《高等数学（第三版）》课件 第七章 微分方程

高等数学

第七章

微分方程

微分方程定义及基本概念

目录Contents微分方程的定义1基本概念2常微分方程偏微分方程微分方程的阶通解、特解显式解、隐式解初值问题积分曲线微分方程的定义1引例1

解：

对（1）式两边积分，得

引例2列车在以20m/s的速度行驶，当其制动时获得的加速度为-0.4m/s2,问开始制动后多长时间列车才能停住？在这段时间内列车行驶了多少路程？解：

对（4）式两边积分得

由题意知

在科学研究和生产实践中，常常需要寻求表示客观事物变量之间的函数关系.然而,在许多问题中,往往不能直接得到所求的函数关系，只能得到含有未知函数的导数或微分的关系式.这样的关系式即通常所说的微分方程,通过求解微分方程可以进而得到函数关系.定义含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程.未知函数为一元函数的方程叫做常微分方程.未知函数为多元函数的方程叫做偏微分方程.基本概念2微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶.等都是微分方程.其中，(8)、(9)是一阶微分方程，(10)是二阶微分方程，（11）是五阶微分方程.微分方程的解

通解与特解如果微分方程的解中含有任意常数，且其中独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该方程的通解.不含任意常数的解称为该方程的特解.例

通解特解显式解与隐式解以显函数形式表示的解称为显式解.以隐函数的形式表示的解称为隐式解.例

或显式解隐式解初值问题用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件.

对于二阶方程，通常要求的条件是：

或记为初始条件问题1

称为一阶微分方程的初值问题.问题2类似地，问题称为二阶微分方程的初值问题.积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线，称为该微分方程的积分曲线.

例1：

分析：要验证一个函数是否是一个微分方程的通解，只需将该函数及其导数代入微分方程中，看是否使方程称为恒等式，再看通解中所含独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.

要求微分方程满足所给初始条件的特解，只要把初始条件代入通解中，定出通解中的任意常数后，便可得到所需求的特解.把他们代入式（12）的左端，得

解：

把式（13）中的初始条件：

分别代入中，得

练习验证：函数

是微分方程

的解,并求满足初始条件的特解.课堂小结微分方程、常微分方程、偏微分方程的定义；微分方程的阶、通解、特解、显式解、隐式解、初值问题、积分曲线的概念；判断某个函数是否是微分方程的解.总结本节课所学知识，完成习题.课后任务高等数学

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微分方程

一阶微分方程

目录Contents一阶微分方程的形式1一阶微分方程的解法2可分离变量的方程一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程一阶微分方程的形式1一阶微分方程的形式或下面介绍几种特殊类型的一阶微分方程的解法.一阶微分方程的解法2可分离变量的微分方程形如的微分方程称为可分离变量的微分方程.求解可分离变量的微分方程的步骤如下：第一步

分离变量，得第二步

两边积分，得第三步

求出积分，得其中，

分别是

的原函数，C为任意常数.这就是方程（1）的通解.例1

解：原方程可改写为分离变量，得两边积分，得即

所以，微分方程的通解为例2

解：分离变量，得两边同时积分，得积分后得

化简得练习求下列微分方程的通解.一阶线性微分方程形如的方程，称为一阶线性微分方程.一阶线性齐次微分方程：(上式中)一阶线性非齐次微分方程：一阶线性齐次微分方程的解法分离变量，得两边积分，得

所以，通解一阶线性非齐次微分方程的解法将得到的一阶线性齐次微分方程通解

中的常数

换为函数

，设

是一阶线性非齐次微分方程的解，为待定系数.代入一阶线性齐次微分方程，得即则所以因此，一阶线性非齐次微分方程的解为因为，它含有一个任意常数，微分方程为一阶方程，所以，为一阶线性非齐次微分方程的通解.说明：一阶线性非齐次微分方程的通解为这表明：一阶线性非齐次微分方程的通解等于对应于它的一阶线性齐次微分方程的通解加上该非齐次方程的一个特解.例3解：求微分方程因为

代入通解公式得例4解：原方程可改写为

求微分方程

满足初始条件

的特解.上式为一阶线性微分方程，且将

代入通解公式，得把条件

代入

中，得解得故微分方程的特解为说明：代入通解公式前，必须将方程化为一阶线性

方程的标准形式.否则，计算会出错.练习1.求下列微分方程的通解.2.求下列微分方程满足初始条件的特解.课堂小结一阶微分方程的形式；一阶线性齐次微分方程、一阶线性非齐次微分方程的形式；可分离变量的微分方程、一阶线性齐次以及非齐次微分方程的解法.总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

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微分方程

可降阶的高阶方程

目录Contents可降阶的高阶方程1右端仅含x右端不显含未知函数y右端不显含自变量x可降阶的高阶方程1右端仅含

的方程微分方程对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为n-1阶方程：同理可得：依此法继续进行，接连积分n次，便得微分方程含有n个任意常数的通解.例1解：原方程可改写为解微分方程两边积分，得两边再次积分，得所以，原方程的通解为右端不显含

的方程微分方程特点：不显含有未知函数解法：作换元令

，则

原方程可化为一阶方程这是一阶方程，可解.设其通解为：即一阶方程两边积分，得为任意常数.例2解：原方程可改写为解微分方程作换元，令

，则上面方程变为可分离变量的方程分离变量，得两边积分，得：即所以两边积分，得：即例3解：原方程可改写为求

的通解，并求满足初始条件

的特解.作换元，令

，则上面方程变为可分离变量的方程右端不显含y即两边积分，得：即所以两边积分，得：所以,满足初值条件的解为：将初值条件

代入(1)、（2）式，得右端不显含

的方程微分方程特点：右端不显含自变量解法：作换元令

，则

原方程可化为一阶方程这是一阶方程，可解.设其通解为：即一阶方程分离变量并积分，得为任意常数.这就是原方程的通解.即可分离变量的方程例4解：原方程可改写为求

的通解.作换元，令

，则上面方程变为可分离变量的方程右端不显含x分离变量，得：积分，得所以即先求

的解.分离变量，得两边积分，得这就是当

时原方程的通解.同理可得：所以，原方程的通解为当

时原方程的解为为任意常数.练习1.求微分方程

的通解.2.求微分方程

满足初始条件

的特解.3.求微分方程

的通解.课堂小结几种可降阶的高阶方程的解法右端仅含x的微分方程右端不显含未知函数y的微分方程右端不显含自变量x的微分方程总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

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微分方程

二阶线性微分方程

目录Contents二阶线性微分方程的定义1二阶线性微分方程解的结构2二阶线性齐次、非齐次二阶常系数线性齐次、非齐次二阶线性齐次微分方程解的结构二阶线性非齐次微分方程解的结构3二阶常系数线性齐次微分方程的解定义1二阶线性微分方程形如的微分方程称为二阶线性微分方程.二阶线性齐次微分方程：二阶线性非齐次微分方程：二阶常系数线性齐次微分方程：二阶常系数非线性齐次微分方程：二阶线性微分方程解的结构2对于两个不恒等于零的函数y1与y2，如果存在一个常数C,使y2=Cy1,则称函数y2与y1线性相关；否则，称函数y2与y1线性无关.定义1例如：

与

线性无关，

与

线性相关.如果函数y1、y2都是二阶线性齐次微分方程定理1的解，则y=C1y1+C2y2也是该方程的解，其中C1、C2是任意常数.如果函数y1、y2是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关特解，则y=C1y1+C2y2是该方程的通解，其中C1、C2是任意常数.定理2：二阶线性齐次微分方程解的结构定理设y*是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，Y是与它y=Y+y*是二阶线性非齐次微分方程的通解.定理3：二阶线性非齐次微分方程解的结构定理对应的齐次方程

的通解，则二阶常系数线性齐次微分方程3方程

称为二阶常系数线性齐次微分方程定义2的特征方程.特征方程的根称为特征根.特征方程

是一元二次方程，将微分方程中的

换成

，把

换成

，把

y换成1，可得到对应的特征方程.特征根有如下三种情况：（1）特征方程有两个不相等的实根：方程的通解为（2）特征方程有两个相等的实根：方程的通解为（3）特征方程有一对共轭复根：方程的通解为综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程的通解的步骤如下.第一步：写出微分方程

的特征方程第二步：求出特征方程的两个根

与第三步：根据特征方程的两个根的不同情况，有相应的通解公式，见下表

例1：求微分方程

的通解.解：所给微分方程的特征方程为即解得因此，特征根为所以，方程的通解为

例2：解：所给微分方程的特征方程为解得特征根为求微分方程

满足条件

的通解.所以微分方程的通解为将初始条件

代入通解得解方程组，得

，故微分方程的特解为

例3：解：所给微分方程的特征方程为解得特征根为求微分方程

的通解.所以微分方程的通解为练习1、求下列微分方程的通解.2、求下列微分方程满足初始条件的特解.课堂小结二阶线性齐次、非齐次微分方程的形式二阶常系数线性齐次、非齐次微分方程的形式二阶线性微分方程解的结构二阶常系数线性齐次微分方程的解法总结本节课所学知识，完成习题.课后任务Thankyou高等数学

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微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程

目录Contents二阶常系数线性非齐次微分方程的解1

二阶常系数线性齐次微分方程的解1二阶常系数线性非齐次微分方程对应的齐次方程为若齐次方程（2）的通解为y*是非齐次方程（1）的一个特解，则非齐次方程（1）的通解为：二阶常系数线性齐次微分方程（2）的通解我们已经会求，因此，为了求出常系数线性非齐次微分方程（1）的通解，只需要再求出非齐次方程（1）的一个特解y*(x).当自由项

为下面两种类型的函数时，可用待定系数法求出常系数线性非齐次微分方程（2）的特解y*(x)，从而得到常系数线性非齐次微分方程（2）的通解.经分析，可设方程（1）的特解为是一个m次多项式，其系数是待定的，其中k的取值如下：

例1：求微分方程

的一个特解.解：这是常系数线性非齐次微分方程，特征方程：解得对应的齐次方程：因为即即

不是特征根，所以，取k=0.可设非齐次方程的特解

代入非齐次方程，得即比较系数，得解得所以，所求方程的特解为

例2：求微分方程

的通解.解：这是常系数线性非齐次微分方程，特征方程：解得对应的齐次方程：所以，齐次方程的通解为即因为即

是特征根，所以，取k=1.可设非齐次方程的特解

代入非齐次方程，得即比较系数，得解得所以，非齐次方程的一个特解为故，原方程的通解为为任意常数.经分析，可设方程（1）的特解为其中