第三测试系统的基本特性

第三测试系统的基本特性演示文稿第一页，共60页。（优选）第三测试系统的基本特性第二页，共60页。★

理想测试装置：具有单值的、确定的输入输出关系，即对于每一输入量都应只有单一的输出量与之对应

★

输出与输入成线性关系为最佳。测试系统的输入和输出之间应尽量满足线性关系，进而实现不失真测试。实际测试系统大多不可能在整个工作范围内完全保持线性，而只能在一定范围内和一定的（误差）条件下作线性处理，这就是该测试系统的工作范围。一、测试装置的基本要求

输入量x(t)

输出量y(t)

传输特性h(t)测试装置

研究测试装置的特性就是研究x(t)、y(t)、h(t)之间的关系，知道其中两个，就可确定另一个量。第三页，共60页。xy线性xy线性xy非线性不失真

在x(t)基本不随时间变化的静态测量中，测试系统的线性关系总是希望的，但不是必需的，因为静态非线性校正较容易。在动态测试中，则力求测试系统是线性系统。一是因为目前对线性系统能够做比较完善的数学处理与分析，二是因为动态测试中的非线性校正非常困难。第四页，共60页。

二、线性系统及其主要性质则称该系统为时不变线性系统，也称定常线性系统。通常n>m，表明系统是稳定的，即系统的输入不会使输出发散。系数a0、a1、…、an和b0、b1、…、bn均为常数.

如果x(t)和y(t)的关系可用线性常微分方程描述，即：

式(3-1)

严格地说，很多物理系统是时变的，因为构成物理系统的材料、元件、部件的特性并非都是非常稳定的。但在工程中，通常以足够的精确度把时变线性系统当作时不变线性系统来处理。第五页，共60页。

线性时不变系统具有以下主要性质：1、叠加性

若则

即符合叠加原理：作用于线性系统的各个输入所产生的输出是互不影响的。总输出等于所有单个输入作用时的输出相叠加。2、比例特性

若

对于任意常数k，有

3、微分特性系统对输入微分的响应等于对原输入响应的微分，即若则第六页，共60页。4、积分特性若则

如果系统的初始状态为零，则系统对输入积分的响应等于原输入响应的积分，即5、频率保持特性

若则

即信号经过测试装置后，幅值可能放大或缩小，相位也可能发生变化，但频率不会变化。

两点说明：

★只要一个系统满足叠加性和比例性，该系统就是线性系统.

★非线性系统的分析与求解十分困难。在许多情况下，非线性系统可在一定范围内近似为线性系统，并用线性系统的理论进行分析与求解，这使得对线性系统的研究更为重要。第七页，共60页。第二节测试系统的静态特性

如果测量时，测试装置的输入、输出信号不随时间而变化（或变化极缓慢），则称为静态测量。第八页，共60页。★静态特性是指被测信号为静态信号(或变化极缓慢信号)时测试装置的输出与输入之间的关系。

★定度曲线——描述测试装置输入输出之间关系的曲线。

★当输入信号为静态信号，由式(3-1)得

这是理想状态下定常线性系统输入输出关系，即单调的线性比例关系。然而，实际的测量装置并不是理想的线性系统，定度曲线不是直线。通常是采用“最小二乘法”拟合的直线来确定线性关系。用实验方法，确定出定度曲线，由定度曲线的特征指标，即可描述测量系统的静态特性。

几点主意：

第九页，共60页。

静态特性主要有线性度、灵敏度、回程误差三项。

一、线性度yxAB线性度=B/A×100%

实用中对非线性定度曲线的处理：★通过非线性补偿，扩大系统的标称输出范围。★限定输入量变化范围很小，使定度曲线满足线性要求。

定度曲线与理想直线的接近程度。以定度曲线与拟合直线的最大偏差B同标称范围A的百分比表示。第十页，共60页。

二、灵敏度

当输入信号有一增量∆x，引起输出信号发生相应变化∆y时，定义S=∆y/∆x为灵敏度。x∆y∆xy★

对于理想的定常线性系统★灵敏度的量纲取决于输入输出量的单位。当二者相同时，常用“放大倍数”或“增益”代表灵敏度。★鉴别力阈：又称为死区，即对器具的响应而言，被测量的最小变化值。★分辨力：即能够肯定区分的指示器示值的最邻近值。一般规定：数字装置：最后一位变化一个字的大小模拟装置：指示标尺分度值的一半。第十一页，共60页。

三、回程误差（也称滞后或变差）hmaxyxA

回程误差:以hmax与测量系统满量程输出值A的百分比表示，即(hmax/A)×100%。

测试装置在输入量由小到大再由大到小的测试过程中，对于同一输入量所得输出量不一致的程度。第十二页，共60页。

四、其他表征测试系统的指标1、精确度准确度：反映测量结果中系统误差的影响。精密度：反映测量结果中随机误差的影响。精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差的综合影响，即反映测量的总误差。作为技术指标，常用相对误差和引用误差来表示。

es小，er大

es大，er小

es小，er小第十三页，共60页。3、信噪比（SNR）信号功率与噪声功率之比，或信号电压与噪声电压之比，单位为分贝。即2、漂移漂移——指测量装置的测量特性随时间的缓慢变化。

4、测量范围测试系统能进行正常测试的工作量值范围。若为动态测试系统，须表明在允许误差内正常工作的频率范围.

在规定条件下，对一个恒定的输入在规定时间内的输出变化，称为点漂；在装置标称范围最低值处的点漂，称为零点漂移，简称零漂。随环境温度变化所产生的漂移称为温漂。第十四页，共60页。★分贝dB——测量证明，人耳对3000赫兹的声波最敏感。只要这个频率的声强达到I0＝10－12瓦/米2，就能引起人耳的听觉。声强级就是以人耳能听到的这个最小声强I0为基准规定的，并把I0＝10－12瓦/米2的声强规定为零级声强，也就是说这时的声强级为零分贝。当声强由I0加倍为2I0时，人耳感到的声音强弱并没有加倍。只有当声强达到10I0时，人耳感到的声音强弱才增大一倍，这个声强对应的声强级为10分贝；当声强变为100I0时，人耳感到的声音强弱增大2倍，对应的声强级为20分贝；当声强变为1000I0时，人耳感到的声音强弱增大3倍，对应的声强级为30分贝，依此类推。人耳能承受的最大声强为1瓦/米2＝1012I0，它对应的声强级为120分贝(注：10分贝=1贝尔)。式中，ymax，ymin

分别为装置的测量上限、下限。5、动态范围（DR)

指系统不受各种噪声影响而能获得不失真输出测量的范围。常用测量上下限比值的分贝值来表示，即：第十五页，共60页。★描述测试系统的特性——实质上就是建立输入信号、输出信号和测试装置结构参数三者之间的关系。

第三节测试系统动态特性★动态特性——输入量随时间变化时测试系统所表现出的响应特性。

系统分析中的三类问题1）当输入、输出是可测量的(已知)，可以通过它们推断系统的传输特性。(系统辨识)

2）当系统特性已知，输出可测量，可以通过它们推断导致该输出的输入量。(反求)

3）如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出量。(预测)

第十六页，共60页。一、测试系统动态特性的描述方法已知系统输入1．时域微分方程

线性时不变系统，可用常系数线性微分方程(3-1)描述。解微分方程系统的响应输出根据输入输出之间的传输关系就可确定系统的动态特性。存在问题：解微分方程困难，不便实际应用。解决方法：利用拉普拉斯变换或傅里叶变换。第十七页，共60页。

后者是x(t)的傅里叶积分公式。那么，一个非周期函数x(t)在什么条件下，可以用傅里叶积分公式来表示？关于拉普拉斯变换

傅里叶变对

傅里叶积分定理——若x(t)在（-∞，+∞）上满足下列条件：①在任一有限区间上满足狄利克雷条件；②在（-∞，+∞）上绝对可积（即积分收敛），则有成立，而左端的x(t)

在其间断点处，应以[x(t+0)+x(t-0)]/2代替。第十八页，共60页。

傅里叶变换的不足：

问题1：为什么要用拉氏变换？傅里叶变换有不足。

1）绝对可积条件比较强，许多函数即使是很简单的函数(如单位函数、正弦函数、余弦函数以及线性函数等)都不满足该条件.

2）可进行傅氏变换的函数必须在整个数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或不需要考虑，像这样的函数都不能取傅氏变换。

问题2：对于任意一个函数，能否经过适当地改造使其进行傅氏变换时克服上述两个缺点？能！

问题3：如何改造函数？

应用单位函数u(t)和指数衰减函数e-αt(α>0)。第十九页，共60页。

单位函数u(t):因不收敛，u(t)不满足绝对可积条件.傅氏变换将u(t)看成推广傅氏变换的定义

这样定义的傅氏变换应理解为是在广义意义下的傅氏变换。所谓广义是相对于古典意义而言的，在广义意义下的傅氏变换是允许交换积分运算和求极限运算的次序，即第二十页，共60页。

指数衰减函数:x(t)0t1|X(ω)|0ω1/σ第二十一页，共60页。使积分区间由(-∞,+∞)换成[0,+∞)任意函数x(t)使其变得绝对可积x(t)，再取傅里叶变换产生拉普拉斯变换对取傅氏变换，得:

由此确定的X(s)，实际上是由f(t)通过一种新的变换得来的，这种变换我们称为拉普拉斯变换。设，则得

第二十二页，共60页。

拉普拉斯变换定义：设函数f(t)

当t≥0时有定义，而且积分（s是一个复变量）在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：

拉氏变换的存在定理：若f(t)满足：①在t≥0的任一有限区间上分段连续；②在t充分大后满足不等式|f(t)|≤Mect，其中M、c都是实常数，则X(s)=L[f(t)]在半平面Re(s)上一定存在。

f(t)为X(s)的拉氏逆变换(或称为象原函数)，记为： f(t)=L-1[X(s)]

X(s)是

f(t)的拉氏变换(或称为象函数)，记为： X(s)=L[f(t)]第二十三页，共60页。拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：FT:

时域函数f(t)频域函数X(ω)（变量t、ω

都是实数）

傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；

拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。变量

t变量ω

LT:

时域函数f(t)复频域函数X(s)

t（实数）s=σ+jω

（复数）变量

t变量s（复频率）

第二十四页，共60页。

拉普拉斯变换的应用：

（1）微分方程的拉氏变换解法取拉氏变换象函数的代数方程解代数方程象函数取拉氏逆变换微分方程象原函数（微分方程的解）目的

（2）线性系统的传递函数第二十五页，共60页。2、传递函数

设

L[y(t)]=Y(s)，L[x(t)]=X(s)，根据拉氏变换的微分性质若则可得第二十六页，共60页。公式两边取拉氏变换并整理令令其中系统的传递函数第二十七页，共60页。其中

传递函数H(s)表达了系统本身的特性，而与激励及系统的初始状态无关。但Hh(s)则由激励和系统本身的初始条件所决定。若这些初始条件全为零，即Hh(s)=0时，有

或

这表明，在零初始条件下，系统的传递函数等于其响应的拉氏变换与其激励的拉氏变换之比。第二十八页，共60页。

1）只反映系统本身传输特性，与输入和初始条件均无关.

2）只反映系统本身的传输特性，与系统具体的物理结构无关。

3）对实际的物理系统，由于输入和输出常具有不同的量纲，传递函数通过系数a0、a1、…、an和b0、b1、…、bm反映出输入输出量纲的变换关系。

4）H(s)的分母取决于系统结构。分子与外界因素有关。一般测试装置都是稳定系统，稳定的必要条件之一是n>m。

传递函数有以下特点：

5）传递函数不表明系统的物理性质。许多性质不同的物理系统，可有相同的传递函数；而传递函数不同的物理系统，即使激励相同，其响应也是不同的。因此，对传递函数的分析研究，能统一处理各种物理性质不同的线性系统。第二十九页，共60页。3、频率响应函数H(ω)

根据定常线性系统的频率保持特性，若输入为一正弦信号x(t)=X0sinωt，则稳态时的输出是与输入同频率的正弦信号y(t)=Y0sin(ωt+φ)，但其幅值和相位角通常不等于输入信号的幅值和相位角。所以，幅值比A=Y0/X0和相位差φ都是输入信号频率的函数。幅值比定义为该系统的幅频特性，记为相位差定义为该系统的相频特性，记为复杂信号可分解为正弦信号的叠加，系统的频率特性也是适用的。系统的频率响应函数：第三十页，共60页。

在传递函数H(s)中，令σ=0

，即s=jω，可求得频率响应函数H(jω)频率响应函数有时记为H(jω)，以此说明它源于H(s)。

若在t=0时，将激励信号接入稳态常系数线性系统，在拉氏变换中令s=jω，实际上是将拉氏变换变成傅氏变换。又由于系统的初始条件为零，因此系统的频率响应函数就成为H(ω)就成为第三十一页，共60页。

可将H(ω)的实部和虚部分开，记为

在工程领域中，常将A(ω)—ω和φ(ω)—ω分别作图，即为系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。实际作图时，为了方便，常常采用如下作图方法。1）将ω或f的坐标取对数，幅值比取分贝数,φ取实数，分别称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，总称伯德(Bode)图。则有

2）用H(ω)的实部P(ω)和虚部Q(ω)分别作P(ω)—ω和Q(ω)—ω的曲线，可得到系统的实频特性和虚频特性曲线图。3）用P(ω)和Q(ω)分别作为横、纵坐标画出Q(ω)—P(ω)曲线，并在曲线某些点上分别注明相应的频率，就是系统的奈奎斯特(Nyquist)图。图中自原点画出的矢量向径，其长度和与横轴的夹角分别是该频率ω点的A(ω)和φ(ω)。第三十二页，共60页。

伯德图是经过处理的幅频特性图，普通的幅频率特性图，横坐标是频率，纵坐标是幅值的放大倍数，表明了一个电路网络对不同频率信号的放大能力。但是在电子电路中，这种图有可能比较麻烦，1）要表示一个网络在低频和高频下的所有情况，那么横轴（频率轴会很长）。2）一般放大电路的放大倍数可能达到几百，使得纵轴也很长。3）这样画出的图形往往是很不规则的曲线。伯德图是根据上述三点作了改进：

（1）横坐标的频率改成指数增长，而不是以前的线性增长，比如频率刻度为10、100、1000、104等，每一小格代表不同的频率跨度。使一条横轴能表示如1Hz到108Hz这么大的频率范围。

（2）纵坐标表示放大倍数的自然对数的20倍，这是根据分贝的定义。这样纵坐标的值大概0到60就足够了。这样在图中一眼就能看出放大的分贝数。相频特性也可以相应的画。

（3）把曲线做直线化处理。画图所依据的式子中会得到fL、fH的数值。得出的伯德图也应该在fL和fH处出现拐角（不是拐弯），尽管这点按拐角处理会产生一定的误差。在斜率不为0的直线处要标明斜率。标出每十倍频程放大倍数的变化情况。经过这三种简化，伯德图的曲线就是由一条折线组成,看起来非常舒服。虽然经过处理造成了误差，但已经成为一种标准。第三十三页，共60页。

频率响应函数的测量(正弦波法)

测量过程：依次用不同频率fi的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值、相位，得到幅值比、相位差。

测量依据：频率保持性，即若x(t)=Acos(ωt+φx)

，则y(t)=Bcos(ωt+φy)第三十四页，共60页。

优点：简单，信号发生器，双踪示波器缺点：效率低

从系统最低测量频率fmin到最高测量频率fmax，逐步增加正弦激励信号频率f，记录下各频率对应的幅值比和相位差，绘制就得到系统幅频和相频特性。

A(f)—f

φ(f)—f

第三十五页，共60页。4、脉冲响应函数h(t)输出的拉氏变换为

输入为单位脉冲函数★h(t)、x(t)、y(t)

三者间的关系：

y(t)=h(t)*x(t)★h(t)

称为测试系统的脉冲响应函数或权函数。它是测试系统特性的时域描述形式。★传递函数H(s)、脉冲响应函数h(t)

和频率响应函数H(ω)分别是在复频域、时域和频域中描述测试系统的动态特性。三者是一一对应的。

h(t)

和H(s)是拉氏变换对，h(t)

和H(jω)是傅氏变换对。第三十六页，共60页。

案例：音响系统性能评定y(t)=x(t)*h(t)Y(f)=X(f)H(f)

改进：脉冲输入/白噪声输入，测量输出，再求输出频谱。飞机模态分析第三十七页，共60页。

案例：镗杆固有频率测量第三十八页，共60页。

实验：悬臂梁固有频率测量第三十九页，共60页。

案例：桥梁固频测量

原理：在桥中设置一三角形障碍物，利用汽车过碍时的冲击对桥梁进行激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。第四十页，共60页。

二、测试系统的动态特性1、一阶系统的动态特性

一阶系统——能用一阶微分方程描述的系统均为一阶系统。x(t)为输入位移量，y(t)为输出位移量。通常阻尼力Fb与运动速度成正比，作用力Fa与弹簧刚度及位移成正比，即(a)由弹簧、阻尼器组成的一阶机械系统

根据力平衡，得出阻尼系数刚度系数第四十一页，共60页。

RCy(t)x(t)(b)RC低通滤波器

CR低通滤波器

输出电压y(t)与输入电压x(t)之间的关系为：(c)液柱式温度计

液柱式温度计若用Ti(t)表示被测温度，即输入；To(t)表示温度计的示值温度，即输出。C表示温度计的热容量，R为传导介质的热阻，则根据热力学定律，它们之间关系为:第四十二页，共60页。由测试系统特性确定的常数

——测试系统的时间常数——测试系统的静态灵敏度令

得到归一化为标准形式：输出量输入量由弹簧、阻尼器组成的一阶机械系统RC低通滤波器液柱式温度计第四十三页，共60页。一般一阶系统的传递函数在动态特性分析中，灵敏度只起着使输出量增加倍数的作用。因此为了方便起见，令1）对于时不变线性系统，=常数2）设初始条件为零，取拉氏变换令s=jω频率响应函数幅频特性：相频特性：第四十四页，共60页。图3-7

一阶系统的伯德图a)对数幅频特性曲线b)对数相频特性曲线图3-6

一阶系统的幅频和相频特性a)幅频特性曲线b)相频特性曲线ω=0，A(0)=1ω=1/τ，A(ω)=0.707ω=1/τ，20lg(0.707)=-3dBω=1/τ，φ(1/τ)=-450ω=1/τ时，输出信号的幅度下降至输入的0.707，输出滞后输入450。τ是一阶系统的重要参数。τ越大，测试系统的动态范围越宽。第四十五页，共60页。

对上式进行拉氏反变换，得其时域响应：一阶系统的单位脉冲响应

一阶系统对具体输入信号的相应特性：

当输入信号x(t)=δ(t)，其拉氏变换L[δ(t)]=∆(s)=1，则

（1)一阶系统的单位脉冲响应

可见，输入δ(t)后，系统的输出从突变值1/τ迅速衰减。τ越小，系统的输出越接近δ(t)。第四十六页，共60页。

（2）一阶系统的单位阶跃响应

取拉氏变换

u(t)10t取拉氏反变换

τ为时间常数。当t>4τ，系统输出与输入基本相同(误差小于1.8%)，可认为稳态误差为零。τ越小，一阶系统达到稳态值的时间越短。一阶系统的单位阶跃响应

第四十七页，共60页。

一阶系统时间常数测量：阶跃响应0.63第四十八页，共60页。2、二阶系统的动态特性典型的二阶系统

(a)弹簧质量阻尼系统(b)RLC电路(c)动圈式仪表(a)(b)(c)第四十九页，共60页。

现以动圈式电表为例来讨论二阶测试系统的动态特性。其运动特性可用二阶微分方程来描述，令对具体系统而言，S是个常数。为分析方便，令S=1，得到归一化的二阶微分方程，代表二阶系统特性的标准式。取拉氏变换取决于转动部分结构形状和质量的转动惯量游丝扭转刚度运动线圈产生的角位移输出信号电磁转矩系数输入运动线圈的电流信号固有频率阻尼比静态灵敏度阻尼系数更正，课本中少了2第五十页，共60页。二阶系统的传递函数：令s=jω二阶系统的频率响应函数：幅频特性为：相频特性为：第五十一页，共60页。二阶系统的频率特性(a)幅频特性曲线(b)相频特性曲线

1）▲当阻尼很大(ζ>1)，系统的频率特性与一阶系统近似。

▲当ζ很小时，在ω=ωn处，系统发生共振。

▲当ζ=0.6~0.8，ω≤(0.6~0.8)ωn时，A(ω)≈1对应的频率范围大，φ(ω)与ω近似线性关系。这种情况下，系统的稳态响应的动态误差较小。

2）实际应用中，要避免系统进入共振点。一般选取ω≤(0.6~0.8)ωn，ζ=0.65~0.7。第五十二页，共60页。

二阶系统对具体输入信号的响应1）二阶系统的单位脉冲响应

脉冲响应：拉氏逆变换X(s)=1第五十三页，共