2.3　第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式-高中数学必修一人教版

2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式.(直观想象、逻辑推理)2.会利用分类讨论思想解含简单参数的一元二次不等式.(逻辑推理、数学运算)3.理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系,并能解决相应的问题.(逻辑推理)

一个2二、一元二次不等式的解法1.二次函数的零点一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),我们把使___________的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.ax2+bx+c=02.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集________________ax2+bx+c<0(a>0)的解集_______________{x|x<x1,或x>x2}

R{x|x1<x<x2}⌀⌀[思考]2.当Δ>0时,y=ax2+bx+c(a>0)的图象与方程ax2+bx+c=0的实数根、不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集之间有什么关系?提示:当Δ>0时,y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点的横坐标x1,x2是ax2+bx+c=0的两个根,也是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集的区域端点.

××√×类型1解一元二次不等式(数学运算)【典例1】(一题多变)[母题](2025·六安高一检测)不等式x2-x-2<0的解集是(

)A.{x|-1<x<2} B.{x|x<-1或x>2}C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-2<x<1}【解析】选A.因为方程x2-x-2=0的解为x1=-1,x2=2,结合二次函数y=x2-x-2的图象(图略),得不等式x2-x-2<0的解集是{x|-1<x<2}.√[变式1]若把母题中不等式改为“x2-x+2<0”,求不等式的解集.【解析】因为方程x2-x+2=0无解,结合二次函数y=x2-x+2的图象(图略),得不等式x2-x+2<0的解集是⌀.[变式2]若把母题中不等式改为“-x2+x+2<0”,求不等式的解集.【解析】原不等式可化为x2-x-2>0,因为方程x2-x-2=0的解为x1=-1,x2=2,结合二次函数y=x2-x-2的图象(图略),得x2-x-2>0的解集是{x|x<-1或x>2}.【解题有招】解一元二次不等式的一般方法和步骤【即学即练】(2026·滨海高一检测)求下列不等式的解集.(1)x2-5x-6>0;(2)-2x2+7x+9>0;(3)9x2-6x+1>0;

类型2解含参数的一元二次不等式(数学运算)【典例2】(易错·对对碰)解下列关于x的不等式:(1)(ax-1)(x-1)>0(a>0).(2)(ax-1)(x+1)>0(a<0).

【解题有招】解含参数的一元二次不等式的策略在解含参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑:(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x