2027届高考数学一轮总复习2.3函数的奇偶性与周期性【课件】

第3节函数的奇偶性和周期性课标解读

1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.了解函数周期性的概念和几何意义.3.会依据函数的性质进行简单的应用.强基础•固本增分1.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D且

,那么函数f(x)就叫做偶函数

关于

对称

奇函数且

,那么函数f(x)就叫做奇函数

关于

对称

f(-x)=f(x)y轴

f(-x)=-f(x)原点

2.函数的周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且

,那么函数y=f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数,那么这个

就叫做f(x)的最小正周期.

微点拨

若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.f(x+T)=f(x)最小

最小正数

常用结论1.(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.②如果函数f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x)=f(|x|).(2)如果函数f(x)不是常数函数,当f(x)是奇函数时,它在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;当f(x)是偶函数时,它在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.(

)(2)对于函数y=f(x),若f(-2)=-f(2),则函数y=f(x)是奇函数.(

)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(

)(4)若f(x)满足f(x-1)=f(x+2),则函数f(x)的周期为3.(

)×解析

0不一定在函数的定义域内.×解析

只有对函数的定义域内的任意的自变量的值x,都有-x也在这个定义域内,且有f(-x)=-f(x),才能判定f(x)是奇函数.√√2.(多选题)(人A必修一教材例题改编)下列函数是奇函数的是(

)A.y=sinxB.y=cosxC.y=x3D.y=2xAC解析

对于A,由正弦函数的性质可知y=sin

x为奇函数;对于B,由余弦函数的性质可知y=cos

x为偶函数;对于C,由幂函数的性质可知y=x3为奇函数;对于D,由指数函数的性质可知y=2x为非奇非偶函数.故选AC.

A

2

5.(人A必修一教材习题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(x)的解析式为

.

研考点•精准突破考点一函数奇偶性的判断

解

(1)由题意知,f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)(方法一

定义法)当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)为奇函数.(方法二

图象法)作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.

例2

(多选题)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(

)A.若恒有f(x2)=-f(-x2),则f(x)是奇函数B.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),且f(0)≠0,则y=f(x)为奇函数C.若恒有f(x)+f(y)=f(x+y),则f(x)为偶函数D.若恒有f(xy)=yf(x)+xf(y),则f(x)是奇函数AD解析

对于A,若∀t∈R,当t>0时,令t=x2,因为f(x2)=-f(-x2),所以f(t)=-f(-t),即f(-t)=-f(t);当t=0时,令t=x2=0,因为f(x2)=-f(-x2),所以f(0)=-f(-0),即f(0)=0;当t<0时,令t=-x2,因为f(x2)=-f(-x2),所以f(-t)=-f(t),综上,∀t∈R,f(-t)=-f(t),所以f(x)是奇函数,故A正确;对于B,在2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0,得2[f(0)]2=2f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1,显然不符合f(-x)=-f(x),故B错误;对于C,令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,故C错误;对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=0,得f(0)=0;令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0;令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0;令y=-1,得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故D正确.故选AD.规律方法

判断函数奇偶性的方法(1)定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则该函数既非奇函数也非偶函数;若定义域关于原点对称,则进一步判断是否满足f(-x)=f(x)(偶函数)或f(-x)=-f(x)(奇函数).(2)图象法:奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称.(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)

B

偶解析

令x=y=0,则2f(0)=2f(0)·f(0).因为f(0)≠0,所以f(0)=1.由题意知f(x)的定义域为R,关于原点对称,令y=-x,因为f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.考点二函数奇偶性的应用

A

B

教考衔接(人B必修一教材习题)已知函数f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,求实数a的值.

(方法二)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴x2-(a-2)x+3=x2+(a-2)x+3,∴a-2=0,∴a=2.(方法三)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),∴1-(a-2)+3=1+(a-2)+3,∴a=2,∴f(x)=x2+3,满足对任意x∈R,有f(-x)=f(x),∴a=2.

(-∞,-2)∪(0,2)

由图可知不等式xf(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).(4)(2025·广东广州模拟)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=eax.若f(ln2)=-16,则a=

.

-4解析

因为f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=eax.所以当x>0时,-x<0,f(x)=-f(-x)=-e-ax.又ln

2∈(0,1),f(ln

2)=-16,所以-e-aln

2=-16,所以e-aln

2=16,所以-aln

2=ln

16=4ln

2,解得a=-4.规律方法

已知函数奇偶性可以解决的四个问题

求函数值利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用函数奇偶性求出求参数利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数画图象利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题[对点训练2](1)(2025·湖北襄阳模拟)设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)=(

)A.-log2xB.log2(-x)C.logx2D.-log2(-x)D解析

当x<0时,-x>0,f(-x)=log2(-x),又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-log2(-x).故选D.

C

考点三函数的周期性例4

(1)(2025·江西新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*,且f(3)=-5,f(17)=3,f(x+1)=f(x)+f(x+2),则f(2026)=(

)A.5 B.-5 C.2 D.-2D解析

由题意得f(x+2)=f(x+1)-f(x),用x+1代替x,得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).两式相加,得f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.因为f(17)=3,所以f(5)=f(17)=3,又f(5)=-f(2),所以f(2)=-3.又f(2)=f(1)+f(3),即-3=f(1)-5,解得f(1)=2,所以f(2

026)=f(337×6+4)=f(4)=-f(1)=-2.故选D.(2)(2025·四川内江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=(

)A.0 B.2025C.2024 D.2D解析

因为f(1-x)=f(1+x),且函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)+f(x)=0,令x=1,可得f(3)+f(1)=0;令x=2,可得f(4)+f(2)=0.可得f(x+4)+f(x+2)=0,则f(x+4)=f(x),可知4为f(x)的一个周期,且f(1)+f(2)+