第四节直线的投影讲课文档

第四节直线的投影第一页，共66页。第四节直线的投影第二页，共66页。直线的投影XOZYHYWa'aa"b'bb"直线的投影可由直线上任意两点的投影决定第三页，共66页。1.直线的倾角：对水平投影面的夹角——

对正投影面的夹角——

对侧投影面的夹角——

一、一般位置直线的投影第四页，共66页。

一般位置直线ＡＢ对Ｈ面的倾角NEW第五页，共66页。第六页，共66页。

一般位置直线ＡＢ对Ｖ面的倾角NEW第七页，共66页。例：求一般位置直线ＡＢ对Ｖ面的倾角ＡＢ实长第八页，共66页。

一般位置直线ＡＢ对Ｗ面的倾角第九页，共66页。例：求一般位置直线ＡＢ对Ｗ面的倾角ＡＢ实长第十页，共66页。一般位置直线的投影特性直线的各投影均对投影轴倾斜；直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角。当直线AB倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影ab长度小于实长，缩短多少，根据对投影面夹角大小确定。

第十一页，共66页。A0

z

y

xXOZYHYWa'aa"

b'bb"实长

实长实长

Za-Zb直角三角形法：两直角边、斜边、锐角二、直线的实长与真实倾角第十二页，共66页。例题3例题2-6

已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a,并知AB=25,求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角。

XOa'ab'25

b第十三页，共66页。例题4例题2-7

已知直线AB的水平投影ab，和正面投影a’,并知AB对H面的倾角为30°，求AB的正面投影及实长XOa'abb'b1'30º第十四页，共66页。1投影面的平行线2投影面的垂直线三.特殊位置位置的直线：第十五页，共66页。（1）水平线ＦefＥ反映ＥＦ实长abc1投影面的平行线第十六页，共66页。EF实长水平线投影图第十七页，共66页。反映ＡＢ实长AA（2）正平线第十八页，共66页。反映ＡＢ实长正平线投影图第十九页，共66页。（3）侧平线反映ＣＤ实长第二十页，共66页。ＣＤ实长侧平线投影图第二十一页，共66页。水平线的投影特征：平行线的投影特征：（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长；（2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角；（3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实长。第二十二页，共66页。25XOZYHYWa'aa"30°b"b'b例题：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角

=30°。第二十三页，共66页。2投影面的垂直线（1）铅垂线

水平投影积聚为一点；其它两个投影平行于ＯＺ轴，并反映直线ＡＢ实长；直线ＡＢ与H面的夹角实长第二十四页，共66页。铅垂线第二十五页，共66页。铅垂线的投影第二十六页，共66页。（2）正垂线dcCD第二十七页，共66页。正垂线的投影第二十八页，共66页。（3）侧垂线ＥＦef第二十九页，共66页。侧垂线的投影ef第三十页，共66页。（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；（2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。垂直线的投影特征：第三十一页，共66页。XOZYHYWb"a'aa"b'（b）例题根据投影图判断下列直线的空间位置b"XOZYHYWa'aa"b'bXOZYHYWa'aa"b'bb"（b"）XOZYHYWa'aa"b'b第三十二页，共66页。既然垂直线也平行于投影面，能否称它为平行线呢？讨论XOZYHYWb"a'aa"b'（b）b"XOZYHYWa'aa"b'b第三十三页，共66页。c'cd'd点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上定比性：AC：CB=a'c':c'b'=ac:cb=a"c":c"b"四、直线上的点bXOa'ab'dDd'e'e第三十四页，共66页。1、

C点在直线ＡＢ上第三十五页，共66页。点Ｃ在直线上ＡＢ上。第三十六页，共66页。

点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。

C点在直线ＡＢ上第三十七页，共66页。

2、Ｄ点不在直线ＡＢ上。NEW第三十八页，共66页。例题:

在直线AB上找一点K,使AK:KB=3:2。

bXOa'ab'32kk'第三十九页，共66页。例题:

判定点K是否在直线AB上。

k"OZYHYWa"b"k'kXa'ab'b第四十页，共66页。例题:

判定点K是否在直线AB上。

第四十一页，共66页。例题:

已知点C在直线AB上，且AC=20,求C点的投影。

bXOa'ab'20c'c第四十二页，共66页。四、两直线的相对位置空间两直线的相对位置同面直线异面直线平行相交交叉第四十三页，共66页。1、平行两直线投影特性

两直线平行，他们同名投影一定平行两直线的同面投影相互平行，且其长度之比等于投影长度之比。如何利用投影特性根据投影判断两直线是否平行？如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投影平行则可以认为直线平行。如果两直线都平行于某投影轴，则必须根据第三投影或比例关系判断。

第四十四页，共66页。投影特性：

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

x第四十五页，共66页。abcdc

a

b

d

例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CDx第四十六页，共66页。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影如何判断？第四十七页，共66页。例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB和CD的三面投影。

第四十八页，共66页。题解：acbb″〝da″〝c″〝d″〝d′〝a′〝c′〝b′〝NEW第四十九页，共66页。2、相交两直线投影特性

相交两直线同面投影都相交，且交点符合点的投影规律如何利用投影特性根据投影判断两直线是否相交？投影上交点连线垂直于投影轴。相交直线可能成为某一投影面的重影线

第五十页，共66页。HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

两直线相交判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点xxoo第五十一页，共66页。●●cabb

a

c

d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影ox思考：如果给出CD的长度，解题过程有何变化？第五十二页，共66页。3、交叉两直线投影特性

既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性交叉直线的同面投影若相交，其交点并非一个点的投影，而是两条直线上的两个点的重影。其重影点的可见性应根据两个点的相对位置来判别。

第五十三页，共66页。d

b

a

abcdc'1

(2

)3(4)两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。12●●3

4

●●第五十四页，共66页。两交叉直线正面投影重影点水平投影重影点第五十五页，共66页。交叉两直线的投影

两侧平线的投影反映ＣＤ和ＨＤ的线段实长g´h´g´´h´´hg第五十六页，共66页。4、两直线垂直相交——直角投影定理

如果两直线在空间上垂直(垂直相交或垂直交叉)，当其中一条直线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影垂直。利用直角投影定理，可完成过点作投影面平行线的垂线，或与其相关的求点到直线距离，求直角三角形、等腰三角形等平面图形投影的作图问题。

第五十七页，共66页。

相交成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角。ＡＢＣabc水平线第五十八页，共66页。abb′a′例：过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度。XO第五十九页，共66页。abb′a′题意分析：XO水平线（实长）有无穷多解，可任意做一解。第六十页，共66页。例过点A作EF线段的垂线ABbb′xoe′f′a′efa第六十一页，共66页。

例

以最短线KM连接AB，确定M点，并求出KM实长。ababkkababkkababkkmmM