关系3.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）

(1)离散化公式实质：将梯形面积近似代替积分进行z变换，得s与z之间的变换关系比较

梯形积分法（u(k-1)——前(k-1)个梯形面积之和）物理意义：用梯形面积近似积分值思路：Z变换查表法麻烦，无串联。考虑一种简单代数置换法s=f(z)；1/s与1/(z-1)应有所对应。

由积分环节特例推广。突斯汀(Tustin)变换由Z变换定义将改写为形式：

然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：计算出得双线性变换公式：3.双线性变换法(2)主要特性①

s平面与z平面映射关系当

=0（s平面虚轴)映射为z平面的单位圆周。当>0（s右半平面），映射到z平面单位圆外

。当<0（s左半平面），映射到z平面单位圆内

。②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定s域角频率z域角频率为

D

3.双线性变换法(2)主要特性③频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。

当采样频率较高足够小

非线性压缩。低频段接近。图中①图中②图中③图中④S：Z：S：Z：S：Z：S：Z：例：突斯汀变换得到图中S表示图中Z表示※低频段相近，高频段相差大；※3.双线性变换法(2)主要特性④变换前后，稳态增益不变。⑤双线性变换后D(z)的阶次不变，且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：

(3)应用①这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍。②主要缺点：高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。4.修正双线性变换(1)离散化方法解决“双线性变换产生频率轴非线性畸变”问题的方法。

1是设计者选定的特征角频率依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系，首先修正原连续域传递函数，然后再进行双线性变换的结果。(2)主要特性该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特性。但由于采用了频率预修正，故可以保证在

1处连续频率特性与离散后频率特性相等，即满足(3)应用由于该方法的上述特性，所以主要用于原连续控制器在某些特征频率处要求离散后频率特性保持不变的场合。频率修正对要求高的系统，预先进行频率修正，保证某特征频率离散后不变※选择对系统影响最大的特征频率（转折频率、自然频率等），要求在此频率处，离散前后辐值相等；※计算修正频率大小（存在频率上的畸变）。若要求离散后的数字频率在则S域频率应预先修正到；※修正D(s)为；并对其作突斯汀变换※按照稳态增益相等原则，确定D(z)增益。（上一步改变）（此步可能产生稳态增益误差）※直接预修正突斯汀变换例：预修正突斯汀变换举例①选择作为特征频率要求在自然频率处辐值响应相同②计算修正频率③修正原连续函数④对作突斯汀变换⑤稳态增益匹配

突斯汀变换特点※

S平面与Z平面单位圆的映射关系。D(s)稳定，则D(z)也稳定；※稳态增益维持不变；（修正的变换引起变化）※一对一映射。无频率混叠现象，但频率轴产生了畸变；采样周期愈高，近似线性段愈宽。※串联性：串联环节可以分别变换后相乘。※

D(z)阶次不变，且分子、分母同阶。5.零极点匹配法

(1)离散化方法特点：零、极点分别按匹配若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加(z+1)n-m因子确定D(z)的增益k1的方法：按右式来匹配若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即也可选择某关键频率处的幅频相等，即5.零极点匹配法

(2)主要特性①零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。②

由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s)稳定，D(z)一定稳定。③当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有(z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频率混叠。6.其他离散方法(1)z变换法（脉冲响应不变法）可保证连续与离散环节脉冲响应相同；稳定性维持。但z变换比较麻烦，且多个环节串联时无法单独变换；产生频率混叠；稳态增益变化。应用少。※采样后仍是，只要，则脉冲响应在采样时刻相等。6.其他离散方法(2)带保持器的z变换①带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）

②一阶保持器z变换法（斜坡响应不变法）注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同，稳定性和稳定增益不变。但要进行z变换，同样具有z变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。由于和零阶保持器z变换法类似的原因，这种方法应用得较少。问题：“T影响系统稳定性”与此处的“D(s)稳定D(z)也稳定”矛盾？①；假设②（左半平面映射到单位圆内）●分析原系统（图示系统）设计如图随动系统。对象（典型二阶振荡系统）阻尼比自然频率要求品质指标：①稳态速度误差系数；②调节时间（内），峰值时间，超调量调节时间；峰值时间超调量；速度误差系数3连续域—离散化设计举例3连续域—离散化设计举例●选择采样周期