【几何变换在平面几何教学中的应用研究7800字（论文）】

几何变换在平面几何教学中的应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u前言 摘要：立体几何和解析几何的基础是平面几何，所以我们可以先对平面几何进行研究。通过对平面几何学的研究，学生可以学习科学技术所必须要掌握的基本几何知识、解决实际生活中的问题，培养实际应用能力、图像思考能力以及创新能力等。过去学者多倾向于研究平面几何解法，很少从单一的某一个想法开始，对平面几何教导进行详细的研究。本文以几何变换的想法为中心，以《义务教育课程标准（2001）》为依据，根据在新课改的背景下教育理论的提案，结合中学几何的教学情况，把几何变换融入到中学的教学中，更加丰富平面的几何体系，为平面几何在课堂教学中带来了全新的生命力。关键词：几何变换思想；平面几何教学；中学数学前言基础教育课程改革后，人们已经能够很明确的看到，普通中学的讲义在几何这一章节出现了很大的改变：将几何变成空间和图形，并且将统计与概率、数与代数、实践与综合同时作为新课改后的重要组成部分。在空间与图形这一章节增加了图形的变换，这表明了在初中课程中几何变化得到了很大关注度，平面几何学对中学生学习数学有很大的帮助，所以我们应该要更重视平面几何的教学思想方法。1平面几何在教学中的主要思想方法数形组合的基本思路：就是将抽象的数学语言和直接的图像结合在一起,关键在于代数的问题语言和图形之间的替换,也就是通过数学符号的题目来解决数学图形的题目，或者使用几何图形特性来解决代数问题的思维方式。化归的思想过程：通过对相关信息进行合理的想象得到,使用有关的数学方法来处理问题,使问题之间的差异逐步缩小，也可以用化归的思想方法来思考应用的过程。渗透思想方法：通过发散思想的教育，既可以提高学生处理问题的灵活性，又锻炼学生演绎推理的能力，教会学生用联系的观点去解决问题。分类归纳思想：分类归纳既是数学思想，也是教学方法，其主要体现在对于知识的逐一分析和整合，帮助学生整合自身所学，明确自身的知识结构。几何变换思想：将一平面上的所有平面图形的转换都叫几何变换，就像我们现在使用的小学和中学教材中有二种转换：相似变换、合同变换，这二个类型都是几何变换。合同变换其实是相似比为一的相似变换，但事实上，它是最特别的相似变换。该变换又被叫作保距变换，可分为平移、旋转和反射(轴对称）的转换等。通过研究发现很少有学者去研究几何变换思想在平面几何教学中的应用，因此本文从几何变换的这个角度出发，将几何变换的思想作为探究的例子，探究平面几何教学。2中学几何变换研究的现状2.1研究目的在学习了几种几何变换之后，学生对几何变换的概念、性质、应用有初步的理解，但是他们对几何变换的了解程度还不是很清楚，所以要从问卷调查进行研究，并且融合关于几何变换的教育经验。本次研究主要是希望学生可以知道什么是几何变换的概念和性质，也为了提醒学生和教师几何变换思想在几何教学中占据很重要的地位。2.2研究对象本次测试的对象是淮南第二十六中学九（5）班和九（6）班的学生。初三是初中三年学习中关键的时期，一方面面临初中马上就要结束，另一方面高中的学习生活又要马上来到了。以初三学生作为研究对象，通过研究学生对几何变换的学习情况，可以反映出初中几何教育的现状。2.3问卷设计使用问卷调查的方法来全面的掌握中学生对几何变换的理解情况。首先，根据新课程改革的要求，设计一套问卷调查，以学生的全方位发展为前提。有两类选择题（选择题多更有利于调查进行），一类是对学生几何变换概念理解度的检验，一类是对学生几何变换性质掌握程度的检验。2.4问卷调查情况表2-1问卷调查正确率的统计题号1234567正确人数80787372677836正确率80%78%73%72%67%78%36%根据表格的问卷统计表，可以很明显的发现前面六题，正确率远大于同样是单选题的第七个，这主要是因为前面六题，更多是关于几何变换概念和性质的问题。从数据上看，81%的学生知道什么是轴对称、旋转、平移的概念和性质，但是还有19%的学生对概念不了解。2.5问卷分析结果表明，学生运用几何变换的能力不理想，且学生学习能力比较弱，所以我们要从不同的角度去分析问题的原因。小学的时候就已经出现了变换，但是，当时小学生的认知水平和思考发育水平都还不完全[1]，很难明确的理解几何变换。另外，教师对小学生的要求仅仅是表面上的认识和理解，所以学生只了解几何变换的表面知识。中学生在刚开始进入几何知识学习的时候，分析解决问题的能力很差，缺少对初等几何变换思想的想法。因此，在学习几何变换的概念和性质时，学习更多的是皮毛知识。学生对几何变换的研究往往是表面上的，他们在解决几何变换问题时大多都是记住解题步骤，若将上一题的解题步骤搬到这道题中，问题还没有得到结果，大部分学生就会放弃这道题目，不过这也和老师教几何知识的方法有很大关系，如果老师在上课的时候没有说过，学生也很难继续学习。3几何变换的理论分析3.1几何变换概念一九八七年，龙泽斌在他的书《几何变换》中指出“几何变换涉及从几何结构的集合到它自身或其他这样集合的一种对射”[2]，几何变换也是现代高中数学教育中解决问题的观点。在几何问题的解答中，如果问题提出的很模糊或不清楚时，对图形问题做相应的转换可以帮助我们去找到问题中隐含的条件，以便于更好的解决问题。在七年级的图形的运动这一节对平移、旋转、轴对称给了简单的表述。见表3-1表3-1平移、旋转、轴对称定义名称定义平移在平面内，一个图形上每一个点，按照相同的距离移动到另一个位置，则该运动称为平移，图形平移前后可以完全重合。旋转在平面中，在某方向绕着某一个固定点转动角，称此运动为旋转，固定点是旋转的旋转中心，运动前后的两个图形完全一致。轴对称当图形沿着直线折叠时,其折叠前后图形完全一样，那么可称这两个图形是关于这条直线对称[3]。几何变换中基本合同变换有平移、翻折、和旋转[4]，在处理关于几何的问题时，这三种改变都只会改变图形的基本位置，另一方面图形的尺寸、形状、本来的基本特征不会发生变化，这才能有助于我们构造出新的形状，更便于我们的分析，也方便我们难题的处理。3.2几何变换思想数学思想是所有数学方法的改良和一般化[5]，它是对数学的理解和对数学观点的总结和升华，与数学方法不同，数学思想比数学思考更为深刻。而几何变换想法是现代重要的数学思维方式之一，通过将几何变换与平面几何教育相结合，学生可以从运动的角度解决几何问题，同时也可以找出两个图形之间的内在联系。新课程背景下，更突出了对现代数学思维的重视，也反映了对几何变换思维的关注，在七年级第一学年的直观几何这一节就介绍了平移、旋转、翻折等这些概念，不过当时极少有关于利用几何变换思维处理问题的几何题目，不过近几年几何变换思维开始出现在普通高级程度中等学校招生考试的压轴题目中，也就是将原来关于几何变换的简单题目变成了很复杂题目。因此，用几何变换思维来解题的学生的能力也需要进一步加强。陈建新在《例谈用几何变换思想指导初中几何的学习》中指出，几何变换思想中包含各种思想，如数形结合、转化与化归等[6]。他认为几何变换的思想会拓宽对中学几何课程的展望。任志燕教授在他的关于图形变换的著作中，他指出在平面几何学的教育中，需要将几何变换的概念一点点融入对学生的教学中。这样学生能够发现图和图的联系，可以帮助学生逻辑思维的提升。将几何变换的思想渗透到学生身上，可以引导学生找到数量关系，促进学生数学解题方法的增加。数字变换思想就是运用变换的思想探讨各种事物间的联系并研究形状变化。形状的思想就是运用变换的概念探究各种实体间的关系[7]。她认为几何变换的思想是将复杂的不规则形状变成简单的规则形状，进而更轻松的解决问题。总之，几何变换的思想并不单单是可以帮助学生解决几何问题的数学思想，它可以帮助同学们拓宽视野，增加对数学的理解，使要解决的数学问题变的简单，提高学生解出数学问题的正确率。4平面几何变换的应用4.1平移变换4.1.1平移变换的概念定义：平面R上有一个不变的向量ａ，当变换T发生在平面上时，我们给出任意一个对应点A，A'，经过变换TQUOTE总有QUOTE，则TQUOTE为平移变换，记作“QUOTE”。对应点和向量两者可以共同改变平移变换，恒等变换是平移向量为零向量时的变换4.1.2平移变换的性质性质1：平移变换不改变图形形状、大小。性质2：连续几次平移变换后的结果，依旧是平移变换。性质3：经过平移变换后直线由QUOTE变成了QUOTE，且，平行或者重合，此时线段QUOTE变成线段QUOTE，QUOTE。性质4：不同变换的平移不具有固定点，但是有无限条不变的线，每条线的方向都与平移的方向平行。若三角形（其中QUOTE为水平方向），沿着水平方向平移得三角形QUOTE，QUOTE与在QUOTE'上的点发生了变化，但直线位置没变化，其方向依旧平行与平移方向。性质5：平移变换是运动一种。4.1.3平移变换的应用例1：平移点已知直线与抛物线有两个交点分别为，QUOTE为抛物线上一点，QUOTE为90度，求点QUOTE坐标？分析：在这个问题中，利用变换得抛物线方程并且与直线方程联系在一起，形成一元二次方程，再利用韦达定理解决垂直的题目，从而得到过定点。解答：设QUOTECa0,b0，把原平面直角坐标系原点平移到QUOTE，新平面直角坐标系方程为QUOTE，QUOTEC0,0记新坐标系直线方程为，设变化后坐标系QUOTE，QUOTEBa2,b2，则，QUOTE，于是，QUOTE，即，QUOTE由QUOTE可知，QUOTEQUOTE，则，QUOTE所以直线QUOTE过点，原来过点QUOTE，这个点在原坐标系的直线上变成并且联立QUOTE解出QUOTE或9，，QUOTE因此QUOTE或QUOTE。4.2对称变换4.2.1对称变换的概念对称变换是一类物体从平面出发对自身方向的一个变换，如果l为平面上一条方向不变的直线，T为变换。在平面上的任取一个点，若直线l是点AQUOTE和其对应点A'连线形成的线段QUOTE的垂直平分线，那么T是以l为对称轴的对称变换，记为QUOTE，对称轴是每一对对应点连线的中垂线，在对称轴上的各部分到相邻点的距离也应该相等，所以对称反射是由对称轴和一对对应点两者共同确定的。4.2.2对称变换的性质性质1：将线段作对称变换，这样我们可以得到两条一模一样的线段，且线段的中垂线是对称变换的对称轴。性质2：经过对称变换，前后所得的两个图是完全相同的，若将这两个图形沿对称轴折叠，可以发现图形重合。性质3：对称轴不变的情况下，两次对称变换，也可以叫恒等变换，将一个图形作对称变换，得到了新的图形，然后再用同一个对称轴对新的图形作对称，出现的图形是原来的图形。性质4：如果两个图形上的每一个对应点都重合，则称这两个图形是符合对称变换的。4.2.3对称变换的应用关于点的对称变换有这么一个问题，《古从军行》一诗中前两句“白日登山望峰火，黄昏饮马旁交河”就包含了一个很有意思的数学教育问题。诗中将军坐视烽火后，由山脚的A点开始，再来到河边的CQUOTE点给马儿们饮水，最后又返回到刚出营的BQUOTE点，试问将军们怎样走路才能走的路最少？图1“将军饮马”图以河作为对称轴，做点A的对称点A'，连接，与河相交的点是我们是所求的路途最近的点。初中有很多类似与“将军饮马”的题目，例如图2两点之间线段最短题目图如图2，里面有一个任意一个点P，QUOTE。QUOTE，点MQUOTE是OA上的动点，点NQUOTE是OB上的动点，求QUOTE周长什么时候值最小?分析：求QUOTE周长最小的值，而三角形的周长是三边相加，即PM+PN+MN，求周长最小值也就是求PM+PN+MN的最小值。因为M、N两点是三角形的转折点，所以作点P关于OB对称点P'QUOTE，和点P关于OAQUOTE的对称点QUOTEP''，就是将PM+PN+MN变成P'N+MN+P''MQUOTE。图3最短周长题目图解：当P'，M，N，QUOTEP''在同一条直线上时，周长的值是最小的，三角形周长的值和线段P'P''一样大。连接OP'QUOTE，OP''QUOTE，可知是等边三角形，则P'P''=OP'=OP'=8QUOTE。4.3旋转变换4.3.1旋转变换的概念若一个映射是平面到它自己的映射，即我们可以假设是一个有方向的角，T是变换，当AQUOTE映射到A'时，有，QUOTE，QUOTE且射线OAQUOTE到OA'QUOTE的方向与原来的方向相同，这种变换被称为旋转变换。QUOTEO为旋转变换的中心，QUOTE为旋转的角度，记作QUOTE。当转动180°时，我们把这样的运动称为中心对称变换，运动的旋转中心叫做对称中心。转动前后所得的图形完全相同，但是所在的方位可能发生变化。4.3.2旋转变换的性质性质1：变换前后的二幅图形完全一样，相应的线段相等，且对应线段所成的角度和旋转角相等，线段的垂直平分线经过旋转中心[8]。性质2：若旋转角不等于180°，则直线和与之对应直线之间所包含的角为QUOTE。性质3：旋转中心确定时，两个旋转变换的相乘结果是旋转变换[9]，，QUOTE是同一个旋转中心O的旋转变换，则QUOTE是以O为旋转中心，QUOTE为旋转角的旋转变换QUOTE，结果依旧是旋转变换，先将一个图形将OQUOTE为旋转中心旋转QUOTE，保持旋转中心不变，在旋转，所得图形就是原图以OQUOTE为旋转中心旋转QUOTE角度。性质4：旋转变换的逆变换还是旋转变换，即。当O为旋转中心旋转QUOTE角度时，如果图形想要返回原来的位置，则需要将O作为旋转中心再旋转-才可以完成。性质5:旋转变换不一定相等，但是固定点只有旋转中心这一个，当转动的角度为180度时，此时有一个不变直线，这种旋转变换也可以说是关于中心对称的变换。C为的QUOTE旋转中心，转动角度得到QUOTE，观察可得，直线的所有位置都出现了变化，并且只有C点才和相对应点重合。4.3.3旋转变换的应用旋转变换法是以运动的观念去对待二个几何图形[10]。即在变换时，一个形状变为另一个形状，这个思想是现代数学中最流行且最重要的思想，和传统的静止思想相比较，有着最根本的差异。把这种思想运用到处理数学问题中，许多问题将迎刃而解。例3：如图所示，QUOTE，QUOTE都是等边三角形。求证。QUOTEBE=DC图4旋转变换题目图分析：通过题目可知，QUOTE是等边三角形，也QUOTE是等边三角形，所以我们可以利用等边三角形性质，同时我们发现是由QUOTE通过转动得到的，由此发现我们可以尝试证明QUOTE与QUOTE全等，如若证出三角形全等，可得QUOTE。证明：∵QUOTE与QUOTE是等边三角形，∴，，QUOTE又∵，QUOTE∴，QUOTE∴。QUOTE总结：利用旋转变换的思想来解决题目，既能帮助学生理清楚解题的思路，又能帮助我们高效的解决这道题，同时还可以在解决其他类数学问题时发挥作用。4.4小结合同变换也可以叫全等变换。换而言之，图形的形状尺寸与合同后的原始图形完全相同。原图的性质也没有变更，但其在的地方发生了变化。这样，可以形成有利于讨论的新图形，更便于处理问题。三种变换之间有很多差异，平移变换大多发生在几何内部，旋转变换主要是通过图形的旋转为解决题目提出思路，对称变换更多应用在直线和对应点之间。但是三者的最终目的都是为了更好的去处理几何问题。5几何变换思想在中学教学中的教学建议和实施5.1几何变化思想在教学中的实施——以对称变换为例中学生刚开始学习几何变换，他们应该学会应用数学符号的表达代替书写文字语言。同时，在日常的数学学习过程中，学习方法必须有所改变。主动的去学习知识而不是被动的接受老师教授的知识，保证学生的主体地位，使老师处在引导者的地位。以对称变换的设计为例，提出了对初中数学专业教师的初等几何变换的指导方案。对称性的内容与分析对称是初二下学期第15章第一节的内容，这节课主要学习的是轴对称的概念，理解轴对称有什么特点，并能运用轴对称解决生活中的相关问题。目标及目标解决从实际生活中轴对称的例子开始，引出其定义，使学生对关于对称轴对称的图形有了一定的了解。第一步我们要帮助学生知道什么是轴对称的定义，第二步我们要教会学生如何画轴对称图形的对称轴，最后一步要求学生独立做出对称轴。理解有对称轴的图形的特质，观察轴对称在实际生活中的应用，探索学生的发散思维，教会学生如何使用轴对称的概念和特性来解决简单的对称问题。变换思想的关键是图形前后的不变量，为了确定新的定量关系，使用几何变换法来培养学生的发散思维[11]。教学问题的分析在学习本节课之前学生对对称性，是不太了解的。对称变换作为几何变换的成员，在教科书中出现之前，学生没有系统的学习过关于对称的知识点。学习新的知识点是需要花费大量的时间的，这不仅仅是对学生的考查，也是对教师的考查。对学生学习的分析关于对称变换的内容出现在八年级下册的课本上。在这一个时间段，学生正处于认知发展的重要时期。上课时，为了引导学生运用对称变换解决实际问题，教师利用生活经验，用生活中的例子增加学生与轴对称图形见面的次数，使轴对称的概念更直观。教师会有意识的引导学生思考轴对称为什么有这样的性质，以及性质的意义是什么。最后教师指导学生练习，做出轴对称图形。5.2实现几何变换想法的方法和建议启发式教学：对于几何变换问题我们可以利用分析图形来解决，在《透明的几何中》指出，全等三角形可以作为基础的图形来启发我们的思维，进而写出解题过程[12]。以往的教学形式往往以概念教学为主，即在上课过程中将科学家总结的概念传达给学生。但是这种教学方法并不适合基本几何变换的学习，根据调查的数据，建议老师使用启发式教学。启发引导的教学方式可以消除教学过程中的主要障碍，更有利于教师教学[13]。启发式教学的设计过程：（1）教师在帮助学生，分析问题和刺激学生思考时扮演主角。（2）教师创造适当的教学场景，与学生进行沟通交流。（3）鼓励学生自己独立总结问题，锻炼学生的能力。在日常备课中，教师要有研究意识，深入地去学习教材。在上课的过程中，教师要打破传统标准答案的束缚，指导学生从几何变换的观点考虑。突破自己的认知，鼓励学生探究几何问题、寻找题目的不同解法[14]。同一课程，同一教材内容，在面对几何变换问题时，使用启发式教学，可以更好的把握教学效果。同时教师也要不断的提升自己的能力，因为教师的知识水平的薄弱，会造成学生的学习障碍，会影响学生数学能力水平[15]。6结语6.1创新之处在国家普及素质教育的情况下，探究平面几何教学中的不同思想与应用，更能有助于学生学习平面几何。平面几何教育可以让学生掌握科学和技术所必须了解的基本几何知识，在生活中解决一些实际问题，使学生具备操作解题能力。通过对学生写过的问卷进行分析，和对不同的几何变换的题目分析，从教育的角度对平面几何中的几何变换思想进行研究，其成果更可靠，更具有可实施性。6.2不足之处本文从初中三年级的学生中选定样本，样本的性能是否能反映学生对几何变换学习的掌握，没能得到证实。个别学生的