《数学归纳法》课件

5.5数学归纳法

第5章数

列选修三

1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1.数学归纳法（1）概念：用来证明某个命题在任意一个给定的情形都是正确的.（2）一般步骤：

①当n=1时，显然成立.

②假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立，则当n=k+1时,（这步比较

困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立.

由①②得，原命题对任意正整数均成立。（3）特点归纳：已经总结出规律，只要能够证明规律的正确性，就不需要逐步

推算，可节省时间和资源

（4）数学归纳法的核心思想-逆向递推

迭代的核心思想-正向递推同步习题同步习题同步习题感受高考12345678910111213141516A级必备知识基础练D12345678910111213141516123456789101112131415162.[探究点一]用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=(

)A.f(k)+[2(2k+1)]B.f(k)·[2(2k+1)]B解析

由数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是

=2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].123456789101112131415163.[探究点一](多选题)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*).若当n=1,2,…,1000时,p(k)成立,且当n=1001时也成立,则下列判断中正确的是(

)A.p(k)对k=528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立AD解析

由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2

002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立,故选AD.1234567891011121314151612345678910111213141516关于上述证明过程的说法正确的是(

)A.证明过程全都正确B.当n=1时的验证正确C.归纳假设正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确BCD解析

n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.123456789101112131415165.[探究点五·江西新余月考]用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为

.

34(34k+2+52k+1)-56·52k+1解析

34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.12345678910111213141516(1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.12345678910111213141516123456789101112131415167.[探究点三·人教B版教材例题]求证:当n是大于或等于5的正整数时,2n>n2.证明①当n=5时,25=32,52=25,显然25>52,所以此时命题成立.②假设n=k(其中k≥5)时命题成立,即2k>k2.因为k≥5,所以k2≥5k>2k+1,因此2k+1=2×2k>2×k2≥k2+5k>k2+2k+1=(k+1)2.可知不等式当n=k+1时也成立.综上可知,不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立.123456789101112131415168.[探究点二·北师大版教材习题]平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数证明①当n=2时,两条直线只有一个交点.而f(2)=1,命题成立.第(k+1)条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点.即

由①②知,对于n≥2原命题成立.B级关键能力提升练12345678910111213141516D123456789101112131415161234567891011121314151610.利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=

n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1-Sk=(

)A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+(k-1)C.1+2+3+…+(k+1)D.1+2+3+…+(k-2)C12345678910111213141516解析

依题意,Sk=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则Sk+1=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴Sk+1-Sk=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).1234567891011121314151611.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.则下列命题总成立的是(

)A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立AD12345678910111213141516解析

选项A中,若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,故A正确;选项D中,若f(4)≥5成立,则f(n0+1)≥n0+2(n0≥4,n0∈N*),即f(k)≥k+1(k≥5),结合f(4)≥5,所以当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确;选项C中,同选项A,应有f(1)<2成立,故C错误;B不一定成立.所以选AD.1234567891011121314151612.用数学归纳法证明“当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k∈N*)时,f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=f(k)+A,则A的表达式为

.

A=4(5k+3k-1)解析

因为f(k)=5k+2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1=f(k)+4(5k+3k-1).故A=4(5k+3k-1).12345678910111213141516∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.12345678910111213141516①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;1234567891011121314151614.[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).证明①当n=1时,左边=1+α,右边=1+α,命题成立.②假设当n=k(k≥1)时,命题成立,即(1+α)k≥1+kα.那么,当n=k+1时,因为α>-1,所以1+α>0.根据假设知,(1+α)k≥1+kα,所以(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=1+(k+1)α+kα2.因为kα2≥0,所以1+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α.从而(1+α)k+1≥1+(k+1)α.这表明,当n=k+1时命题也成立.根据①和②,该命题对于任意正整数n都成立.12345678910111213141516(1)求f2(x),f3(x),并猜想{fn(x)}的通项公式;(2)用数学归纳法证明猜想.123456789101112131415