8.4 二重积分的概念与性质

第八章多元函数微积分§8.4二重积分的概念与性质教学目的：1.使学生了解二重积分的概念及二重积分的几何意义:；2.掌握二重积分的性质教学重点：1.二重积分的性质教学难点：1.二重积分的性质教学内容：引例引例1曲顶柱体的体积设有一立体的底是面上的有界闭区域，侧面是以的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，顶是有二元非负连续函数所表示的曲面，如图8-5所示，这个立体称为上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。解：对于平柱体的体积，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域任意划分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，如图8-5所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成个小曲顶柱体。(2)近似在每一个小闭区域上任取一点，以为高，为底的平顶柱体的体积近似代替第个小曲顶柱体的体积。(3)求和这个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值(4)取极限将区域无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即其中表示这个小闭区域直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。yyxzz=f(x,y)oD(i,i)△i·图8-5图8-5引例2平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的有界闭区域，它的面密度为上的连续函数，试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割将薄片（即区域）任意划分成个小薄片，其中表示第个小薄片，也表示它的面积，如图8-6所示。(2)近似在每一个小薄片上任取一点，以为其密度，当很小时，认为小薄片是均匀的，则近似代替第个小薄片的质量。即(3)求和这个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值(4)取极限将薄片无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。即其中表示这个小薄片直径中最大值的直径。图8-6图8-6二重积分的定义定积分与曲边梯形的面积有关。上面例子抛开其几何意义和物理意义，单纯地从数学结构角度来考虑，那就是二重积分。1、定义设是有界闭区域上的有界函数（1）将闭区域任意分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。（2）在每个上任取一点，作乘积（=1，2，…，）（3）并作和（4）如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作即.其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。【注意】对二重积分定义的说明（1）直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域的边长为和,则，因此在直角坐标系中,有时也把面积元素记作，而把二重积分记作（2）二重积分的存在性当在闭区域上连续时,积分和的极限是存在的,也就是说函数在上的二重积分必定存在.我们总假定函数在闭区域上连续,所以在上的二重积分都是存在的.2、几何意义若，函数在闭区域上的二重积分表示为以为底面，为曲顶的曲顶柱体的体积；若，表示柱体在面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的；若函数在闭区域上既有正的，又有负的，则二重积分表示在面的上、下方的柱体体积的代数和。如图8-7所示。图8-7图8-7三、二重积分的性质性质1被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。即性质2（线性性）有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。即推论设、为常数，则性质3（可加性）若闭区域被有限条曲线分成为有限个部分闭区域，则在上的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和（）。性质4若在上，为的面积，则推论性质5（不等式性）若在上，，则【特别地】，则性质6（有界性）设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，为的面积，则性质7（二重积分的中值定理）设函数在闭区域上连续，为的面积，则在上至少存在一点使得RD例1设为圆域，则二重积分RD为多少？解：投影区域为圆域，被积函数为上半球面，由二重积分的几何意义可知，上述积分等于上半球体的体积：图8-8图8-8例2不作计算估计的值，其中是圆域：．解：的面积为．由于，所以有性质6有，．例3比较积分与的大小，其中是圆域：．解：积分域的边界为圆周：，它与轴交于点，与直线相切，而圆域位于直线的上方，如图8-9所示，故在上，从而图8-9由性质5有图8-9例4：设，其中，其中利用二重积分的几何意义说明和之间的关系。由二重积分的几何意义知，表示底为，顶为曲面的曲顶柱体的体积；表示底为，顶为曲面的曲顶柱体的体积；由于位于上方的曲面关于面和面均对称，故面和面将分成四个等积的部分，如图8-10所示，其中位于第一卦限的部分即为。由此可知xyxy1-1-22