二重积分计算法

二重积分计算法第1页，共29页。一、直角坐标系下二重积分的计算①积分区域D为X—型区域②积分区域D为Y—型区域④积分区域D既不是X—型，也不是Y—型③积分区域D既是X—型，也是Y—型第2页，共29页。如果区域D可以表示为不等式j1(x)

y

j2(x),a

x

b,则称区域D为X型区域.①积分区域D为X—型区域直线与D的边界至多有两个交点第3页，共29页。②积分区域D为Y—型区域直线与D的边界至多有两个交点如果区域D可以表示为不等,c

y

d,则称区域D为Y型区域.第4页，共29页。③积分区域D既是X—型，也是Y—型第5页，共29页。④积分区域D既不是X—型，也不是Y—型——转化成X—型或Y—型第6页，共29页。提示

z

f(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.

提示

截面是以区间[j1(x0),j2(x0)]为底、以曲线z

f(x0,y)为曲边的曲边梯形.提示

根据平行截面面积为已知的立体体积的求法.设f(x,y)

0,D={(x,y)|j1(x)

y

j2(x),a

x

b}.二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积对于x0

[a,b],曲顶柱体在x

x0的截面面积为曲顶柱体体积为第7页，共29页。如果D是X型区域:D={(x,y)|j1(x)

y

j2(x),a

x

b},则上式也可以记为如果D是Y型区域:D={(x,y)|y1(y)

x

y2(y),c

y

d},则二重积分的计算先对x后对y的二次积分先对y后对x的二次积分第8页，共29页。★注意：⑴积分区域的形状：对于X—型（或Y—型）直线与D的边界至多有两个交点直线与D的边界至多有两个交点⑵积分限的确定对于X—型（Y—型）区域D，用直线x=x(y=y)由下至上（由左至右）穿过D，穿入（出）点为对应积分的下（上）限。第9页，共29页。

【例1】计算，其中D是由直线及所围成的区域。

第10页，共29页。外层积分的上、下限均为常数；内层积分上、下限只能是外层积分变量的函数或常数，不能与内层积分变量有关。⑶两种特殊情形则积分顺序可交换第11页，共29页。如果D是X型区域:j1(x)

y

j2(x),a

x

b,则计算二重积分的步骤如果D是Y型区域:y1(y)

x

y2(y),c

y

d,则(1)画出积分区域D的草图.(2)用不等式组表示积分区域D.(3)把二重积分表示为二次积分:(4)计算二次积分.第12页，共29页。

【例3】计算，其中D是由直线及所围成的区域。

【例2】计算，其中D是由直线及抛物线所围成的区域。第13页，共29页。★注意积分次序的选择【例4】求其中解：若先对x再对y就求不出来第14页，共29页。提示:

由对称性,所求体积是第一卦限部分体积的8倍.

【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.

解

设这两个圆柱面的方程分别为x2

y2

R2及x2

z2

R2.所求立体的体积为第15页，共29页。

【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.

解

设这两个圆柱面的方程分别为x2

y2

R2及x2

z2

R2.所求立体的体积为第16页，共29页。【例6】求由曲面及所围成的立体的体积。第17页，共29页。二、利用极坐标计算二重积分有些二重积分,其积分区域D或其被积函数用极坐标变量、q表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.第18页，共29页。提示

我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.小区域

si的面积为:iiiqrrDD=.ir其中表示相邻两圆弧的半径的平均值.第19页，共29页。则有

iiiiiiqrhqrxsin

,

cos

==.

于是

我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.小区域

si的面积为:其中ir表示相邻两圆弧的半径的平均值.

在Dsi内取点)

,

(iiqr,

设其直角坐标为(x

i,

h

i),

第20页，共29页。在极坐标系下的二重积分在极坐标系下二重积分的计算如果积分区域可表示为D:j1(q)

j2(q),a

q

b,则第21页，共29页。讨论

区域如下图,如何确定积分限?(2)(1)极点在积分区域的边界上极点包围在积分区域D的内部第22页，共29页。（3）（4）极点包围在积分区域D的内部第23页，共29页。【例7】将下列区域用极坐标变量表示第24页，共29页。习题：书P155第11题第25页，共29页。

解在极坐标系中

闭区域D可表示为

0

a

0

2

为a的圆周所围成的闭区域

【例8】计算òò--Dyxdxdye22其中D是由中心在原点、半径

第26页，共29页。

【例9】求球体x2

y2

z2

4a2被圆柱面x2

y2

2ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积

解由对称性

立体体积为第一卦限部分的四倍

其中D为半圆周22xaxy-=及x轴所围成的闭区域.在极坐标系中D可表示为第27页，共29页。

【例9】求球体x2

y2

z2

4a