2027届高考数学一轮总复习10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征【课件】

第5节离散型随机变量及其分布列、数字特征课标解读

1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量的分布列.2.理解离散型随机变量的数字特征(均值、方差),并能解决一些简单的实际问题.强基础•固本增分1.随机变量的有关概念(1)随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.分两类:离散型随机变量和连续型随机变量通常用大写英文字母表示,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.(2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以

的随机变量.

微点拨

离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.一一列举

2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的

为X的概率分布列,简称分布列.有表格、图形和解析式三种形式

(2)离散型随机变量分布列的性质①pi

0,i=1,2,…,n;

②

=1.

微点拨

可用离散型随机变量分布列的性质检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n≥p1+p2+…+pn3.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn

x1p1+x2p2+…+xnpn

微思考随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系?提示

随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.4.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=

.(a,b为常数)

(2)D(aX+b)=

.(a,b为常数)

常用结论1.E(k)=k,D(k)=0,其中k是常数.2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).3.D(X)=E(X2)-[E(X)]2.4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2).aE(X)+ba2D(X)[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(

)(2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小.(

)√×解析

各个概率之和等于1.√√2.(人A选三教材习题改编)抛掷两枚骰子一次,记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为X,则“X≥5”表示的试验结果是(

)A.第一枚6点,第二枚2点B.第一枚5点,第二枚1点C.第一枚1点,第二枚6点D.第一枚6点,第二枚1点D3.(人A选三教材习题改编)已知X的分布列为

X-101P

A

4.(人A选三教材习题改编)已知随机变量X的分布列为

X-101Pmn

C

5.(人A选三教材习题改编)甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,分布列分别为X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是

.

乙解析

E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9,E(Y)<E(X),故乙技术较好.研考点•精准突破考点一离散型随机变量分布列的性质

C

ABD

规律方法

离散型随机变量的分布列性质的应用

考点二离散型随机变量的分布列及数字特征例2

(2024·北京,18)已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元.赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样1000单,以频率估计概率:(1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率;(2)(ⅰ)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望;(ⅱ)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.

规律方法

求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义,写出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(ξ),D(ξ).[对点训练](2025·福建福州模拟)已知甲盒中有2个红球,2个蓝球,乙盒中有5个红球,1个蓝球,这些球除颜色外完全相同.现从甲、乙两盒中无放回地各任取2个球.(1)求取出的4个球颜色相同的概率;(2)记取出的4个球中红球的个数为X,求X的分布列、数学期望和方差.

X1234P

考点三均值与方差中的决策问题例3

(2024·新高考Ⅱ,18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0<p<q,(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?解

(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,则所求概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686.(2)(ⅰ)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3;若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]p3.P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0,所以P甲>P乙,故应该由甲参加第一阶段比赛.

教考衔接(人A选三7.3.1例4)根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1

运走设备,搬运费为3800元;方案2

建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;方案3

不采取措施.工地的领导该如何决策呢?解

设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,无论有无洪水,都损失3

800元.因此,P(X1=3

800)=1.采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2

000+60

000=62

000元;没有大洪水时,总损失为2

000元.因此,P(X2=62

000)=0.01,P(X2=2

000)=0.99.采用方案3,P(X3=60

000)=0.01,P(X3=10

000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3

800,E(X2)=62

000×0.01+2

000×0.99=2