数理统计大数定律

数理统计大数定律第一页，共27页。数理统计大数定律第二页，共27页。例2测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于a,量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的.例1掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现一点的概率是1/6,在掷的次数比较少时,出现一点的频率可能与1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现一点的频率接近1/6几乎是必然的.一、问题的引入第三页，共27页。这两个例子说明：在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。

大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性.第四页，共27页。定理5.1契比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.切比雪夫不等式第五页，共27页。得第六页，共27页。切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。从切比雪夫不等式还可以看出,对于给定的

>0,当方差越小时，事件{|X-E(X)|≥

}发生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近．这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量．当D(X)已知时，切比雪夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于

的概率的估计值．切比雪夫不等式的用途：（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率或区间内取值的下界。第七页，共27页。例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为P(5200X9400)做题时如何选取？第八页，共27页。由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}第九页，共27页。【例5-2】已知n重伯努利试验中参数p=0.75，问至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90？

解：设需做n次试验，其中成功的次数为X，则X～B(n，p)，E(X)=np，D(X)=np(1–p)。因为根据契比谢夫不等式应有第十页，共27页。令 解得 所以至少应做18750次试验．第十一页，共27页。

例3:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界.解第十二页，共27页。【练习】若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10，试估计及格率至少为多少？

解：用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X)=80，方差D(X)=100，所以P{60

X

100}

P{60<X<100}=P{|X–80|<20}所以及格率至少为75%．第十三页，共27页。练习设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。解令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时由切贝雪夫不等式可得:第十四页，共27页。

定义：若存在常数a,使对于任何二、依概率收敛的概念则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a有记：第十五页，共27页。如意思是:当a意思是:时,Xn落在内的概率越来越大.,当而第十六页，共27页。依概率收敛序列的性质:第十七页，共27页。三、基本定理定理5.2的推论

切比雪夫大数定律切比雪夫定理的特殊情况第十八页，共27页。证明由契比雪夫不等式可得取极限并由夹逼定理得：第十九页，共27页。定理表明：在一定条件下，n个随机变量的算术平均依概率收敛于常数，即当n充分大时它几乎为常数。关于定理的说明:（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下,n个随机变量的算术平均,当n无限增加时,几乎变成一个常数.第二十页，共27页。定理的另一种叙述:切比雪夫大数定律的一个推论通常称为贝努里大数定律.第二十一页，共27页。证明引入随机变量定理5.4伯努利大数定律第二十二页，共27页。显然根据定理5.2有第二十三页，共27页。关于伯努利大数定律的说明:故而当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.第二十四页，共27页。关于辛钦定理的说明:(1)与定理一相比,不要求方差存在;(2)伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.定理5.3辛钦大数定律(3)辛钦定理是第7章点估计