《高等数学（第三版）》课件 第0-4章 预备知识、函数-导数的应用

高

等

数学一、

集合目录集合的概念Contents1集合的表示方法2集合之间的关系3

列举法描述法子集真子集集合的相等集合的概念1新课导入

问题提出：

“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？新课导入考察下列问题：（1）1～20以内的所有质数；（2）绝对值小于3的整数；（3）新华中学2020年9月入学的所有高一学生；（4）方程

的所有实数根。思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，请回答问题中每个集合中的研究对象分别是什么？新课讲解集合和元素的表示方法：一般用大写拉丁字母A、B、C…表示集合用小写字母a，b，c，d…表示元素

定义0.1

由某些指定的对象所组成的整体就叫作集合，简称集。组成集合的每个对象称为元素。新课讲解如何用数学语言叙述与表示元素与集合的关系？元素与集合间的关系集合A是由小于5的自然数组成的集合.

则有数：0

A-3

A.新课讲解

任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？

思考1：某班级所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？集合中的元素必须是确定的

思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？集合中的元素是不重复出现的

思考3：某班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没

有变化？由此说明什么？集合中的元素是没有顺序的新课讲解集合的确定性

确定性:给定集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定了一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

所有由“大于1小于10的自然数”组成的集合.数5与-5，你能确定它们哪个在这个集合内吗？5-5新课讲解集合的互异性在自然数集中有没有两个元素是相同的？那么在正整数集，整数集，有理数集，实数集中呢？给定的集合中，元素是互异的、没有重复.新课讲解集合的无序性改变集合中元素的顺序，集合改变了吗？B={2，3，5，7}A={3，2，7，5}与是同一个集合给定的集合中，元素是没有顺序的.新课讲解常用的数集自然数组成的集合简称自然数集，记作N正整数组成的集合简称正整数集，记作N+整数组成的集合简称整数集，记作Z有理数组成的集合简称有理数集，记作Q实数组成的集合简称实数集，记作R0∈N比如0.168∈Q新课讲解[小试牛刀]1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()[答案](1)×(2)√(3)×集合的表示方法2新课讲解

考察下列集合：（1）小于5的所有自然数组成的集合；（2）方程的所有实数根组成的集合.思考1：这两个集合分别有哪些元素？

（1）0，1，2，3，4；（2）-1，0，1思考2：由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？

（1）{0，1，2，3，4}；（2）{-1，0，1}新课讲解把集合中的元素一一列举出来，元素中间用逗号隔开，写在花括号中用来表示集合的方法叫列举法.花括号不能缺失A={-1，0，1}B={2，3，5，7}a与{a}有什么区别？是一个元素是一个集合新课讲解有时我们无法将集合中的元素一一列举出来.例如，大于3小于10的实数组成的集合，我们用{x|3<x<10，x∈R}表示.把描述集合中元素的特征性质或表示集合中元素的规律写在花括号内用来表示集合的方法叫描述法.不等式x-32>0的解集用描述法可表示为A={x|x>32}方程x2+2x=0的解集用描述法可表示为B={x|x2+2x=0}在平面直角坐标系中第二象限的点构成的集合，用描

述法可表示为C={(x，y)|x<0且y>0}注意点的集合形式新课讲解例1用列举法表示下列集合：（1）由大于3小于10的整数组成的集合；（2）方程x2-9=0的解的集合.解:(1)｛４，５，６，７，８，９｝；

(2){－３，３｝.新课讲解例2用描述法表示下列集合：（1）小于10的所有有理数组成的集合.（2）所有偶数组成的集合.解（1）{x∈Q|x<10};(2){x|x=2n,n∈Z}

也可以表示成:集合间的关系3新课讲解

观察以下几组集合，并指出它们之间的关系：①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};

②A={四边形},B={多边形};新课讲解子集的定义

一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A叫作集合B的子集，记作AB（或BA）读作“A包含于B”(或“B包含A”)注：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，都有A.新课讲解真子集的定义

A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作AB或BA.读作“A真包含于B”或“B真包含A”新课讲解3集合的相等如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，并且集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合，记作

A=B若AB且BA,则A=B;反之,亦然.新课讲解练习:用恰当的符号填空①②③3__{2,3,5}④⑤⑥⑦新课讲解

例

写出{a,b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集．新课讲解变式新课讲解一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n－1个，A的非空真子集共有2n－2个.结论如集合A={2,3,5,7}的子集个数？真子集个数？非空真子集个数？新课讲解小结元素与其的关系集合特征互异性确定性无序性表示方法列举法描述法分类有限集无限集常用数集：N,N+,Z,Q,R高

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数学二、

集合的运算目录并集Contents1交集2补集3并集1知识探究

考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.

集合C就是由集合A和集合B的所有元素所组成的集合.新课讲解

定义0.6

一般地,由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,记作A∪B,(读作“A并B”).即A∪B={x|x∈A,或x∈B}ABA∪B1.A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.2.设集合A={x|x为等腰三角形},集合B={x|x为直角三角形},求A∪B.解A∪B={3,4,5,6,7,8}.解A∪B={x|x为等腰三角形或直角三角形}.小试牛刀并集的性质

BBAAA(B)B⫋A，则A∪B=AA⫋B，则A∪B=BA=B，则A∪B=A=B【性质①】A∪A=A任何集合与其本身的并集都等于自身交集2知识探究

考察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间的关系吗?A={6,8,10,12},B={3,6,9,12},C={6,12};(2)A={x|x是聊职院2022年9月在校的女同学},B={x|x是聊职院2022年9月入学的大一年级同学},C={x|x是聊职院2022年9月入学的大一年级女同学}.

发现：集合C就是由集合A中和集合B中的公共元素所组成的集合.新课导入ABA∩B

定义0.7

一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.例题讲解例

设A={x|x是不大于10的正奇数}，B={x|x是12的正约数}.求解：

A={x|x是不大于10的正奇数}={1，3，5，7，9}，

B={x|x是12的正约数}={1，2，3，4，6，12}，交集，找公共元素并集，找所有元素交集的性质

ABBBAAA(B)

③B⫋A，则A∩B=B④A⫋B，则A∩B=A②A=B，则A∩B=A=B【性质①】A∩A=A任何集合与其本身的交集都等于自身

课堂训练

1.设A={x︱x2-16=0},则A∩B=____；A∪B=______.B={x︱x3+64=0}，2.设A={x︱-1≤x<2},B={x︱-1<x<3},求A∩B,A∪B．解:A∩B={x|-1<x<2};A∪B={x|-1≤x<3}.

注意边界补集3知识探究发现：集合C就是集合A中的元素除去集合B中的元素后余下来的元素所组成的集合.小结:像上面的集合A，含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.观察下列集合A，B，C之间的关系新课讲解

全集

在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示.全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素.注意：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素.因此全集因问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集看作全集.新课讲解可用Venn图表示为UA

定义0.8设U是全集,A是U的一个子集，则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集（或余集），记作CUA，即

新课讲解性质

新课讲解1.设U={x|x是小于9的正整数}，A={1,2,3},B={3,4,5,6},求CUA，CUB解：据题意知U={1,2,3,4,5，6，7，8}，故CUA={4,5,6,7,8},CUB={1,2，7，8}2.设U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B,CU(A∪B).解：由题意知A∩B=，CU(A∪B)={x|x是直角三角形}.课堂小结1.理解两个集合交集与并集的概念和性质.2.求两个集合的交集与并集,常用数轴法和图示法．3.注意灵活、准确地运用性质解题.Thankyou!高

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数学三、

不等式目录不等式的基本性质Contents1一元二次不等式的解法2含绝对值不等式的解法3不等式的基本性质1知识探究在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

连接起来的式子新课讲解

例如，限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h，写成不等式是什么呢？关键词“不超过”答：汽车的速度应不超过40km/h,不等式应为v≤40.数学中的不等关系

某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式是什么？答：根据题意，上题写成不等式应为：p≥2.3%f≥2.5%实数大小的基本性质一.不等式的基本性质

对于任意两个实数a,b，有已知实数a,b,且a>b>0，试比较a2b和ab2的大小.思考：一.不等式的基本性质性质1(传递性)如果a>b,且b>c，那么a>c.性质2(加法法则)如果a>b,那么a+c>b+c.性质3(乘法法则)如果a>b,c>0,那么ac>bc;

如果a>b,c<0,那么ac<bc.性质3表明，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的反向改变.性质2表明，不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变.一元二次不等式的解法2二.不等式的解法不等式的解集：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数值的全体所组成的集合.区间

各个区间的含义及表示方法如下表所示：闭区间

开区间

左开右闭区间

左闭右开区间

在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：

对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，他们的联系又是怎样的呢？

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法

没有实数根

R

∅∅一元二次不等式的解法

补集3探索：不等式|x|<1的解集。方法一：利用绝对值的几何意义观察方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论方法三：两边同时平方去掉绝对值符号方法四：利用函数图象观察这是解含绝对值不等式的四种常用思路Z.x.x.K小结：不等式|x|<a和|x|>a(a>0)的解集。①不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}②不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a}0-aa0-aa基础练习：解下列不等式：（1）|x|>5（2）2|x|<5（3）|2x|>5（4）|x-1|<5（5）|2x-1|<5（6）|2x2-x|<1（7）|2x-1|<1解下列不等式：巩固练习：课堂小结1.不等式的基本性质2.不等式解集的表示方法3.一元二次不等式的解法4.含绝对值不等式的解法Thankyou!高

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数学四、

指数与对数目录指数与对数Contents1指数与指数间的转换2对数与指数的运算性质3指数与对数1根式根式

分数指数幂实数指数幂整数指数幂的运算性质对于实数指数幂同样适用求下列各式的值.一般地，如果那么数x叫做以a为底N的对数,

其中叫做对数的底数，叫做对数的真数.对数记作：

读作：以

为底，的对数.

写作：

特殊对数常用对数：以10为底的对数，

记作自然对数：以e为底的对数，

记作

指数与指数间的转换2

1.性质（2）对数的重要公式：探究：对数的运算性质2.运算法则

将下列指（对）数式化成对（指）数式.对数与指数的运算性质3

运算法则

例

求下列各式的值：（1）（2）（2）解：(1)对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是:(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).【提升总结】课堂小结1.指数和对数的概念；2.指数和对数之间的互相转换；3.指数与对数的运算性质。Thankyou!高

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数学五、

数列目录数列Contents1等差数列2等比数列3数列1数列定义

数列的性质：有序性、无穷性

数列通项公式

观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。等差数列2等差数列定义定义0.18

如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数d，则此数列称为等差数列，d称为公差.

特别说明：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…是是是是不是不是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0思考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？

等差数列的通项公式（推导一：迭代法）

等差数列的通项公式（推导二：累加法）如果一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么我们可以根据等差数列的概念得到：an-a1=(n-1)d+a4-a3=da2-a1=da3-a2=dan-1-an-2=dan-an-1=d…………等差数列的通项公式：an=a1

+(n-1)da1、d、n、an共有四个量，知三求一例

在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。解：由题意可知这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得即这个等差数列的首项是-２，公差是３.例

在等差数列{an}中，，求an

解：由题意可知解得：等差中项定义0.19

如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，则称A为a与b的等差中项.

（公式一）（公式二）等差数列前n项和公式1、两个公式的相同的是a1和n,不同的是:公式一中有an,公式二中有d.若a1，d,n,an中已知三个量就可以求出Sn。2、a1，d,n,

an，Sn五个量可“知三求二”。

观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的比都分别等于同一个不为零的常数.等比数列3等比数列定义定义0.20如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个不为零的常数q，则此数列称为等比数列，q称为公比.数学语言：或

由定义归纳通项公式1.不完全归纳法a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3…an=a1qn-12.累积法（累乘法）a2/a1=qa3/a2=qa4/a3=q…an/an-1=q这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1所以an=a1qn-1其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1，即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它就是等比数列｛an｝的通项公式。等比数列的通项公式当q=1时，这是一个常函数。

等比中项定义0.21

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，则称G为a与b的等比中项.

例

求

与

的等比中项.解

等比数列前n项和公式例

写出等比数列1,-3,9，-27…的前n项和公式并求出数列的前8项的和。解：课堂小结1.数列，等差、等比数列的概念；2.等差、等比数列的通项公式；3.等差、等比数列的前n项和公式。Thankyou!高

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数学二、

极限与连续2.1.1数列极限“一尺之棰，日截其半，万世不竭”新课导入第一天截下的仗长为第二天截下的仗长为………第n天截下的仗长为

庄子截丈问题：新课导入结论：观察数列随着

增大，数列值

有什么变化？当

无限增大时，

无限接近于0.则0是数列

当

时的极限.概念讲解定义2.2对于数列

，若当自然数

无限增大时，

能无限地趋近于一个确定的常数A，则称数列

为收敛数列，A称为它的极限，记作反之，如果数列

的极限不存在，则称数列

发散.拓展延伸

结论：随堂检测例2

解

由等比数列求和公式可知由于

，所以当

无限增大时，

无限趋近于零，所以

无限趋近于

，因此课后练习了解刘徽的割圆术；完成学习通的两组习题。新课讲解Thankyou高等数学

第一章

函数

函数的概念

目录Contents函数的概念1函数定义域的求法2相同函数3函数的表示方法4分段函数5函数的概念1在初中我们学过哪几类函数？1、一次函数：2、二次函数：3、反比例函数：特征：有两个变量x，y;y随着x的变化而变化回顾：注：非空性：函数的定义域实数集D必须是一个非空的集合.任意性：定义域中的每一个元素都必须有对应的函数值.唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应.函数的特性例1

结合函数的定义，判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.ABf1224367

ABf122436

4ABf12243

BAf1224368

一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域

练习一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，

且炮弹距地面的高度h(米)与发射时间t(秒)的关系为：

求上式所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义描述这个函数.

解：函数定义域的求法2（1）如果f(x)是分式，要求分母不等于零；（2）如果f(x)是二次根式，要求根号内的式子大于或等于零；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各集合的交集）.定义域：使表达式或实际问题有意义的自变量集合.（5）使实际问题有意义。（3）如果f(x)是对数形式，要求真数位置大于零；例2解：例3解：抽象函数求定义域例4解：已知函数

的定义域是,求

的定义域.相同函数3

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.

两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数.

例5解：函数的表示方法4函数的表示方法【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.用什么方法来表示函数呢？用列表法，不用计算，看表就知道函数值用解析法，便于研究函数性质用图像法，容易表示出函数的变化情况函数的表示方法:解析法、图像法和表格法.常用【1】解析法必须标明函数的定义域.【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系.【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”.分段函数5分段函数【题】画出函数y=|x|的图像.【解】由绝对值的概念，有y=-x，x＜0，x，x≥0.

像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.

在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.例7求：

设(1)，

，(2)的定义域(3)作的图像(4)解：常见的分段函数（1）符号函数：（2）含绝对值符号的函数：

（3）取整函数：

分段函数的实际应用练习某市出租车收费标准:行程不超过3km时,收费7元;行程超过3km,但不超过10km时,在收费7元基础上,超过3km的部分每公里收费1元;超过10km时,超过部分除每公里收费1元外,每公里再加收50%的回程空驶费.(1)求车费y(元)与路程x(公里)之间的函数;(2)作函数图像;(3)乘客乘车20km,需付费多少元?(4)某乘客下车时付费23元,乘车路程是多少公里?问：思考并讨论上述出租车收费问题，完成学习通平台的习题.课后任务课堂小结函数的定义及函数的三要素，定义域、对应关系、值域；函数定义域的求法、如何判断两个函数相同；函数的表示方法及分段函数.Thankyou高等数学

第一章

函数

函数的性质

目录Contents函数的奇偶性1函数的周期性2函数的单调性3函数的有界性4函数的奇偶性1奇偶函数定义偶函数奇函数

设函数

的定义域

关于原点对称.偶函数的图像关于y轴对称.奇函数的图形关于原点对称.例1判断下列函数的奇偶性

12345解：解：定义域关于原点对称是研究函数奇偶性的前提。

12利用定义判断函数的奇偶性奇偶函数运算性质奇函数代数和是奇函数，偶函数代数和是偶函数；奇数个奇函数相乘是奇函数，偶数个奇函数相乘是偶函数；偶函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函数乘积是奇函数.1234解：练习函数的周期性2函数的周期性且若则称为周期函数,称l为周期(一般指最小正周期).例如，例2解：求下列函数的周期

【注】本题也可以直接用公式求解：函数的单调性3函数的单调性

设函数

的定义域,区间

增函数函数的单调性

设函数

的定义域,区间

减函数注：单调性是与“区间”紧密相关的概念,反映的是函数的局部性质.1任意取

，“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换.2函数单调性定义的等价形式(对于任意的)：【1】

在D上为增函数；【2】

在D上为减函数；【3】

在D上为增函数；

【4】

在D上为减函数.

即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积异号，函数为减函数.【1】判断(证明)单调性：【2】比较函数值大小：【3】已知函数值大小比较自变量：

并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.例3例4解：判断函数

在区间

内的单调性.

利用定义判断函数单调性的步骤：12345总结函数在某个区间上图像从左向右呈上升趋势,则该区间为单调递增区间;若从左向右呈下降趋势,则该区间为单调递减区间.例5函数的有界性4函数的有界性设函数且有区间使称

在I上有界.使称

在I上无界.

oyxM-My=f(x)有界M-MyxoI无界I例如，因此，有界性是针对某一区间而言的.函数是否有界与所给区间有关.例6在实数范围内，下列函数中为有界函数的是()答案：A课堂小结函数奇偶性概念、如何判断函数的奇偶性；函数周期性概念；函数单调性概念、如何利用定义和图像判断函数的单调性；函数有界性概念.总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

第一章

函数

反函数

目录Contents反函数1反函数定义反函数与直接函数的关系求直接函数的反函数反三角函数2反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数反函数1知识引入华氏温度(℉)与摄氏温度(℃),是两大国际主流的计量温度的标准.假设用

表示摄氏温度,用

表示华氏温度,则

显然0℃=32℉.那么当温度为50℉，用摄氏温度表示应该是多少呢？

所以50℉为10℃.知识引入任取

存在唯一的

与

对应,是

的函数.自变量因变量因变量自变量

称新函数为原函数

的反函数

记为

为方便改写为

反函数定义设函数

的定义域是

，值域是

，如果对于任意一个

，都有唯一的

，使得成立，这时

也是

的函数，称它为

的反函数，记作

，而称

为直接函数.

习惯上常用

表示自变量,用

表示因变量,因此,经常把反函数

写成.

反函数与直接函数的关系直接函数与反函数的定义域、值域相互交换.1

直接函数与其反函数的图像关于直线

对称.2直接函数反函数定义域值域例1求函数

的反函数.解：由

解得交换

和

，得即

的反函数为

例2解：例3解：

求的反函数求反函数的步骤：1将

看成方程,解出2

将

互换得3写出反函数的定义域.解：思考是否所有函数都存在反函数?讨论

的反函数.函数

的定义域为

，值域

因为任取

有两个

值与之对应，所以

不是

的函数，即函数

在区间

上不存在反函数.

反三角函数2知识引入正弦函数在定义域内存在反函数吗？正弦函数

在整个定义域

上不存在反函数.反正弦函数正弦函数

在区间

上的反函数，称为反正弦函数，记作反正弦函数的图像及性质12在定义域范围内为增函数;34y=arcsinxy=sinxy=x例4求下列反正弦函数的值.

3124解：例5求函数

的定义域.解：反余弦函数余弦函数

在区间

上的反函数，称为反余弦函数，记作反余弦函数的图像及性质12在定义域范围内为减函数;34反正切函数正切函数

在区间

上的反函数，称为反正切函数，记作反正切函数的图像及性质12在定义域范围内为增函数;3反余切函数余切函数

在区间

上的反函数，称为反余切函数，记作反余切函数的图像及性质12在定义域范围内为减函数;3例6求下列反三角函数的值.

3124解：例6

设

求：解：（2）由故的定义域是得总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

第一章

函数

复合函数与初等函数

目录Contents基本初等函数1复合函数2常数函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数3初等函数基本初等函数1基本初等函数1.常数函数2.幂函数幂函数常见幂函数的性质

奇函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数增函数增函数增函数

3.指数函数（1）过定点（0，1）(2)减函数(3)增函数4.对数函数过定点（1，0）减函数增函数①图像都在y轴右侧②都经过点（1，0）③无限靠近y轴但不相交④时，图像上升⑤时，图像下降

5.三角函数RR[-1，1][-1，1]最小正周期为2π最小正周期为2π奇函数偶函数

正切函数的图像

奇函数

正切函数的性质余切函数正割函数余割函数6.反三角函数这六种函数统称为基本初等函数.例1下列函数是基本初等函数的是().

例2下列函数哪个是基本初等函数().

答案：B、C复合函数2

知识引入

在实际问题中常见的函数并非都是基本初等函数.在工程技术和经济活动中，有些函数关系比较复杂.

例如,某商店经营一种商品，若不考虑其他因素，那么利润L是营业额Q

的函数,而营业额

Q

又是价格

P

的函数,因此对于在确定范围内的每一个价格

P,通过

Q

都有唯一确定的

L

与之对应，这样,就可以把

L看成

P

的函数.

复合函数设函数

则其中u为中间变量.称为由复合而成的复合函数，复合函数分解从外向里，分解为基本初等函数基本初等函数的四则运算例3指出下列函数由哪几个简单函数复合而成.解：例4试求函数

复合而成的复合函数.

注：分析：将中间变量的表达式来代换中间变量，消去中间变量，就得到了关于自变量的函数，很容易得到复合函数.解：并不是任意几个函数都可以构成复合函数的，例如

就不能构成复合函数.解：例5讨论下列函数的复合过程.

解：例6初等函数3初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步否则称为非初等函数.骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如，是初等函数.分段函数一般不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但有的分段函数可以通过形式转化，用一个式子表示，是初等函数.注：例7下列是初等函数的是答案：C课堂小结基本初等函数的图像及性质；复合函数的概念、复合函数的分解、简单函数的复合；初等函数的概念.总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

第二章

极限与连续

极限的概念

目录Contents数列极限1函数极限2极限的性质3自变量趋于无穷大时自变量趋于某个值时数列极限1知识引入“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第一天截下的木棒长为第二天截下的木棒长为………第n天截下的木棒长为

庄子截丈问题：知识引入结论：观察数列随着增大，数列值有什么变化？当无限增大时，无限接近于0.把0称为数列的极限.知识引入

割圆术

我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用.

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失.知识引入正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积——数列的极限…用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:圆的面积说明：当n的取值无限增大时，面积

无限接近一个确定的常数

S.数列极限对于数列

，若当自然数

无限增大时，

能无限地趋近于一个确定的常数A，则称数列

为收敛数列，常数A称为它的极限，记作反之，如果数列

的极限不存在，则称数列

发散.例1判断下列数列的极限是否存在

123无限增大，极限不存在

结论：解：例2

由等比数列求和公式可知由于

，所以当

无限增大时，

无限趋近于零，所以

无限趋近于

，因此函数极限2

对于

，自变量的变化过程有两种形式：自变量趋于无穷大时函数的极限函数的极限自变量趋于有限值

时函数的极限观察当

时,函数

的变化趋势.当

时，函数

无限趋近于常数0；当

时，函数

也无限趋近于常数0.对于函数,如果当自变量

的绝对值无限增大时,函数

无限趋近于一个确定的常数,称常数

为函数

当

时的极限,记作

定义设

讨论该函数当

时的极限.例3解：观察函数

图像可看出，当

从1的左、右两侧无限趋近于1时，曲线

上的点

与

都无限趋近于点

，即函数

的值无限趋近于常数2，所以

定义对于函数,如果当自变量

从左、右两侧无限趋近于

时,函数

无限趋近于一个确定的常数,称函数在

处的极限为,记作

左、右极限定义当自变量

时，函数

无限趋近于一个确定的常数,则称常数

为

时的左(右)极限,记作

的充分必要条件是

即左、右极限存在并相等.

定理1——判断分段函数在分界点处的极限方法.例4观察当

时，函数

的变化趋势，并求

时的极限.从图像可看出，当

从的左、右两侧同时无限趋近于-1时，函数

的值无限趋近于-2，故当

时并不要求函数

在点

处有定义.例5设

求当

时的极限.解：函数极限的性质3性质1（唯一性）性质2（局部有界性）性质3（保号性）函数极限的性质性质4

则例6解：课堂小结数列极限的概念、求简单数列的极限；当自变量趋近于无穷大和有限值时函数极限的概念、左、右极限的概念、判断分段函数在分界点处极限的方法；极限的性质.总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

第二章

极限与连续

极限的四则运算

目录Contents极限的四则运算法则1几种特殊形式的极限2

极限的四则运算1四则运算法则注：1.定理中的(1)、(2)都可推广到有限个函数的情形；2.在(3)除法运算中,要求分母的极限不为零;3.表示该定理对于自变量的各种变化趋势都成立，

但是运算前后极限过程需保持一致.推论1推论2推论3例:例:例:例1：

求解：几种特殊形式的极限2例2：

求分析：这两个题分母的极限为0，分子的极限为不等于0的常数，不能直接使用四则运算法则，通过对分子分母进行分析可以知道整个分式的极限为.解：例3：

求分析：这两个题分母、分子的极限都为0，不能直接使用四则运算法则.解决方法：(1)分子、分母有公因子，需约分之后进行计算；

（2）分子含有根式，先将分子有理化再求极限.解：练习

例4：

求分析：当

时，分子与分母的极限为

，极限不存在，不能直接使用四则运算法则来计算.解决方法：考虑到分子与分母都是多项式，可以先将分子、分母同时除以(其中

为分子、分母中自变量的最高次幂)，然后利用法则求极限.解：

总结型的函数极限的一般规律：练习

例5：

求解决方法：(1)可以先通分转化为分式再求极限;（2）可以先有理化再求极限.分析：(1)当

时，括号中两项极限为

，极限不存在，故不能直接用极限的减法计算;解：练习答案：-1、1总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

第二章

极限与连续

两个重要极限

目录Contents第一重要极限1第二重要极限2第一重要极限1即整理，得证明

作单位圆,同时除以sinx，取倒数，得圆扇形AOB的面积△AOB

的面积＜＜△AOD的面积——第一个重要极限注意：(2)式中带有三角函数；例1解：例2解：例3解：例4解：例5解：练习计算下列极限答案：3/2、3、-1第二重要极限2证明极限存在.考虑x=n的情形，由于类似地，比较可知由于根据单调有界准则可知,数列有极限，记为e,即——第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限另一种形式：注意：在利用求函数极限时，要注意使用条件：的变量一致，且括号内例6解：

求求例7解：例8解：例9解：求练习计算下列极限答案：(1)(2)(3)总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

第二章

极限与连续

无穷小与无穷大

目录Contents无穷小与无穷大1无穷小的比较2概念性质无穷小与无穷大关系高阶、低阶、同阶、等价无穷小概念等价无穷小替换定理无穷小与无穷大1无穷小量的定义例如：注：1.无穷小不是很小的数.3.描述一个函数是无穷小，一定要指明自变量的变化趋势.2.0是唯一的无穷小常数.

无穷小的性质：性质1,2只针对有限项成立，无穷多项是不成立的。1.有限个无穷小的代数和是无穷小；2.有限个无穷小的乘积是无穷小；3.无穷小与有界变量的乘积是无穷小.

例1：求

解：解：无穷大量的定义例如：注：1.描述一个函数是无穷大，一定要指明自变量的变化趋势；2.无穷大不是一个数,不可与很大的数混为一谈；

无穷小与无穷大的关系例如：对无穷大的研究往往归结为对无穷小的研究.解：例2：求练习1.判断题（1）非常小的数是无穷小；

（）（2）零是无穷小；

（）（3）无穷小是一个函数；

（）（4）两个无穷小的商是无穷小；（）（5）两个无穷大的和一定是无穷大；（）2.指出下列哪些是无穷小，哪些是无穷大.答案：1.×、√、×、×、×

2.（1）、（2）是无穷小；（3）为无穷大无穷小的比较2无穷小的比较

例3解：等价无穷小替换定理该定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小来替换.例4：求解：解：解：注：用等价无穷小代换求极限时，一般只适用于乘、除，不能在加、减中使用.如上题若对分子的每项作等价替换，则会产生错误的结果.×练习答案：3/5、2、1/2求下列极限课堂小结无穷小与无穷大的概念；无穷小的性质；无穷小与无穷大的关系；无穷小的比较；等价无穷小替换定理.总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

第二章

极限与连续

函数的连续性

目录Contents函数连续的概念1函数的间断点2初等函数的连续性3闭区间上连续函数的性质4函数的连续性1函数的增量定义1

在某过程中,变量

u由初值

u1

变为终值u2

,则称差

u2

u1

称为变量u的增量,注：

u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.当初值大于终值时，增量就是负的.

u=u2－u1.记为定义2自变量由x0变化到x，则称

x=x

x0

为自变量

x在x0点处的增量.=f(x0+

x)

f(x0)

y=f(x)

f(x0)

x

yOx0xxyy=f

(x)

f(x)在点

x0点处有函数增量

y：函数连续的概念当自变量x在这根据这一特点，给出函数y=f(x)在x0处连续的概念.

x

yOx0x+

xxyy=f

(x)定义3如果连续,则称函数f(x)在x0处称x0为函数f(x)的连续点.定义4则称函数f(x)在x0处连续.设

f(x)在U(x0)内有定义,若函数

f(x)在点

x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在

x0处有定义；

例2：讨论函数处连续.由连续性的定义知，解：

左连续：

右连续：左连续；右连续.左连续右连续注：此定理判定分段函数在分段点处的连续性.定理1函数在点x0

连续的充要条件是它在点x0

处既左连续又右连续.

例3：解：不右连续.所以左连续,

例4：解：定义5设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义.(1)若

x0

(a,b),f(x)在点x0

处连续,则称

f(x)在开区间(a,b)内连续,记为f(x)

C(a,b).(2)若

f(x)

C(a,b),

在右端点

x=b处左连续,且

f(x)在左端点

x=a处右连续,

则称f(x)在闭区间[a,b]上连续,记为f(x)

C[a,b].函数的间断点2定义6函数的不连续点叫做函数的间断点.f(x)在点x0

处出现如下三种情形之一:无定义;不存在;则称函数f(x)在点

x0

处间断.下面举例函数间断的例子.因此x=0是此函数的间断点.由于

x=0是此函数的间断点.从上面的例子看出，函数在x0处虽然都是间断，但产生间断的原因各不相同.根据这一特点，下面对间断点进行分类:函数间断点的分类第二类间断点：第一类间断点:及均存在,若称为可去间断点.若其中有一个为称为无穷间断点.若其中有一个为振荡,称为振荡间断点.称为跳跃间断点.若与至少有一个不存在,可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点为其无穷间断点

.为其振荡间断点

.为可去间断点

.例如:显然为其可去间断点

.(4)(5)为其跳跃间断点

.初等函数的连续性3

应用连续函数的概念可以验证,所有的基本初等函数在其定义域内是连续的.根据连续函数的上述性质,还可以得到一个很有用的结论:一切初等函数在其定义区间内是连续的。初等函数的连续性例4：解：例5：解：闭区间上连续函数性质4定理5（最值定理）闭区间上连续的函数在该区间上一定存在最大值和最小值.此定理说明，如果函数注：定理5中条件“闭区间”和“连续”很重要，如果缺少一个，定理5不一定成立.例如,在(0,1)无最大值和最小值；

[0,2]有间断点，无最大值和最小值

又如,

推论：闭区间上连续函数在该区间上有界.定理6（介值定理）函数f(x)在[a,b]上连续，M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则至少存在一点定理7(零点定理)至少有一点且使例6：

证明方程内至少有一个根.证明

故据零点定理,至少存在一点使在区间即例7：例8：证明由零点定理,注：在应用零点定理时，一定要注意检验函数是否满足定理使用的条件.课堂小结函数连续的概念(左、右连续)；如何判断分段函数在分界点处的连续性；函数间断点的分类(第一、第二类间断点)；闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点定理)总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务高等数学

第四章

导数的应用

目录Contents罗尔定理1拉格朗日中值定理2罗尔定理1预备定理：

费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何，因提出费马大、小定理而著名于世.核心是拉格朗日中值定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广.

我们首先介绍罗尔定理导数与应用的桥梁微分学的理论基础微分中值定理

罗尔定理

定理4.1几何意义：

实际上,切线与弦线AB平行.例1解：

拉格朗日中值定理2拉格朗日中值定理

定理4.2几何意义：

切线与弦线AB平行例2证：

练习

证：

证：

思考：思考并讨论上述问题，完成学习通平台的习题.课后任务课堂小结罗尔定理：三个条件缺一不可；拉格朗日中值定理：满足两个条件；高等数学

第四章

导数的应用

洛必达法则

目录Contents

1其它型未定式2

1在前面我们学过哪些求函数极限的方法？1、极限的四则运算法则：2、两个重要极限：3、无穷小与无穷大的关系：注意：每种运算法则都有其使用范围知识回顾：4、等价无穷小代换：知识回顾：

？洛必达法则

定理4.3注：

拓展延伸例1解：

求

例2解：

求

例3解：

求

例4解：

求

极限不存在，因而不能用洛必达法则.

说明洛必达法则是求未定式极限的一种简单有效方法，但它并不是万能的.当使用洛必达法则无效时，并不能说明所求极限不存在，只是不能用洛必达法则而已，这时需要用其他方法去考察所求极限.其它型未定式求极限2解决方法：取倒数，通分，取对数

例5

例5解：

例6

例6