2027届高考数学一轮复习8.7抛物线（课件）

第七讲抛物线知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一抛物线的定义平面内________________________________________________的点的轨迹叫抛物线．点______叫抛物线的________，直线______叫抛物线的________.注：l经过F时，与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹为过F与l垂直的一条直线．与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等F焦点l准线知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点F______F________F_______F_______离心率e＝______准线方程____________________________________范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R1开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝____________|PF|＝___________|PF|＝__________|PF|＝__________归

纳

拓

展抛物线焦点弦的处理规律如图，直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N(l为抛物线的准线)．则△HBD

△HFQ

△HAC

△BFN

△BAM等，且(5)以AB为直径的圆与准线相切．(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.(7)A，O，D三点共线；B，O，C三点共线．(8)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点P(2p,0)作直线与抛物线交于A，B两点，则OA⊥OB；过原点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B两点(即OA⊥OB)，则直线AB必过定点(2p,0)．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(

)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(

)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2A．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√[答案]

B[答案]

BC题组三走向考场4．(2025·高考新课标Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(

)A．3 B．4C．5 D．6[答案]

C5．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则(

)A．l与⊙A相切C．当|PB|＝2时，PA⊥ABD．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个[答案]

ABD考点突破·互动探究抛物线的定义及应用——多维探究角度1轨迹问题(2026·山东名校考试联盟摸底)与直线y＝2相切，且与圆x2＋(y＋3)2＝1外切的圆的圆心轨迹为(

)A．椭圆

B．双曲线的一支C．抛物线

D．圆[答案]

C[解析]

记与圆x2＋(y＋3)2＝1外切的圆为圆C，设圆C的圆心为C(x，y)，半径为r，圆x2＋(y＋3)2＝1的圆心为A，因为圆C与圆x2＋(y＋3)2＝1外切，所以|CA|＝r＋1，设圆C圆心到直线y＝2的距离为d，则d＝r，所以|CA|＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝3的距离，由抛物线的定义知：动点C的轨迹为抛物线．故选C.角度2到焦点与准线距离的转化[答案]

C角度3到焦点(或准线)与定点距离之和(或差)的最值问题1．(2026·福建漳州质检)已知点N(1,1)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是C上的动点，则|PN|＋|PF|的最小值为(

)[答案]

B[解析]

过点P作PQ⊥抛物线C的准线l：y＝－1于点Q，由抛物线定义可得|PQ|＝|PF|，则|PN|＋|PF|＝|PN|＋|PQ|≥|NQ|，当且仅当N、P、Q三点共线，NQ⊥抛物线C的准线，即xP＝1时，|PN|＋|PQ|有最小值2.故选B.2．设点P是抛物线C1：x2＝4y上的动点，点M是圆C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝4上的动点，d是点P到直线y＝－2的距离，则d＋|PM|的最小值是(

)[答案]

B[引申]本例1中，|PF|－|PN|的最大值为________，最小值为_______.[答案]

1－1角度4到准线与定直线距离之和(或差)的最值问题(2026·陕西西安质检)已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线y2＝8x上一动点P(x0，y0)到直线l的距离为d，则d＋|x0|的最小值是________.[引申]本例中d的最小值为________.名师点拨：利用抛物线的定义可解决的常见问题1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．2．距离问题：利用抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离进行转化，把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题．注：看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．【变式训练】1．(角度1)(2026·河北邯郸模拟)在平面内，到定点(2,0)的距离比到定直线x＝－1的距离大1的动点M的轨迹方程是________.[答案]

y2＝8x2．(角度2)(2026·云南部分高中开学考试)已知抛物线x＝2y2上的点M到其焦点的距离为2，则点M的横坐标是(

)[答案]

C3．(角度3)(2026·江苏无锡等四地模拟)已知P(3,3)，M是抛物线y2＝4x上的动点(异于顶点)，过M作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，切点为A，则|MA|＋|MP|的最小值为________.[答案]

34．(角度4)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为(

)[答案]

C抛物线的标准方程——自主练透1．过点P(－3,2)的抛物线的标准方程为________________．2．焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程为___________，准线方程为____________.[答案]

y2＝16x或x2＝－8y

x＝－4或y＝2[答案]

C名师点拨：求抛物线的标准方程的方法1．求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．2．因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)．注：数形结合解题时，注意图形的对称性，不要丢解．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．【变式训练】1．(2026·山东青岛调研)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(x,4)在C上，|MF|＝5，则C的方程为(

)A．x2＝4y B．x2＝－4yC．x2＝－2y D．x2＝2y[答案]

AA．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝6x[答案]

B抛物线的几何性质——师生共研1．(2026·河南名校联盟摸底)抛物线y＝4x2的焦点坐标为(

)[答案]

B2．(2026·安徽模拟)已知点P在抛物线y2＝4x上，则点P到点(4,0)的距离的最小值为(

)[答案]

C3．(2026·广东广州南沙区期中)直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝(

)[答案]

C[引申1]本例2中，若Q在直线l：4x＋y＋4＝0上，则|PQ|的最小值为________.[答案]

2名师点拨：1．求抛物线的焦点及准线方程的步骤(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；(2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义的应用，通过定义将焦点弦长转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．3．在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．注意抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转化，关注图中的直角梯形(直角三角形)．[答案]

B直线与抛物线的综合问题——师生共研[答案]

AC2．(2026·浙江嘉兴模拟)过点M(6,4)的直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若M恰为AB的中点，则线段AB的长为________.[答案]

16[答案]

C4．(2025·山西大学附中开学考)在直角坐标系xOy中，抛物线x2＝4y与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．(1)若M点的横坐标为4，求抛物线在M点处的切线方程；(2)探究y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．(2)存在符合题意的点P(0，－a)，理由如下：设点P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.因为a>0，则Δ＝16k2＋16a>0，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a，因为k不恒为0，可知当且仅当b＝－a时，恒有k1＋k2＝0，则直线PM与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．

[答案]

1名师点拨：1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用根与系数的关系“整体代入”求解．注意根据抛物线方程确定消x还是消y，一般消一次项变量．2．求解抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．【变式训练】1．(2026·云南昆明摸底)过抛物线C：y2＝3x的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，若|AB|＝12，则|MN|＝________.2．(2026·湖南部分学校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为直线x＝－2，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则△AOB面积的最小值为(

)A．18 B．16C．12 D．8[答案]

D名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题1．(2026·江苏南通如皋调研)过点P(m，－2)向抛物线x2＝4y引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB恒过的定点为________.[答案]

(0,2)2．(多选题)(2024·湖北九师联盟联考)已知抛物线C：x2＝－8y的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线l1，l2，且l1，l2相交于点P，则(

)A．|PF|＝4B．点P在直线y＝2上C．△PAB为直角三角形D．△PAB面积的最小值为16[答案]

BCD名师点拨：1．利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．注意：(1)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0)；过抛物线C：x2＝2py(p>0)外一点P(x0，y0)引抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则AB：x0x＝p(y0＋y)．(2)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．[答案]

D提能训练练案[55]A组基础巩固

一、单选题A．(1,0) B．(0,1)C．(2,0) D．(0,2)[答案]

B2．(2025·重庆三模)已知A为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为4，到x轴的距离为2，则p＝(

)A．2 B．3C．4 D．6[答案]

C3．(2025·江苏南通如皋中学测试)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(

)A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．y2＝±12x[答案]

C4．(2026·广东部分学校联考)过抛物线E：y2＝6x的焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则|AB|＝(

)[答案]

C5．(2024·宁夏石嘴山三模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|＝2|BF|，|AE|＝3，则此抛物线的方程为(

)[答案]

D[答案]

B[答案]

A二、多选题8．(2026·湖北华大新高考联盟质量测评)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，A，B在直线l：x＝－1上的射影分别为A1，B1，则(

)A．以AB为直径的圆与直线l相切B．∠A1FB1是钝角C．|AB|的最小值是4[答案]

ACD[答案]

ACD三、填空题10．(2026·江西部分学校月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(3,0)，P(2，t)是抛物线C上一点，则|PF|＝________.[答案]

511．(2025·广东部分名校摸底)省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为________米．[答案]

8[解析]

建立坐标系如图，设抛物线方程为x2＝ay且a<0，则根据题意可知图中A坐标为(3.2，－1.6)，所以3.22＝a×(－1.6)，可得a＝－6.4，所以抛物线方程为x2＝－6.4y，令y＝－(1.6＋0.9)＝－2.5，代入方程，解得|x