线性代数课件 第一章 行列式

N阶行列式|二三阶行列式《线性代数》二阶行列式二三阶行列式三阶行列式高斯加减消元法：思考：

启发：

当时，方程组有唯一解：如何求解给定下列二元一次线性方程组②①①②分别得①②③二阶行列式二三阶行列式三阶行列式上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.为便于记忆，引进如下二阶行列式记号：定义1对角线法则：

其中表示行列式的元素，表示元素的行标，表示元素的列标.例1表示第1行第2列元素表示第2行第1列元素“—”主对角线元素“---”副对角线元素二阶行列式二三阶行列式三阶行列式式③的分子分母可以用二阶行列式表示为方程解方程组的唯一解式③可表示为当时，“克拉姆法则”二阶行列式二三阶行列式三阶行列式例2解二元一次线性方程组解

故解为克拉姆法则二阶行列式二三阶行列式三阶行列式启发：

类似的方法求解三元一次线性方程组定义2引入三阶行列式

“—”三元素乘积取“+”号；

“---”三元素乘积取“—”号“对角线法则”解

二阶行列式二三阶行列式三阶行列式例3计算三阶行列式主对角线元素乘积副对角线元素乘积解

二阶行列式二三阶行列式三阶行列式例4解三元一次线性方程组故方程解为：克拉姆法则感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞N阶行列式|逆序数行列式《线性代数》逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式思考：

若给定的行列式是4阶或者更高阶，如何定义与计算行列式的值？

高中学过数的排列，由1,2,3三个数可以组成哪些排列？回顾：

123，132，213，231，312，321.标准排列：定义1按照由小到大的自然顺序排列。如：123一个排列中，若两个数的位置与其大小顺序相反，则称这一对数构成一个逆序；排序中逆序的总数称为它的逆序数，记作：如：逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式定义2如：

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列，例1求下列排列的逆序数，并指出其奇偶性.(1)(2)解：

逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式观察：(1)每一项选自不同行不同列元素乘积；特点：

(2)取正号“+”的项，列标排列：123,231,312——偶排列;(3)取负号“-”的项，列标排列：132,213,321——奇排列;(4)项数是排列的个数3！=6，且含正负号的项数各一半.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式类似地，n阶行列式的定义如下：逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式例2利用行列式定义计算4阶行列式由定义可知，当时，故注：

利用行列式定义计算时，保证行标按照标准排列,再根据列标的逆序数确定项数的正负.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式上三角行列式主对角线以下其余元素均为零的行列式特点：

上三角行列式的值等于其主对角线上各个元素的乘积.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式上三角行列式副对角线以下其余元素均为零的行列式注：

上三角行列式的值的正负由逆序数决定.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式下三角行列式主对角线以上其余元素均为零的行列式特点：

下三角行列式的值等于其主对角线上各个元素的乘积.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式下三角行列式副对角线以上其余元素均为零的行列式注：

下三角行列式的值的正负由逆序数决定.例3利用行列式定义计算行列式由行列式定义可知，当时，故逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞行列式|行列式的性质《线性代数》转置行列式行列式的性质转置性质思考：

例1当行列式的阶数较大时，根据定义计算行列式，一般比较繁琐.依据行列式的特点,发现其计算规律，能否简化行列式的计算？将行列式的行列互换，得到的新行列式称为的转置行列式，记作：定义1性质1则行列式与它的转置行列式具有相同的值，即行列式中行与列具有同等的地位，即对“行”的性质适用于“列”.注：

例2则

已知转置行列式行列式的性质转置性质性质2交换性质行列式的性质例题拓展交换行列式的两行(列),

行列式的值变号，即“交换行列”交换行：交换列：推论1交换性质行列式的性质例题拓展若行列式中有两行(列)对应元素相同，该行列式的值为零.例3已知则

例4已知则

性质3数乘性质行列式的性质例题拓展“数乘”数乘行：数乘列：中任一行(列)元素有公共因子可将行列式提取到的外面.即新行列式推论2数乘性质行列式的性质例题拓展行列式某两行或列元素成比例，则行列式的值等于零.例5例6已知则

性质4倍加性质行列式的性质例题拓展行:列:中某一行(列)元素的倍加到另一行(列)对应元素行列式即上，则行列式的值不变，“倍加”例7倍加性质行列式的性质例题拓展已知求

解

感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞行列式|行列式性质的应用《线性代数》上三角行列式行列式性质的应用练习拓展回顾：

上三角行列式：

1、复杂的行列式可以利用行列式的性质化为上三角行列式吗？问题：

2、如何转化为上三角行列式？有什么技巧？例1计算

解

上三角行列式行列式性质的应用练习拓展例2计算

解

主对角线：其他元素：每一行的和相同上三角行列式行列式性质的应用练习拓展例3计算

解

箭头型行列式：将一条除顶点外竖直角边上的元素化为零.技巧方法：

箭头型行列式：上三角行列式行列式性质的应用练习拓展总结上三角行列式行列式性质的应用练习拓展复杂行列式化为上三角行列式的步骤：Step1：

观察行列式的特点；Step2：

先化运用行列式的性质，将所在列其余元素依次由上而下化为0；Step3：

再将运用行列式的性质，将所在列以下其余元素依次由上而下化为0；依次类推化主对角线以下化为0；Step4：

计算上三角行列式的值.感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》主讲人：王飞行列式|拉普拉斯展开定理《线性代数》代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开思考：

定义1若给定的行列式大于3阶，如何计算行列式的值？

降阶法去掉行列式中元素所在的第行第列元素，所得到剩余元素保持不变的行列式，称为这个元素的余子式；记作：则的代数余子式，记作：代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开例1解

求出三阶行列式中，元素分别对应的余子式和代数余子式.总结：行标列标和为奇数行标列标和为偶数代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开探究分析三阶行列式与代数余子式的关系结论：三阶行列式的值等于第一行元素与对应代数余子式乘积的和代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理阶行列式按行按列的Laplace展开定理等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即按行展开按列展开解

例2利用Laplace展开计算三阶行列式“按行”“按列”代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开解

例3代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开利用Laplace展开计算四阶行列式技巧与方法：运用Laplace展开计算行列式尽可能选择零多的行或列感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞拉普拉斯|行列式应用《线性代数》零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展回顾按行展开按列展开等于它的任意一行（列）阶行列式按照拉普拉斯展开可知，行列式的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即定理1阶行列式中某一行(列)各元素与另外一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即行的零值定理列的零值定理零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展证明：

构造辅助行列式第行第行按第行展开行列式中有两行元素相同同理，可证：解

零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展例1已知4阶行列式中，第2行元素分别为2,1,3,5,其对应的余子式分别为4,2,-2,6,求其行列式的值.根据行列式的拉普拉斯展开定理可知，由题知，零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展例2根据零值定理可知，由题知，已知4阶行列式中,第2行元素分别为第3行元素余子式分别为求化简后得故解出：或解

零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展例3已知行列式求解

根据行列式的拉普拉斯展开定理可知，按照第1行展开

零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展按第1列展开按第1列展开注：此例是利用代数余子式反推拉普拉斯展开定理计算行列式.感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》主讲人：王飞行列式计算|递推法《线性代数》例1计算

平行行列式拉普拉斯展开的应用递推法特点：

主对角线元素是8，与之平行的上边元素是4，下边元素是3.平行行列式解

按第一列进行拉普拉斯展开得，第一行平行行列式行列式性质的应用递推法设即满足等式方程：（1）则（2）结合(1)、(2)式，则解得：由于则（3）（4）平行行列式拉普拉斯展开的应用递推法上式(3)、(4)可简化为二元一次方程组：解得：技巧方法：

平行行列式所用的这种计算方法---递推法平行行列式拉普拉斯展开的应用递推法感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》主讲人：王飞克拉姆法则|线性方程组《线性代数》线性方程组克拉姆法则例题拓展思考：

初中学习过二元一次方程组，采用高斯加减消元法进行求解，

当变量的个数有多个时计算量较大，有更好的方法吗？解二元一次线性方程组回顾故解为定理1元线性方程组的系数行列式则方程组有唯一解线性方程组克拉姆法则例题拓展线性方程组克拉姆法则例题拓展表示将系数行列式中的第其中列的元素换成方程组常数项阶行列式，即其余元素保持不变所构成的注：

时,定理1称为克拉姆法则.当系数行列式线性方程组克拉姆法则例题拓展例1解

解三元一次线性方程组故方程解为：非齐次线性方程组解克拉姆法则推论1元线性方程组无解或解不唯一，则例2非齐次线性方程组有无穷解，求解：

由推论1可知，解得齐次线性方程组解克拉姆法则推论2元齐次线性方程组(i)系数行列式则方程组只有零解.则(ii)方程组有非零解,例3当取何值时，下列齐次线性方程组有非零解？解

齐次线性方程组解克拉姆法则由推论2可知，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式等于零.故或时，齐次线性方程组有非零解.感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞平行四边形|

面积《线性代数》回顾“叉乘”

两个夹角为非零向量所确定的一个向量满足：(1)方向：大小：(2)右手法则：指向记作：几何意义表示以向量为邻边的平行四边形面积向量积面积与行列式平行四边形案例及实验

行列式表示空间向量积的行列式表示：向量积面积与行列式平行四边形案例及实验

面积表示二阶行列式的几何意义：由四个点平行四边形的面积构成的向量积面积与行列式平行四边形案例及实验二阶行列式的绝对值表示以行列式两行构成的向量为邻边的平行四边形面积解

例1因此，所求平行四边形的面积为23求由点构成的平行四边形的面积.由题知，向量积面积与行列式平行四边形案例及实验数学实验解

MATLAB实验编程过程：MATLAB实验编程求上述四个点构成平行四边形的面积输入命令：>>A=[00];%输入四个点ABCD坐标b=[34];C=[19];D=[-25];

D1=[B-A;D-A]%创建二阶矩阵

d=

det(D1)%输入行列式D1

abs(d)%输入行列式的绝对值输出结果：D1=

34

-25

d=

23向量积面积与行列式平行四边形案例及实验主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞平行六面体|体积《线性代数》混合积混合积体积与行列式平行六面体案例及实验三个非零向量所确定的一个数满足：称为的混合积(1)向量积：平行六面体底面面积：数量积：(2)平行六面体高：

向量在上的投影

是与的夹角

行列式表示空间向量混合积的行列式表示：已知空间向量的坐标分别为：

几何意义以三个向量为邻边确定的平行六面体的体积混合积体积与行列式平行六面体案例及实验例1因此，所求平行六面体的体积为9解求一个顶点在相邻顶点在的平行六面体的体积.混合积体积与行列式平行六面体案例及实验数学实验解

MATLAB实验编程过程：MATLAB实验编程求上述四个点构成平行六面体的体积输入命令：>>A=[111];%输入四个点ABCD坐标b=[102];C=[132];D=[-211];

D1=[B-A;C-A;D-A]%创建三阶矩阵

d=

det(D1)%输入行列式D1

abs(d)%输入行列式的绝对值输出结果：

D1=

0-11

021

-300d=

9ans=

9混合积体积与行列式平行六面体案例及实验主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞插值多项式|多项式曲线《线性代数》定义插值多项式多项式系数插值多项式案例及实验如：满足多项式关键：已知多个点的函数值，如何求多项式的系数？系数是否唯一？通过观察得到在点处的函数值当满足这些函数值的表达式为多项式时，称为插值多项式定理已知的个互异节点则存在唯一的次多项式满足克拉姆法则插值多项式多项式系数插值多项式案例及实验的非齐次线性方程组.根据克拉姆法则，（1）式有唯一解的充要条件由可知，满足(1)不全为0时，式（1）是关于未知变量当常数项系数行列式系数求解“范德蒙德行列式”元素依次换成对应的常数项因为不同节点处故系数行列式根据克拉