2027届高考数学一轮总复习10.8概率统计的综合问题（课件）

第十章计数原理、概率10.8概率统计的综合问题高三一轮数学内容索引课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.会从统计图表中提取有效信息,用以解决概率问题.

2.能够解决概率与回归分析、独立性检验的综合问题.202320242025

新课标Ⅱ卷T19

关键能力提升考点1

频率分布直方图与概率【例1】

(2025·北京朝阳区二模)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度,分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查,将评分数据按[40,50),[50,60),…,[90,100]分组整理得到如下频率分布直方图.(用频率估计概率)(1)从A地区的全体用户中随机抽取一名,求该用户评分不低于60分的概率;【解】设事件M:从A地区的全体用户中随机抽取一名,该用户评分不低于60分.由频率分布直方图可知,从A地区抽取的500名用户中评分不低于60分的频率为(0.025+0.035+0.015+0.005)×10=0.8,所以P(M)=0.8.

X012P(3)根据图中的样本数据,假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替,设A地区评分的平均值估计为μ1,A,B两地区评分的平均值估计为μ,比较μ1与μ的大小关系.(直接写出结论)【解】μ1>μ.根据频率分布直方图,估计A地区评分的平均值为μ1=45×0.05+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.15+95×0.05=70.5(分),估计B地区评分的平均值为45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.05=67(分)<μ1,所以A,B两地区评分的平均值μ<μ1.统计图表与概率综合问题的求解策略(1)正确识读统计图表,从图表中提取有效信息及样本数据.(2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想,结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等).(3)正确进行运算,求出样本数据中能够说明问题的特征值,从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.规律总结【对点训练1】

(2025·广东广州三模)为减少环境污染,保护生态环境,某校进行了“垃圾分类知识普及活动”,并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试.现从高一、高二各随机抽取了20名学生,对他们的成绩(百分制)进行了整理和分析后得到如下信息:高一年级成绩分布表成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数123410高二年级成绩频率分布直方图

X0123P考点2

独立性检验与概率【例2】

(2025·山东临沂二模)体育是培养学生高尚人格的重要途径之一.足球作为一项团队运动项目,深受学生喜爱,为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关,随机抽取了100名学生作为样本,统计得到如下的2×2列联表:单位:名项目喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生40a

女生b25

合计

100

(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,判断学生喜爱足球运动是否与性别有关;【解】零假设H0:学生喜爱足球运动与性别无关.作出2×2列联表如下:单位:名项目喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生401555女生202545合计6040100

α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828

独立性检验与概率综合问题的解题思路本类题目以生活题材为背景,涉及独立性检验与概率问题的综合,解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表,并按照公式求得χ2的值后进行比较,其次按照随机变量满足的概率模型求解.规律总结【对点训练2】

人工智能对人们的生活有较大的影响,为了让老师更加重视人工智能,某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分100分),若分数为80分及以上的为优秀,其他为非优秀,统计并得到如下2×2列联表:单位:名项目男教师女教师合计优秀201535非优秀10515合计302050

α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828

X012P考点3

回归分析与概率【例3】

(2025·陕西咸阳三模)某市近来昼夜温差较大,若人们不注意保暖,可能会导致自身受到风寒刺激,增加感冒患病概率,特别是对于儿童以及年老体弱的人群,所以要多加防范.某高中数学兴趣小组研究了昼夜温差大小与某社区新增感冒就诊人数之间的关系,他们记录了某六天的温差,并到社区卫生服务中心查阅了这六天中每天新增感冒就诊的人数,得到的数据如下表:时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x/℃47891412新增感冒就诊人数y/位y1y2y3y4y5y6

X012P

回归分析与概率综合问题的解题思路(1)此类问题的特点为同一生活实践情境下设计两类问题,即①求经验回归方程(预测);②求某随机变量的概率(范围)、均值、方差等.(2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)做出判断,确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据,合理利用变形公式,以达到快速准确运算的目的.(3)明确所求问题所属事件的类型,准确构建概率模型.规律总结【对点训练3】

(2026·湖南常德一模)某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数(单位:千人)如表所示.日期3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日第x天12345参观人数y2.22.63.15.26.9

课时作业77基础巩固1.(15分)(2025·安徽合肥三模)近年来,“社区咖啡”的理念在全国各地深入人心,“社区咖啡”主要采用手冲咖啡的模式.已知某款手冲咖啡的二段萃取时间在100s到110s之间,现将某咖啡师一个月内完成的1000次咖啡二段萃取时间进行统计,结果如图所示.(1)求a的值及这1000次二段萃取时间在[102,104)的次数;解:由题意,利用频率分布直方图的性质,可得(0.025+a+0.175+0.125×2)×2=1,解得a=0.050,

则这一个月内完成的1

000次咖啡二段萃取时间在[102,104)的次数为1

000×0.050×2=100.(2)求这1000次咖啡二段萃取时间的中位数以及平均数;解:前两组的频率之和为(0.025+0.050)×2=0.15,前三组的频率之和为(0.025+0.050+0.175)×2=0.5,所以中位数为106

s,估计所求平均数为101×0.05+103×0.1+105×0.35+(107+109)×0.25=106.1(s).

2.(15分)(2026·山东淄博一模)某地为调查大型水域的水质情况,设置若干站点检测水质指数(“M指数”),以这些站点所测“M指数”的平均值为依据,播报此大型水域的水质情况.如图是某30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图,其中分组区间分别为[12,20),[20,28),[28,36),[36,44),[44,52),[52,60),[60,68),[68,76].(1)规定:“M指数”不超过50为“优质水源日”,否则称为“非优质水源日”.对该地区50名外出郊游的市民进行调查,得到如下列联表:单位:名请完成上述列联表,并根据α=0.05的独立性检验,能否认为优质水源日出游与性别有关?项目男市民女市民合计优质水源日出游12

30非优质水源日出游

6

合计

50解:零假设为H0:优质水源日出游与性别无关.补全列联表如下:单位:名项目男市民女市民合计优质水源日出游121830非优质水源日出游14620合计262450

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

X0123P

项目地点1地点2地点3地点4地点5x24568y3