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第七章微分方程§7.2.1一阶微分方程教学目的：了解一阶微分方程的形式掌握一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的标准形式3.会求可分离变量的微分方程的解4.掌握一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的解法教学重点：1.一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的标准形式2.可分离变量的微分方程的解法3.一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的解法教学难点：1.可分离变量的微分方程的解法2.一阶线性齐次以及一阶线性非齐次微分方程的解法教学内容：一阶微分方程的形式一阶微分方程的形式为：或一阶微分方程的解法可分离变量的微分方程（1）形式：形如的微分方程称为可分离变量的微分方程.解法：求解可分离变量的微分方程的步骤如下：第一步分离变量，得第二步两边积分，得第三步求出积分，得其中，分别是的原函数，C为任意常数.这就是方程（1）的通解.例题例1：解微分方程y=2xy解：原方程可改写为分离变量，得两边积分，得即显然y=0是微分方程y=2xy所以，微分方程的通解为例2：求微分方程x(1+y2)dx−(1+x2)ydy=0的通解.解：分离变量，得两边同时积分，得积分后得由于积分后出现对数函数，为了便于利用对数运算法则来化简结果，可把任意常数C1表示为1/2·lnC,即化简得练习：求下列微分方程的通解.一阶线性微分方程形式形如的方程，称为一阶线性微分方程.一阶线性齐次微分方程：（上式中）一阶线性非齐次微分方程：解法一阶线性齐次微分方程的解法：分离变量，得两边积分，得所以，一阶线性非齐次微分方程的解法：将得到的一阶线性齐次微分方程通解中的常数换为函数，设是一阶线性非齐次微分方程的解，为待定系数.代入一阶线性齐次微分方程，得即则所以因此，一阶线性非齐次微分方程的解为因为，它含有一个任意常数，微分方程为一阶方程，所以，为一阶线性非齐次微分方程的通解.说明：一阶线性非齐次微分方程的通解为这表明：一阶线性非齐次微分方程的通解等于对应于它的一阶线性齐次微分方程的通解加上该非齐次方程的一个特解.例题例3：求微分方程解：因为代入通解公式得例4：求微分方程满足初始条件的特解.解：原方程可改写为上式为一阶线性微分方程，且将代入通解公式，得把条件代入中，得解得故微分方程的特解为说明：代入通解公式前，必须将方程化为一阶线性方

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