8.4 二重积分的概念与性质

高等数学

第八章

多元函数微积分

二重积分的概念与性质

目录Contents引例1二重积分的定义2引例1曲顶柱体的体积引例2平面薄片的质量3二重积分的性质定义几何意义引例1引例1：曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xOy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.曲边梯形面积的求法平顶柱体的体积计算体积=底面积×高曲顶柱体的体积计算以直线代曲线以平面代曲面曲顶柱体的体积V:解法:

类似定积分解决问题的思想:“分割、近似、求和、取极限”①分割：D=△

1∪△

2∪…∪△

nV=△V1∪△V2∪…∪△Vn

(△

i为△Vi窄条曲顶柱体的底；di为△

i的直径。)②近似：在每一个小闭区域

上任取一点

，以

为高，

为底的平顶柱体的体积

近似代替第个小曲顶柱体的体积。

③求和：这

个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值④取极限：将区域

无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即

其中

表示这

个小闭区域

直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。

图8-5

设有一平面薄片占有

面上的有界闭区域

，它的面密度为上的连续函数

，试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量

，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割

将薄片（即区域

）任意划分成

个小薄片

，其中

表示第

个小薄片，也表示它的面积，如图8-6所示。(2)近似

在每一个小薄片

上任取一点

，以

为其密度，当

很小时，引例2：平面薄片的质量

认为小薄片是均匀的，则

，

近似代替第

个小薄片的质量。即(3)求和这

个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值(4)取极限将薄片无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。即其中

表示这

个小薄片

，直径中最大值的直径。图8-6两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割、近似、求和、取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二重积分的定义2定义设

是有界闭区域

上的有界函数（1）将闭区域

任意分成

个小闭区域

，其中

表示第

个小闭区域，也表示它的面积。（2）在每个

上任取一点

，作乘积

（=1，2，…，）（3）并作和（4）如果当各小闭区域的直径中的最大值

趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数

在闭区域

上的二重积分，记作即.积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素【注意】对二重积分定义的说明（1）直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分

，那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域

的边长为

和

，则

因此在直角坐标系中，有时也把面积元素

记作

，而把二重积分记作（2）二重积分的存在性

当

在闭区域

上连续时，积分和的极限是存在的，也就是说函数

在

上的二重积分必定存在.我们总假定函数

在闭区域

上连续.所以

在

上的二重积分都是存在的.几何意义（1）若

，函数

在闭区域

上的二重积分表示为以

为底面，

为曲顶的曲顶柱体的体积；（2）若

，表示柱体在

面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的；（3）若函数

在闭区域

上既有正的，又有负的，则二重积分表示在

面的上、下方的柱体体积的代数和。图8-7性质性质1：被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。即性质2：（线性性）有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。即推论：设

、

为常数，则性质性质3：（可加性）若闭区域

被有限条曲线分成为有限个部分闭区域，则在

上的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和（

）。性质4：若

在上

，

为的面积，则推论：性质5：（不等式性）若在

上

，

，则【特别地】

，则性质性质6：（有界性）设

、

分别是

在闭区域

上的最大值和最小值，

为

的面积，则性质7：（二重积分的中值定理）设函数

在闭区域

上连续，

为

的面积，则在

上至少存在一点

使得

补充在分析问题和算题时常用的设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.D1性质8则D1为D在第一象限中的部分,对称性质坐标y为奇函数则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于oxy图8-8例1解：计算函数

所以

设

为圆域

，则二重积分

为多少？投影区域为圆域

，被积函数

为上半球面（如图8-9），由二重积分的几何意义可知，上述积分等于上半球体的体积：图8-9例2解：

的面积为

．由于

，所以有性质6有

．不作计算估计

的值，其中

是圆域：

．例3比较积分

与

的大小，其中

是圆域：

．

积分域

的边界为圆周：,它与轴交于点

，与直线

相切，而圆域

位于直线的上方，如图8-10，故在

上，从而由性质5有解：图8-10例4解：设

，其中

，

其中利用二重积分的几何意义说明

和

之间的关系。由二重积分的几何意义知，

表示底为

，顶为曲面

的曲顶柱体

的体积；

表示底为

，顶为曲面

的曲顶柱体

的体积；由于位于

上方的曲面

关于

面和

面均对称，故面和面将

分成四个等积的部分，如图8-11，其中位于第一卦限的部分即为.由此可知图8-11练习1.利用二重积分定义证明：（1）（2）2.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小；（1）

与

其中积分区域

是由圆周

所围成；（2）

与