4.1.1 向量的内积、长度、正交_第1页
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文档简介

主讲人：王飞向量|内积、长度、正交《线性代数》案例内积向量内积长度正交正交长度在物理上,力作用于一物体，使其位移为力与位移的夹角为此时，力在位移方向上对物体所做的功如何计算？sF它们的数量积为：

空间解析几何，向量夹角为定义1内积向量内积长度正交正交长度设是两个维向量，数称为向量与的内积，记作：表示形式例1已知则_______.解：

性质1内积向量内积长度正交正交长度例2对称性:

线性性:

非负性:

当且仅当时，等号成立.对任意的实数则已知且求解：

由知，解得：定义2内积向量内积长度正交正交长度设令例3解：

称为维向量的长度(范数或模).已知求并将其单位化.故性质2内积向量内积长度正交正交长度例4非负性:

当且仅当时，等号成立;已知求及解：

不难验证：齐次性:

对任意的实数则三角不等式:

则定义3内积向量内积长度正交正交长度则如：

称为向量与正交.定义4若非零向量组中任意两个向量都正交，称这个向量组为正交向量组.如：

定义5若正交向量组中的每个向量都是单位向量，称此向量组为标准正交向量组.设向量的内积如：

即例5内积向量内积长度正交正交长度已知求一向量使为正交向量组.解

设由题知，即令则系数矩阵:故齐次线性方程组有无穷多组解.主

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