常用试验设计的资料分析

常用试验设计的资料分析演示文稿第1页，共170页。试验统计学第四章概率论与数理统计的基础知识本课程使用区靖祥编著的《试验统计学》一书作为课本。全程为50学时，占2.5学分。第二章常用的试验设计第三章试验数据的整理第五章参数区间估计第八章常用试验设计的资料分析第六章统计假设测验第七章方差分析第九章直线相关与回归第一章绪论第十章协方差分析第2页，共170页。第二节随机区组设计试验的资料分析第一节完全随机设计试验资料的分析第三节拉丁方设计试验的资料分析第八章常用试验设计的资料分析第四节裂区设计试验的资料分析第五节条区试验设计的资料分析第3页，共170页。单因素完全随机排列的试验资料采用单向分类资料的方差分析进行分析。第七章的例7.1、例7.7都属这类，这里不再重复。这里只讨论多因素完全随机试验资料的统计分析当试验的环境条件比较均匀时，可以采用完全随机排列的试验设计。第八章常用试验设计的资料分析如果一个单因素试验用完全随机方式进行安排，称为单因素完全随机试验，试验的目的在于比较考察因素不同水平之间的优劣。如果一个多因素试验用完全随机方式进行安排，称为多因素完全随机试验，试验的目的在于比较各考察因素不同水平之间的优劣；如果每处理组合有多于一个观察值，还可以考察因素间的交互作用。第4页，共170页。二、多因素随机区组试验资料的统计分析当试验的环境条件具有从一端向另一端逐步变化的趋势时，可以采用随机区组的试验设计。第八章常用试验设计的资料分析一、单因素随机区组试验资料的统计分析

如果一个单因素试验用随机区组方式进行安排，称为单因素随机区组试验，试验的目的在于比较考察因素不同水平之间的优劣。如果一个多因素试验用随机区组方式进行安排，称为多因素随机区组试验，试验的目的在于比较各考察因素不同水平之间的优劣；如果每处理组合有多于一个观察值，还可以考察因素间的交互作用。下面讨论这些设计的试验资料的分析方法第5页，共170页。拉丁方设计对横向和纵向两个方向的环境变化实行局部控制。由于拉丁方实行了两向的局部控制，因而具有较高的试验精确度，常用来布置具有多因素的高级试验。

第八章常用试验设计的资料分析在拉丁方设计中，横向区组中的小区数和纵向区组中的小区数都等于处理数。为了使误差自由度大于或等于12，处理数应多于4。但当处理数多于8时，小区数目太多，试验难以控制。因此拉丁方设计一般只适用于处理数为5~8的试验。

如果将一个因素的

t

个水平(即

t

个处理)安排在一个t×t拉丁方中，就得到一个单因素t×t拉丁试验资料。

如果将一个多因素的试验用拉丁方设计安排，就得到一个多因素拉丁方试验。二、多因素拉丁方试验资料的统计分析一、单因素拉丁方试验资料的统计分析下面讨论这些设计的试验资料的分析方法第6页，共170页。裂区设计是一种特殊的两因素试验设计方案，其试验安排形式已经在第二章中详细讨论。这里介绍利用裂区设计布置的试验资料的分析方法。第八章常用试验设计的资料分析二、主处理按拉丁方，副处理按随机区组一、主副处理都按随机区组安排的裂区设计试验资料的分析安排的裂区设计试验资料的分析第7页，共170页。条区设计是裂区设计的一种演变形式。适用于两个因素都需要较大面积的试验。条区试验设计能为两个主效应和它们之间的互作提供不同的估计误差。第八章常用试验设计的资料分析条区设计试验资料的统计分析方法第8页，共170页。ClassisOverThankYou第9页，共170页。分两种情况进行讨论：

㈠每处理组合只有一个观察值的情况

如果试验中有两个考察因素，因素A有a个水平，因素B有b个水平，共有ab个处理组合，在试验中按完全随机排列，不设重复。那么，此类资料观察值的数学模型为：其中，为第ij个处理组合的观察值，二、多因素完全随机试验资料的统计分析μ为总体平均数，是一常量；为A因素第i个水平的效应值，为B因素第j个水平的效应值，为第ij个处理组合（观察值）的机误。⒈二因素完全随机试验资料，每处理组合只有一个观察值第10页，共170页。对这样的数据，应采用第七章第五节所介绍的每处理组合只有一个观察值的两向分类资料(p.149)的分析方法进行分析。方差分析表如表7.25所示(p.124)。

方差分析表中的总变异将分解为因素A各水平之间的变异、因素B各水平之间的变异和试验误差三个部分。没有交互作用。由于不能分析因子间的交互作用，这样的“多因素试验”实际不能算作真正意义上的多因素试验。只有当事先知道因子间的交互作用并不重要时，才采用这种设计。第11页，共170页。

现将该节所举的例7.9稍微改动，变成例8.1的样子，说明这类资料的分析方法。

例8.1欲考察6个水稻品种在4种不同的土壤类型中的表现，准备了24个花盆，每类土壤装6盆，各盆中栽6个水稻品种中的一种，完全随机安放在网室中。产量数据如p.125表7.26所示。如果品种和土壤类型都是固定效应，试对资料进行适当的分析。第12页，共170页。6361.563.065.062.5151236937839037562.5063.2563.5061.7566.2560.75250253254247265243表7.26例7.9的产量资料及数据整理59626564A664626562A561626764A460636460A365686765A260616260A1B4B3B2B1土壤类型（B）品种（A）第13页，共170页。

分析过程和分析结果如p.124例7.9所示。它不能考察品种和土壤类型之间的交互作用，因此不是真正意义上的多因素试验。如果因子之间的交互作用不可忽略时，每个处理组合应多设几盆（重复），变成为每处理组合中含有多于一个观察值的情况，那将会是一个好得多的试验设计。第14页，共170页。其中，为第ijk个处理组合的观察值，

如果试验中有三个可控因素，因素A有a个水平，因素B有b个水平，因素C有c个水平，共有abc个处理组合，在试验中按完全随机排列，不设重复。那么，资料观察值的数学模型为：⒉三因素完全随机试验资料，每处理组合只有一个观察值为总体平均数，为A因素第i个水平的效应值，为B因素第j个水平的效应值，为C因素第k个水平的效应值为A因素第i个水平与Ｂ因素第j个水平的交互作用效应；为A因素第i个水平与Ｃ因素第k个水平的交互作用效应；为B因素第j个水平与C因素第k个水平的交互作用效应。为残差。

第15页，共170页。由于每个处理只有一个观察值，不能估算Ａ、Ｂ和Ｃ三个因素的二级互作，如果该项互作效应存在，将归到残差项里去。这和设计的试验，对一级互作效应的估算也往往存在精确度不高的现象。对于多因素试验，一般都要求每处理有多个观察值，没有重复观察值的多因素试验不是真正意义上的多因素试验，这里就不举例了。

第16页，共170页。如果资料中有两个考察因素A和B，其中A因素有a个水平，B因素有b个水平，于是共有ab个处理组合。每个处理组合含n个观察值，整个试验资料共有abn个观察值。㈡每处理组合有多于一个观察值的情况⒈二因素完全随机试验资料，每处理组合有多个观察值第17页，共170页。其中，为第ij个处理组合的第k个观察值观察值;

此类资料观察值的数学模型为：为第ij个处理的效应值；μ为总体平均数，是一常量；为A因素第i个水平的效应值；为B因素第j个水平的效应值；为A、B因素的互作效应值；为第ij个处理组合第k个观察值的机误。第18页，共170页。从以上数学模型看出，对于这类资料的分析可以分两步进行：⑴先按模型将总变异分解为处理(组合)间变异和误差变异；这是一个单向分类的方差分析。方差分析表如表7.33所示。如果这一步的F测验不显著，就不必进行第二步。分析就此结束。⑵如果第一步的F测验显著，应进一步按模型将处理变异分解为A因素各水平间的变异、B因素各水平间的变异和交互作用(AB)引起的变异。第19页，共170页。如果资料中有三个考察因素A、Ｂ和Ｃ，其中A因素有a个水平，B因素有b个水平，C因素有c个水平，于是共有abc个处理组合。每个处理组合含n个观察值，整个试验资料共有abcn个观察值。⒉三因素完全随机试验资料，每处理组合有多个观察值第20页，共170页。此类资料观察值的数学模型为：（i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b；k＝1，2，…，c;k＝1，2，…，n

）其中，为第ijk个处理组合的第l个观察值；μ为总体平均数，是一常量；为A因素第i个水平Ｂ因素第j个水平C因素第k个水平构成的处理组合的效应值，为第ijk个处理组合（观察值）的机误。为A因素第i个水平的效应值，为B因素第j个水平的效应值，为C因素第k个水平的效应值为A因素第i个水平与Ｂ因素第j个水平的交互作用效应；为A因素第i个水平与Ｃ因素第k个水平的交互作用效应；为B因素第j个水平与C因素第k个水平的交互作用效应。第21页，共170页。

下面举例两个例子，例8.2是一个两因素试验的例子；例8.3是一个三因素试验的例子。当有更多考察因素时，可以按这两个例子的情况类推，进行分析。第22页，共170页。

例8.2欲考察3个水稻品种(A1、A2、A3)在4种不同的土壤类型(B1、B2、B3、B4)中的表现，准备了24个花盆，每类土壤装6盆，其中每个水稻品种在各类土壤中栽了2盆。完全随机安放在网室中。产量数据如表7.36所示。如果品种和土壤类型都是固定效应，试对资料进行适当的分析。分析过程和分析结果见第128页例7.10所示。第23页，共170页。

例8.3

选择四个品种（A因素；a=4）体重相同的幼鳖，雌雄性别（C因素；c=2）各半，分别注射三种不同的生长素（B因素；b=3），在背甲上做好标记后，放养在同一个池中。一年后，每处理组合抽取5只（n=5），称量它们的体重，得数据如表8.2所示，如果品种、生长素和性别等三个因素的效应都是固定的，试对资料进行适当的分析。第24页，共170页。黄成达编制黄成达编制黄成达编制黄成达编制黄成达编制8.417643544298889C27.815213073987897C1B3

7.815213113997896C26.29611973186566C1B2A16.610892233387675C25.88411792958457C1B1

值察观重体性别(C)生长素(B)品种(A)表8.2例8.3的试验数据B1C126956281827845.6C22384219973613.8A2B2C13231615592253.0C244767281667845.6B3C145176231275294.6C2879884032216008.0B1C136459271677295.4C244388271697295.4A3B2C146339251516255.0C2467793323110896.6B3C158484291858415.8C233576241285764.8B1C13534419753613.8C22242313371692.6A4B2C12571318883243.6C234974271717295.4B3C17522420984004.0C296452261626765.2总和6544186192285.45第25页，共170页。第一步：按单向分类资料方差分析的方法，将总变异分解为处理间变异和试验误差。分析过程分为两个步骤：第26页，共170页。a=4；b=3；c=2；n=5；abcn=120.第27页，共170页。误差平方和

=621.7－281.3＝340.4

第28页，共170页。表8.3

第一步的方差分析表变异来源dfSSMSF值F0.05F0.01处理组合间23281.312.23043.449**1.6422.009误

差96340.43.54583总变异119621.7如果F测验显示处理间差异不显著，分析到此结束。本例中，从方差分析表可见处理组合间的差异极显著，因此需要进行第二步。⒉F测验与方差分析表第29页，共170页。第二步：处理间变异进一步分解为各因素主效应引起的变异和因素间交互作用引起的变异。

为了作这些分解，需要制作AB二向表、AC二向表和BC二向表，分别如表8.4、表8.5和表8.6所示。第30页，共170页。5.4506.0755.4004.87514373059049466563802537586154551213899935.45111132375866542432161954.10151295165123464532A45.50272259089165535854A35.10234098027153634347A27.104536915305213817062A1B3B2B1表8.4AB二向表0123第31页，共170页。A因素间自由度dfA

＝A因素水平数－1＝a-1=4－1＝3B因素间自由度dfB

＝B因素水平数－1＝b-1=3－1＝2AB互作自由度dfAB＝dfTAB－dfA－dfB

＝11－3－2＝6或dfAB

＝dfA×dfB＝(a-1)(b-1)=3×2＝6AB组合的自由度dfTAB

＝组合数－1＝ab-1=4×3－1＝12－1＝11第32页，共170页。＝／10－3564.3＝194.337586=cn=2×5=10AB组合的平方和第33页，共170页。＝／30－3564.3＝140.1111132=bcn=3×2×5=30A因素间平方和第34页，共170页。＝／40－3564.3＝28.95143730=acn=4×2×5=40B因素间平方和第35页，共170页。AB互作平方和SSAB

＝SSTAB－SSA－SSB

＝194.3－140.1－28.95＝25.25第36页，共170页。5.455.855.05215010123201918095594431977239675.45111132559446543513034.101512976051236657A45.5027225136171658481A35.1023409119251538766A27.10453692279721311499A1C2C1表8.5AC二向表黄成达编制012第37页，共170页。A因素间自由度dfA

＝A因素水平数－1＝a-1=4－1＝3C因素间自由度dfC

＝C因素水平数－1＝c-1=2－1＝1AC互作自由度dfAC＝dfTAC－dfA－dfC

＝7－3－1＝3或dfAC

＝dfA×dfC＝(a-1)(c-1)=3×1＝3AC组合的自由度dfTAC

＝组合数－1＝ac-1=4×2－1＝8－1＝7第38页，共170页。＝／15－3564.3＝165.355944=bn=3×5=15AC组合的平方和第39页，共170页。＝／60－3564.3＝19.2215010=abn=4×3×5=60C因素间平方和第40页，共170页。AC互作平方和SSAC

＝SSTAC－SSA－SSC

＝165.3－140.1－19.2＝6.00第41页，共170页。5.455.855.05215010123201918097286842017308515.45143730728686543513036.085904929745243132111B35.40466562405021612789B24.88380251907319592103B1C2C1表8.6BC二向表黄成达编制01第42页，共170页。B因素间自由度dfB

＝B因素水平数－1＝b-1=3－1＝2C因素间自由度dfC

＝C因素水平数－1＝c-1=2－1＝1BC互作自由度dfBC＝dfTBC－dfB－dfC

＝5－2－1＝2或dfBC

＝dfB×dfC＝(b-1)(c-1)=2×1＝2BC组合的自由度dfTBC

＝组合数－1＝bc-1=3×2－1＝6－1＝5第43页，共170页。＝／20－3564.3＝79.172868=an=4×5=20BC组合的平方和第44页，共170页。最后用处理变异减去各主效应和一级交互作用计算ABC互作：ABC互作自由度：dfABC

=dft-dfA

-dfB

-dfC

-dfAB

-dfAC

-dfBC

=23-3-2-1-6-3–2=

6或dfABC

=dfA×dfB×dfC

=3×2×1＝6ABC互作平方和:SSABC=SSt-SSA

-SSB

-SSC

-SSAB

-SSAC

-

SSBC

=281.3-140.1-28.95-19.2-25.25-6-30.95=30.85BC互作平方和SSBC

＝SSTBC－SSB－SSC

＝79.1－28.95－19.2＝30.95第45页，共170页。黄成达编制621.70119总变异3.546340.4096误

差2.9962.1951.4505.14230.856ABC4.8333.0914.364*15.47530.952BC3.9922.7000.564ns2.0006.003AC2.9962.1951.187ns4.20825.256AB6.9063.9405.415*19.20019.201C4.8333.0914.082*14.47528.952B3.9922.69913.170**46.700140.103A2.0091.6423.449**12.230281.3023处理组合间F0.01F0.05F值MSSSdf变异来源表8.7总的方差分析表本例A、B、C三个因素都为固定模型01第46页，共170页。黄成达编制期望均方(EMS)MSe误

差MSABCABCMSBCBCMSACACMSABABMSCCMSBBMSAAMSt处理组合间混合模型(AB固定，C随机)固定模型均

方变异来源表

三因素完全随机设计各均方的期望均方(1)第47页，共170页。黄成达编制随机模型MSe误

差MSABCABCMSBCBCMSACACMSABABMSCCMSBBMSAAMSt处理组合间均

方变异来源表

三因素完全随机设计各均方的期望均方(2)第48页，共170页。MS1=MSA+MSABCMS2=MSAB+MSAC第49页，共170页。多重比较：⒈品种平均数间差异性的多重比较

F测验表明，不同品种之间有极显著差异，因此要做多重比较；以Duncan法为例，标准误差为：；dfe

＝96；比较标准如表8.8，比较结果如表8.9。第50页，共170页。表8.8

查得的SSR值及各种LSR值的计算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.803.710.9631.27532.953.861.0141.32743.053.981.0491.3684.1A41.0ns5.1A20.4ns1.4**5.5A31.6**2.0**3.0**7.1A1平均数品种编号表8.9

不同品种鳖鱼平均数之间的多重比较黄成达编制第51页，共170页。⒉不同生长素平均数间差异性的多重比较

F测验表明，不同生长素之间的效应有显著差异，因此也要做多重比较；以Duncan法为例，标准误差为：；dfe

＝96；比较标准如表8.10，比较结果如表8.11。第52页，共170页。表8.10

查得的SSR值及各种LSR值的计算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.803.710.8341.10532.953.860.8791.1494.875B10.525ns5.400B20.675ns1.200**6.075B3平均数生长素号表8.11

不同生长素之间的多重比较黄成达编制第53页，共170页。⒊不同性别之间有显著差异。但因为该因素只有两个水平，无需进行多重比较就可以判断一定是性别C2的平均数(5.85)显著高于性别C1(5.05)。⒋BC间的交互作用显著，说明不同性别对生长素的反映不一样。可以对生长素与性别的不同组合进行多重比较。以Duncan法为例，标准误差为：；dfe＝96；比较标准如表8.12，比较结果如表8.13。第54页，共170页。表8.12

SSR值及LSR值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.803.711.1791.56232.953.861.2421.62543.053.981.2841.67653.124.061.3141.71063.184.111.3391.731黄成达编制4.45B2C10.154.60B1C20.550.705.15B1C10.400.951.105.55B3C10.801.201.75**1.90**6.35B2C20.251.051.45**2.00**2.15**6.60B3C2组合表8.13

不同生长素与性别的组合之间的多重比较黄成达编制第55页，共170页。为了形象地了解它们间的交互作用，可将它们的平均数作图如图8.1所示。

B1B2B3图8.1生长素与性别的交互作用C2C1第56页，共170页。⒌

其余互作即品种×激素、品种×性别的互作都不显著。第57页，共170页。一、单因素随机区组试验资料的统计分析单因素随机区组试验，t个处理，r次重复，试验资料采用每处理组合内只有一个观察值的两向分类资料的方差分析进行分析，将其中一个因素看作处理(τ

)，将另一个因素看作区组(γ

)，那么，此类资料观察值的数学模型为：其中，为第i个处理第j个区组的观察值，μ

为总体平均数，是一常量；为第i个处理的效应值，为第j个区组的效应值，为第i个处理第j个区组观察值的机误。第58页，共170页。方差分析表如表8.14所示，其中总变异被分解为处理间变异、区组间变异和试验误差（剩余项）三个部分。表8.14单因素随机区组资料的方差分析变因dfSSMSF值区组间dfr＝r－1SSrMSrMSr/MSe处理间dft＝t－1SStMStMSt/MSe误差dfe＝(t－1)

(r－1)SSeMSe总变异dfT＝rt－1SST第59页，共170页。将第七章中的例7.9的设计稍微改动变成例8.4的样子，就是一个单因素随机区组试验。

例8.4六个水稻品种(A1、A2、A3、A4、A5和A6)种在四个随机区组(B1、B2、B3和B4)中，产量数据如表7.26所示，如果品种是固定效应，试对其平均数进行适当的分析。

例7.9

六个水稻品种(A1、A2、A3、A4、A5和A6)种在四种不同的土壤类型(B1、B2、B3和B4)中，产量数据如表7.26所示，如果品种和土壤类型都是固定效应，试对资料进行适当的分析。土壤类型变成区组第60页，共170页。二、多因素随机区组试验资料的统计分析如果试验中有两个考察因素，因素A有a个水平，因素B有b个水平，共有ab个处理组合，在试验中安排了r个随机区组，那么，此类资料观察值的数学模型为：其中，为第ij个处理第k个区组的观察值，μ

为总体平均数，是一常量；为第j个区组的效应值，为第ij个处理的效应值，为第ij个处理第k个区组观察值的机误。为A因素第i个水平的效应值，为B因素第j个水平的效应值为A、B因素的互作效应值第61页，共170页。从数学模型看出，对于这类资料的分析可以分两步进行：第一步：先按模型将总变异分解为区组间变异、处理(组合)间变异和误差变异三个部分。这是一个两向分类资料的方差分析，方差分析表如表8.15所示。第62页，共170页。表8.15第一步的方差分析表变因dfSSMSF值区组间dfr＝r－1SSrMSrMSr/MSe处理间dft＝ab－1SStMStMSt/MSe误差dfe＝(ab-1)

(r-1)SSeMSe总变异dfT＝rab－1SST黄成达编制第63页，共170页。该表与表8.14有点类似，只是在表8.14中的处理是指一个因素的一个水平(τi)，而这里的处理是指多因素各水平交错配合成的一个组合(τij)。如果这一步中对处理间差异的F测验不显著，就不必进行第二步。分析就此结束。第64页，共170页。如果第一步对处理间差异的F测验显著，应进一步按模型将处理变异分解为A因素各水平间的变异、B因素各水平间的变异和交互作用(AB)引起的变异。方差分析表如表8.16所示。在第二步中的F测验值如何计算需要视研究目的所确定的模型而定。表8.17列出了总的方差分析表和各种模型中的期望均方。第二步：第65页，共170页。表8.16第二步的方差分析表变异来源自由度平方和均方F值A间dfA=a-1SSAMSA视模型而确定B间dfB=b-1SSBMSBAB互作dfAB=(a-1)(b-1)SSABMSAB处理间dft=ab-1SStMStMSt/MSe黄成达编制第66页，共170页。01黄成达编制黄成达编制黄成达编制黄成达编制总变异误差AB互作B间A间处理间区组间A固定B随机随机模型固定模型期望均方(EMS)变异来源

表8.17两因素随机区组试验资料的期望均方第67页，共170页。

例8.5

考察三种生长素Ai

(i＝1，2，3)和两种葡萄糖浓度Bj

(j＝1，2)所配成的6种培养基对香草兰胚状体发育的影响。将接种好的培养皿放置在四个培养箱(k＝Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ)中，按随机区组排列，每培养箱为一个区组。所得数据如表8.18所示。如果除区组效应不需考察外，其余效应都是固定效应，试对资料进行适当的分析。第68页，共170页。黄成达编制黄成达编制黄成达编制表8.18

三种生长素和两种葡萄糖浓度所配成的6种培养基对香草兰胚状体发育的影响ⅣⅢⅡⅠ糖浓度(B)生长素(A)区组(培养箱k)5.506.335.175.704.83132383134294166523B27288695B1A35208354B23122334B1A26245865B28329698B1A1

第69页，共170页。分析过程分为两个步骤：第一步：

按两向分类资料方差分析的方法，将总变异分解为区组间变异、处理间变异和试验误差。根据表8.18的整理结果可以得到：总自由度dfT

=rab-1=3×2×4-1=24-1=23区组间自由度dfr

=r-1=4-1=3处理间自由度dft

=ab-1=3×2-1=6-1=5误差自由度dfe=dfT

-dft-dfr=23-3-5=15或dfe

=(r-1)(ab-1)=(4-1)(3×2-1)=15第70页，共170页。（a=3；b=2；r=4.）第71页，共170页。第72页，共170页。误差平方和

=118-70-7.6667=40.3333于是可得到如下的方差分析表。表8.19第一步的方差分析表变异来源dfSSMSF值F0.05F0.01区组间37.66672.5556<1处理间570.000014.00005.2066**2.90134.5556误差1540.33332.6889总变异23118.0000

如果F测验显示处理间差异不显著，分析到此结束。本例中，从方差分析表可见处理组合间的差异极显著，因此需要进行第二步。第73页，共170页。第二步：

将处理间的变异分解为A因素水平间的变异、B因素水平间的变异和AB互作三个部分。黄成达编制黄成达编制5.55.06.08784360051843184123219525.56096318413260725.519361040441628A34.01024544322012A27.031361600562432A1B2B1表8.20AB二向表第74页，共170页。第75页，共170页。处理间平方和SSt=70第76页，共170页。AB交互作用平方和=SSt–SSA-SSB=70–36–6=28于是得到如下总的方差分析表。因为本例中所有考察因素都是固定模型，所以各个F值均采用误差均方作分母进行计算。表8.21第二步的方差分析表变异来源dfSSMSFF0.05F0.01区组间37.66672.5556处理间570.000014.00005.2066**2.90134.5556A间236.000018.00006.6942*3.68236.3588B间16.00006.00002.2314ns4.54318.6832AB互作228.000014.00005.2066*3.68236.3588误差1540.33332.6889总变异23118.0000方差分析表明：A因素的三个水平（即三种生长素）之间显著极差异，需要对它们进行多重比较。B因素的两水平间差异不显著。AB之间具有显著的交互作用，可以通过对处理组合间的多重比较来分析它们的关系。第77页，共170页。多重比较：⒈A因素各水平平均数间差异性的多重比较

F测验表明，A因素各水平平均数之间有极显著差异，因此要做多重比较；以Duncan法为例，标准误差为：；dfe

＝15；比较标准列于表8.22，比较结果列于表8.23。表8.22对A因素进行比较的判断临界值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.171.74512.417633.164.371.83202.5335黄成达编制黄成达编制4.0A21.5ns5.5A31.5ns3.0**7.0A1平均数生长素编号表8.23对A因素的多重比较结果第78页，共170页。⒉各处理平均数间差异性的多重比较

F测验表明，AB两因素具有显著的交互作用，可以通过对处理组合间的多重比较来分析它们的关系。以Duncan法为例，标准误差及自由度为：dfe

＝15比较标准列于表8.24，比较结果列于表8.25。表8.24对处理组合进行比较的判断值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.172.473.4233.164.372.593.5843.254.502.663.6953.314.582.713.7663.364.642.753.80黄成达编制3A2B114A3B2125A2B2123*6A1B2123*4**7A3B1123*4**5**8A1B1组合表8.25对处理组合进行比较的结果黄成达编制多重比较的结论：最优的处理组合为A1B1，最差的处理组合是A2B1，同是B1，与A1组合时为最好，与A2组合时就变成最差。可见是品种因素A起了主要的作用，虽然葡萄糖浓度的主效应之间没有显著差异，但是一旦与不同的生长素结合起来就有不同表现了。第79页，共170页。

A1A2A3图8.2生长素与糖浓度的互作B1B2第80页，共170页。让我们重新回到表8.19来讨论关于区组效应的问题。因为对于区组效应的F值小于1，不用查表就可以确定不同区组间没有显著差异，即数据在表面上显示出来的差异仅仅是误差造成的。既然是误差造成的，就可以把这一项与误差项合并，得到更好的误差估计值，于是方差分析表就变成为表8.26的样子。第81页，共170页。黄成达编制表8.26第一步的方差分析表变异来源dfSSMSF值F0.05F0.01处理间570.000014.00005.25**2.77294.2479误差18482.6667总变异23118.0000表8.19第一步的方差分析表变异来源dfSSMSF值F0.05F0.01区组间37.66672.5556<1处理间570.000014.00005.2066**2.90134.5556误差1540.33332.6889总变异23118.0000第82页，共170页。一看就明白，这是一个完全随机设计的试验资料的方差分析表。但是，误差均方从原来的2.6889变成为现在的2.6667，即试验误差减少了。同时。这时由于误差自由度由原来的15变成现在的18，查得的F0.05由原来的2.9013变成为现在的2.7729，F0.01由原来的4.5556变成为现在的4.2479，既要达到显著的要求降低了。这就使整个测验的精确度提高了。事实上，如果试验环境本身差异不显著，用完全随机排列设计要比随机区组设计好；反之，如果试验的环境条件有按一个方向变化的趋势，用随机区组设计就能有效地控制由环境条件引起的误差，从而减少试验误差，提高试验精确度。第83页，共170页。本例中，利用新的误差均方对处理组合进行多重比较的比较标准和比较结果如表8.27和表8.28所示。从中可以看到，有若干处理组合间的差异由原来的不显著变成了显著；也有若干差异由原来的显著变成了极显著。表8.27对处理组合进行比较的判断值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.974.071.431.9633.127.271.503.5043.214.381.552.1153.274.461.572.1563.324.531.602.18黄成达编制3A2B114A3B212*5A2B212*3**6A1B212*3**4**7A3B112*3**4**5**8A1B1组合表8.28对处理组合进行比较的结果黄成达编制第84页，共170页。黄成达编制3A2B114A3B212*5A2B212*3**6A1B212*3**4**7A3B112*3**4**5**8A1B1组合表8.28对处理组合进行比较的结果黄成达编制黄成达编制3A2B114A3B2125A2B2123*6A1B2123*4**7A3B1123*4**5**8A1B1组合表8.25对处理组合进行比较的结果黄成达编制第85页，共170页。一、单因素拉丁方试验资料的统计分析如果将一个因素的t个水平(即t个处理)安排在一个t×t拉丁方中，就得到一个单因素t×t拉丁试验资料。在这类试验资料中，各观察值的数学模型为：(i＝1，2，…，t；j＝1，2，…，t；k＝1，2，…，t)其中，为第i横行区组第j纵列区组第k个处理的观察值；下标k外面加个括号，是为了表明下标k与下标i和j之间有重叠现象。μ为总体平均数，为一常量；αi为第i横行区组的效应值；βj为第j纵列区组的效应值；τk为第k个处理的效应值；其中，为第i横行区组第j纵列区组第k个处理观察值的机误；下标k外面加个括号，是为了表明下标k与下标i和j之间有重叠现象。根据以上数学模型，可得到方差分析表如表8.29所示。第86页，共170页。表8.29单因素拉丁方试验的方差分析变异来源自由度平方和均

方F值横行间dfR=t-1SSRMSR直行间dfC=t-1SSCMSC处理间Dft=t-1SStMStMSt／MSe误

差Dfe=dfT-dfR-dfC-dft

=(t-1)(t-2)SSeMSe总变异dfT=t2-1SST从方差分析表可知，为了让dfe＝(t－1)(t－2)≥12，t应大于4。在这个方差分析表中，我们是按田间试验在试验地上的排列来阐述的。但事实上，在非田间试验的场合下，也可以利用拉丁方设计来提高试验的精确度。下面举一个5×5拉丁方设计的例子，以说明其具体应用和分析过程。第87页，共170页。例8.6为了比较5种测验水稻叶片含水量的方法(A、B、C、D、E)之间是否有显著差异，取5株水稻的5片连续排列的叶片进行测定。这里，可以视植株编号为横行号，视叶片生长的顺序号为直行号，测定方法为处理号。试验结果数据如表8.30所示，其中圆括号内标出的是处理号。试比较这5种测定方法之间是否有显著差异。第88页，共170页。表8.30例8.7的试验结果植株编号叶片序号1234513（D）5（A）7（C）6（B）8（E）26（B）9（E）4（D）8（C）6（A）34（C）5（B）3（A）7（E）5（D）48（E）3（D）7（B）4（A）7（C）57（A）9（C）8（E）5（D）6（B）

很明显，在这个试验中，植株编号和叶片生长的序号之间是否差异显著，不是我们研究的目的。只有测定方法之间是否差异显著，才是我们分析的目的，而且它是固定效应。这个试验应该属拉丁方试验设计。其具体分析过程如下。第89页，共170页。先将观察数据整理为表8.31和表8.32。其中表8.31是对植株(横行)间和叶片序号(直行)间进行计算的过程，表8.32则是对测定方法(处理)间进行的数据整理。⒈数据整理第90页，共170页。黄成达编制黄成达编制黄成达编制6.06.465.86.25.615032302931287356589755.8297473844.8245735436.6336849625.82986753154321叶片序号（直行）植株号（横行）表8.31例8.7中横行和直行数据的整理

第91页，共170页。黄成达编制观察值测定方法（处理）6.0150合计84088798E42053543D73597487C63067566B52574365A表8.32例8.7中各种测定方法所测得数据的整理黄成达编制黄成达编制第92页，共170页。⒉计算各项平方和黄成达编制黄成达编制黄成达编制6.06.465.86.25.615032302931287356589755.8297473844.8245735436.6336849625.82986753154321叶片序号（直行）植株号（横行）表8.31例8.7中横行和直行数据的整理

第93页，共170页。横行区组：黄成达编制黄成达编制黄成达编制6.06.465.86.25.615032302931287356589755.8297473844.8245735436.6336849625.82986753154321叶片序号（直行）植株号（横行）表8.31例8.7中横行和直行数据的整理第94页，共170页。纵列区组：黄成达编制黄成达编制黄成达编制6.06.465.86.25.615032302931287356589755.8297473844.8245735436.6336849625.82986753154321叶片序号（直行）植株号（横行）表8.31例8.7中横行和直行数据的整理第95页，共170页。处理：黄成达编制观察值测定方法（处理）6.0150合计84088798E42053543D73597487C63067566B52574365A表8.32例8.7中各种测定方法所测得数据的整理黄成达编制黄成达编制第96页，共170页。SSe=SST–SSR–SSC–SSt=15.6表8.33对五种测定水稻叶片含水量的方法进行比较的方差分析变因dfSSMSF值F0.05F0.01横行间t-1=414.4直行间t-1=42.0处理间t-1=450.012.59.615**3.2595.412误

差(t-1)(t-2)=1215.61.3总变异t2-1=2482.001第97页，共170页。*混合模型：处理效应为固定模型，区组效应为随机模型。混合模型*随机模型固定模型试验误差处理间纵列区组间横行区组间期望均方变异来源表单因素拉丁方试验资料的期望均方黄成达编制第98页，共170页。以上方差分析结果表明，5种测定方法之间有极显著的差异。表8.34列出了采用Duncan法对5种测定方法进行多重比较的判别临界值。本例中，，dfe＝12。表8.34对测定方法进行比较的判断值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.57052.202833.234.551.64702.320143.334.681.69802.386353.364.761.71332.4271第99页，共170页。4D15A1

2*6B12*3**7C12*3**4**8E处理表8.35对测定方法进行比较的结果黄成达编制表8.34对测定方法进行比较的判断值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.57052.202833.234.551.64702.320143.334.681.69802.386353.364.761.71332.4271第100页，共170页。多重比较结果表明，除了EC之间、CB之间、BA之间、AD之间没有显著差异外，其余处理之间都有显著或极显著的差异。其中方法E测验的结果水分含量最高，方法D测验的结果水分含量最低。到底是高好，还是低好，要看实际情况而定。第101页，共170页。二、多因素拉丁方试验资料的统计分析虽然拉丁方不能布置太多的考察因素，每因素的水平数也不能太多。但是拉丁方又有较高的试验精确度，所以人们偏喜欢用它来布置高级试验。若经过初级试验，并从其中找到一些极有希望的因素和水平要进行仔细的比较时，可考虑使用拉丁方试验设计。第102页，共170页。两个因素A和B，其中因素A有(k=1，2，…，t)个水平，因素B有(l＝1，2，…，s)个水平，共有ts个处理组合。按拉丁方设计安排试验。横行数为(i＝1，2，…，ts)；直行数为(j＝1，2，…，ts)；共有ts×ts个观察值。各观察值的数学模型为：其中，为第i横行的效应值;为第j直行的效应值;为第kl处理的效应值;为第随机误差;为A因素第k个水平的效应值;为B因素第l个水平的效应值;为A因素第k个水平与B因素第l个水平的互作效应值;第103页，共170页。根据以上的数学模型，可知对试验数据的分析分为两个步骤：第一步将总变异分解为横行区组间变异、直行区组间变异、处理组合间变异和试验误差，第二步将处理组合间变异分解为因素A各水平间变异、因素B各水平间变异和AB间的交互作用效应。下面举例说明一个3×2两因素拉丁方试验的分析方法。

例8.7

用3种精饲料(A1、A2、A3)按2种不同比例(B1、B2)喂养奶牛，观察它们的产奶量，找了6个奶牛场中的6个品种的奶牛作试验。将奶牛场编号视为横行，奶牛品种编号视为直行，将3×2＝6个处理组合按拉丁方试验设计布置试验。牛奶产量数据如表8.36所示。第104页，共170页。表8.36六个饲料组合在不同奶牛场和奶牛品种中的表现奶牛场号奶牛的品种(直行)编号12345612（A2B2）2（A3B1）6（A1B1）7（A2B1）6（A1B2）5（A3B2）26（A3B2）6（A2B2）6（A3B1）8（A1B2）8（A1B1）9（A2B1）37（A3B1）7（A1B2）7（A2B1）8（A3B2）9（A2B2）7（A1B1）44（A1B1）3（A3B2）6（A1B2）5（A2B2）8（A2B1）8（A3B1）56（A1B2）8（A2B1）4（A3B2）6（A1B1）5（A3B1）2（A2B2）69（A2B1）8（A1B1）6（A2B2）8（A3B1）7（A3B2）9（A1B2）第105页，共170页。将表8.36中的数据按横行和直行进行整理，得表8.37。因为横行和直行都不是考察因素，所以对横行和直行都没有求平均数。数据整理黄成达编制黄成达编制黄成达编制228404342353434479786896312564865348856344457987773439886662285676221654321奶牛的品种（直行）编号横行编号表8.37对试验数据的横行和直行进行整理

第106页，共170页。6.33228合计5.533743865A3B26.036858762A3B15.030625962A2B28.048988797A2B17.042966786A1B26.539864786A1B1观察值处理号表8.38对处理组合数据的整理黄成达编制第107页，共170页。第一步：

利用表8.36和表8.37按表8.29的形式将总变异分解为横行间变异、直行间变异、处理组合间变异和误差变异。得方差分析表如表8.39所示。方差分析表明处理间差异显著。因此需要进行第二步分析。表8.39对六个饲料组合的方差分析表变异来源自由度平方和均方F值F0.05F0.01横行间553.33310.667直行间514.3332.867处理间535.0007.0003.962*2.7114.103误差2035.3331.767总变异35138.000自由度和平方和的分解及方差分析01第108页，共170页。AB互作B间A间固定模型试验误差处理间纵列区组间横行区组间期望均方变异来源表多因素拉丁方试验资料的期望均方黄成达编制第109页，共170页。第二步：处理效应的进一步分解利用表8.38中各处理组合之和作得AB二向表，如表8.40所示。黄成达编制黄成达编制6.335.836.832281051235.75693336A36.50783048A26.75814239A1B2B1精饲料比例精饲料号表8.40AB二向表第110页，共170页。利用这个AB二向表将处理组合间的差异分解为因素A各水平间的变异、因素B各水平间的变异和因素AB之间的交互作用。将这些效应的自由度和平方和插入表8.39得总的方差分析表如表8.41所示。表8.41对六个饲料组合的总方差分析表变异来源dfSSMSF值F0.05F0.01横行间553.33310.667直行间514.3332.867处理间535.0007.0003.962*2.7114.103A间26.5003.2501.840ns

3.4935.849B间19.0009.0005.094*4.3518.096AB互作219.5009.7505.519*3.4935.849误差2035.3331.767总变异35138.000第111页，共170页。方差分析结果表明：三种不同的精饲料(A)之间没有显著差异，即使用哪一种精饲料的效果都差不多；但喂养的饲料中，精饲料所占的比例(B)不同，其效果差异显著。由于因素B只有两个水平，因此无需进行多重比较就可以知道B1水平显著优于B2水平。分析还表明：不同的精饲料配上不同的比例，效果也不一样。图8.3显示了两因素之间的交互作用。表8.42和表8.43列出了对各处理组合的多重比较的判别临界值和比较结果，其中：

dfe＝(t－1)(t－2)＝20第112页，共170页。表8.42对处理组合进行比较的判断值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.954.021.602.1833.104.221.682.2943.184.331.732.3553.254.401.762.3963.304.471.792.43黄成