《函数的概念与性质》课件

3.1函数的概念与性质

第3章函数必修一1.了解构成函数的要素，会求函数的定义域和值域；2.了解简单的分段函数；3.了解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判定与证明，求函数的单调区间；4.理解函数的最大(小)值及其几何意义，用图像法、函数的单调性求函数的最值.解决函数最值的应用问题；5.根据函数的单调性求参数或解参数不等式；6.了解奇偶性的概念和几何意义，掌握判断函数奇偶性的方法与步骤，利用函数的奇偶性特征解决问题.知识梳理（1）在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；（2）在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.1.函数的概念（3）一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在

集合A上的一个函数，记作：y=f（x），x∈A其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域.

（4）如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f（a）或y|x=a（5）所有函数值组成的集合{y|y=f（x），x∈A}，称为函数的值域.知识梳理（6）函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母

如g，h等表示.（7）一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则 称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.例如：表示同一个函数.（8）在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时

就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合。（9）求函数定义域常用的依据：①分式中分母不能为零；②二次根式中的被开方数要大于或等于零.知识梳理（1）我们所接触到的函数y=f（x）中，绝大多数f（x）都是用代数式（或解析式）来表示的，例如f（x）=2x+1，这种表示函数的方法称为解析法.

2.函数的表示方法（2）用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.（3）一般地，将函数y=f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）

组成的集合F称为函数的图像，即F={（x，y）|y=f（x），x∈A）.这就是说，如果F是函数y=f（x）的图像，则图像上任意一点的坐标（x，y）都满足函数关系y=f（x）；反之，满足函数关系y=f（x）的点（x，y）都在函数的图像F上.用函数的图像表示函数的方法称为图像法.知识梳理（4）从理论上来说，要作出一个函数的图像，只需描出所有点即可.但是，很多函数的图像都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实.因此，实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.（5）

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.（6）

取整函数，记作y=[x]，其定义域是R，值域是Z，这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数.（7）

在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.例如f（x）=7，x∈R是一个常数函数，它的值域是{7}，图像是一条垂直于y轴的直线.3.用信息技术作函数图象（1）利用计算机软件可以迅速作出函数的图像，从而可以观察函数的性质等.知识梳理（2）在GeoGebra中，只要输入函数的表达式，就可以得到对应的图像.例如，依次输入以下各行内容（每输完一行之后按回车键）：即可得到如下图所示的函数解析式和函数图像（最后的命令实际上是画出了分段函数的图像）.知识梳理4.单调性的定义与证明（1）一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，且I⊆D：①如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），则称y=f（x）在I上是增函数（也称在I上单调递增），如下图（1）所示；②如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），则称y=f（x）在I上是减函数（也称在I上单调递减），如下图（2）所示知识梳理两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）.知识梳理（2）一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0∈D：①如果对任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），则称f（x）的最大值为f（x0），

而x0称为f（x）的最大值点.②如果对任意x∈D，都有f（x）≥f（x0），则称f（x）的最小值为f（x0），

而x0称为f（x）的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.5.函数的平均变化率（1）我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也

成立.一般地,给定平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1）,B（x2，y2）,

当x1≠x2时,称 ,为直线AB的斜率;当x1=x2时,称直线AB的斜率不存在.知识梳理直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度.若记Δx=x2-x1，相应的Δy=y2-y1，则当Δx≠0时，斜率可记为解为.（2）平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜

率都相等或都不存在.（3）由函数的定义可知，任何一个函数图像上的两个点，它们所确定的直线的

斜率一定存在.知识梳理（4）函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减

的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.（5）一般地，若I是函数y=f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，

记y1=f（x1），y2=f（x2），

（即），则:①y=f（x）在I上是增函数的充要条件是

在I上恒成立；②y=f（x）在I上是减函数的充要条件是

在I上恒成立.（6）一般地，当x1≠x2时，称

为函数y=f（x）在区间[x1，x2]（x1<x2时）或[x2，x1]（x1>x2时）上的平均变化率.知识梳理（7）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像上任意两点确定的直线斜率均为k，这实际上也说明了一次函数的图像一定是直线。不仅则此，此时从=k还可以看出，Δy=kΔx，这就意味着在一次函数中，Δy与Δx成正比，且比例系数为k.特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大k个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性质.事实上，如果Δy=kΔx，设x=0时函数值为y0，则

y-y0=k（x-0）即y=kx+y0，因此一定是一次函数.正因为如此，一次函数也经常被称为线性函数.知识梳理6.函数的奇偶性（1）一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，

且f（-x）=f（x），则称y=f（x）为偶函数.（2）偶函数图像的特征：偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像

关于y轴对称的函数一定是偶函数.（5）如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.可以看出，当n是正整数时，函数f（x）=x2n是偶函数，函数g（x）=x2n-1是奇函数.（3）一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，

且f（-x）=-f（x），则称y=f（x）为奇函数.（4）奇函数图像的特征：奇函数的图像关于原点对称.反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.知识梳理（6）设函数f（x）的定义域为D，如果存在x0∈D，但-x0∉D，即函数f（x）的定义域不关于原点对称，则f（x）既不是奇函数也不是偶函数.7.函数奇偶性的应用（1）如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.（2）如果y=f（x）是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；

如果y=f（x）是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同.同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题D同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题感受高考感受高考感受高考A感受高考123456789101112A级必备知识基础练1.下列各式中,表示y是x的函数的有(

)A.0个

B.1个 C.2个 D.3个B1234567891011122.(多选题)下列四个图形中,可能是函数y=f(x)的图象的是(

)AD解析

在A,D中,对于x的取值范围内的每一个x都有唯一的y与之对应,满足函数关系;在B,C中,存在一个x有两个y与之对应的情况,不满足函数关系.1234567891011123.下列四组函数中,是同一个函数的一组是(

)A1234567891011121234567891011124.函数

的定义域是(

)A.[-1,1) B.[-1,1)∪(1,+∞)C.[-1,+∞) D.(1,+∞)B123456789101112AD1234567891011126.若(a,3a-1]为一确定区间,则实数a的取值范围是

.

解析

由题意,得3a-1>a,解得a>.1234567891011127.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是

.(用区间表示)

(2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是

.(用区间表示)

(-1,3]解析

(1)∵-1<x≤1,∴-2<2x≤2.∴-1<2x+1≤3.∴函数的值域为(-1,3].123456789101112123456789101112B级关键能力提升练9.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R,有f(-x)=-f(x),当x>0时,f(x)=2x(x+1),则f(-1)=(

)A.-4 B.0 C.4 D.8A解析

因为f(-x)=-f(x),令x=1,可得f(-1)=-f(1)=-[