第十五次课相似矩阵及矩阵的对角化

第十五次课相似矩阵及矩阵的对角化演示文稿第1页，共40页。（优选）第十五次课相似矩阵及矩阵的对角化第2页，共40页。

1.如果方阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。即若A~B，则|lE-A|=|lE-B||lE-B|=|P-1(lE)P-P-1AP|=|lE-P-1AP|=|P-1(lE-A)P|=|lE-A|，二、相似矩阵的性质

A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值。2.相似矩阵的行列式相等。即若A~B，则|A|=|B||B|=|P-1AP|=|P-1||A||P|=|A||P-1P|=|A|证明：因为P-1AP=B，第3页，共40页。3.相似矩阵有相同的迹。即若A~B，则相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。若都可逆，其逆矩阵也相似。第4页，共40页。

5.相似矩阵有相同的秩。即若A~B，则R（A）=R（B）

注意：以上性质均为相似的必要条件，可以用来排除哪些矩阵不相似。第5页，共40页。例5若Ａ相似于对角阵L，则存在可逆阵Ｐ，使则A=P

LP-1

A２=（P

LP-1）（

P

LP-1）＝P

L２

P-1,

A３＝A２A＝（P

L２

P-1）（

P

LP-1）＝P

L３P-1,Am＝P

Lm

P-1证明因为Ａ相似于对角阵L，故存在可逆阵Ｐ，使P-1AP=L,一般的：

Am＝P

Lm

P-1。第6页，共40页。利用对角矩阵计算矩阵多项式k个第7页，共40页。利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.第8页，共40页。定理证明第9页，共40页。例1若求x，y．

解得：x=-17,

y=-12解：由于Ａ和Ｂ相似，所以tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即22+x=1+422x

-31y=4-6第10页，共40页。解：由于矩阵Ａ和Ｄ相似，所以|A|=|D|,即|A|=|D|＝12.例２设3阶方阵A相似于矩阵，求|A|．第11页，共40页。第12页，共40页。三、n阶方阵与对角矩阵相似的条件相似矩阵具有许多共同的性质，因此，对于n阶方阵A，我们希望在与A相似的矩阵中寻求一个较简单的矩阵。在研究A的性质时，只需先研究这一较简单矩阵的同类性质。下页若方阵A与一个对角阵L相似，则称方阵A可对角化。记为A~L，并称L是

A的相似标准形。问

n阶方阵A与一个对角矩阵L相似的条件？第13页，共40页。=(l1X1,l2X2,

,ln

Xn)

(X1,X2,

,Xn)l10

00l2

000

ln

思考题=?第14页，共40页。下面讨论对角化的问题这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。定理n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。第15页，共40页。二、矩阵的对角化（利用相似变换把方阵对角化）定理5.3(P130)阶矩阵可对角化（与对角阵相似）有个线性无关的特征向量。注意：这时P和对角阵是如何构成的？第16页，共40页。可验证线性无关，故A可对角化.[见后面注]第1步

求特征值即求的基础解系第2步求线性无关的特征向量，例2讨论矩阵是否可对角化.若可以，求可逆矩阵P使为对角矩阵.[参见§5.1例3]第17页，共40页。第3步把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵P.第4步写出相似变换及对角矩阵.注下面的定理告诉我们，本题中的线性无关性不需要验证.第18页，共40页。如果确定A是否有N个线性无关的特征向量？第19页，共40页。第20页，共40页。例6、矛盾。证明第21页，共40页。证明则即类推之，有第22页，共40页。把上列各式合写成矩阵形式，得第23页，共40页。推论5.1若阶方阵有个互不相同的特征值,则可对角化。（与对角阵相似）(逆命题不成立)第24页，共40页。

不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的。即设是矩阵A的不同的特征值，又设对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为则仍是线性无关的。定理5.4第25页，共40页。第26页，共40页。证

(只证两个不同特征值的情况)设上式两边左乘A得再由线性无关得类似可得由假设得第27页，共40页。设的所有不同的特征值为则

注：就是的重根数，称之为的(代数)重数，就是对应的最大无关特征向量的个数，称之为的几何重数。该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。定理5.5第28页，共40页。定理5.6n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。即设互不同，此时则A可对角化的充要条件是亦即：的重数恰好等于它对应的最大无关特征向量的个数。简称:几重特征值有几个特征向量.第29页，共40页。定理5.6n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。简称:几重特征值有几个特征向量.第30页，共40页。例３.判断下列矩阵是否下列矩阵是否相似于对角阵，若相似求可逆矩阵Ｐ，使P-1AP=L-11-4（２）.

B=103020

解：(2).矩阵B的特征方程为l+1-14

-10l-30l-20

|λE-B|=(l-2)(l-1)2=0，

矩阵A的特征值为：

l1

l2=1,l32，对于特征值l1

l2=1,解线性方程组(E-B)X

o，得其基础解系X1=，12-1B不能对角化第31页，共40页。

判断n阶方阵A能否对角化以及对角化的具体步骤为：

的基础解系：Xi1，Xi2，…，Xiki

3.当L<n时，A不能对角化；当L=n时，A可以对角化。

4.构造可逆矩阵P=（X1，…，Xn），则2.对每个特征值求1.求A的所不同特征值l1...ls第32页，共40页。解：由Ａ和Ｂ相似得：tr(A)=tr(B)|A|=|B|

l1

l2=2,l36对于特征值l1

l2=２,解线性方程组(２E-A)X

o，-110101得其基础解系X1=及X2=对于特征值l3=6，解线性方程组(6E-A)x

o，由于Ａ和Ｂ相似，且Ｂ是一个对角阵，可得Ａ的特征值是所以得其基础解系X3=，1-23

5+x=4+y6x-6=4y解之得：x=5,y=6第33页，共40页。解：由Ａa1=a1，Ａa２=０，Ａa３=-a3可得：l１

1，l２

0，l３

-1是Ａ的特征值，

a1，a２，a３是Ａ对应于上述特征值的特征向量

容易验证a1，a２，a３是３阶方阵Ａ的３个线性无关的特征向量所以Ａ相似于对角阵

Λ＝diag(1,0,-1)取Ｐ＝（a1，a２，a３）则有P-1AP=L，所以

A

=PLP-1