高二数学椭圆及其标准方程

数学课件内容：椭圆及其标准方程

制作：正宁县第三中学

制作人：雷巩民

2008年9月23日stop教学目标教学重点教学难点教学目标教学重点教学难点教学过程学法指导学法引导引言椭圆及其标准方程第一课时返回首页点击stop第八章圆锥曲线方程1.圆锥曲线名称的来历；2.周围生活中的圆锥曲线。双曲面可换齿塔通风塔汽车灯示意图教学目标：目标是锁定远航的明灯!stop一、知识目标：二、能力目标：三、情感目标：１．记住椭圆的定义，并会推导椭圆的标准方程；２．能根据条件确定椭圆的标准方程．通过椭圆的定义的理解和标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法，提高运用坐标法的自觉性以及解决几何问题的能力．１．通过引言和日常生活中对椭圆的初步感知以及椭圆的几何曲线,感知几何图形的曲线美；２．建立适当的坐标系，得到椭圆的标准方程，体验数学的对称美；３．通过研究方程揭示椭圆的内在本质特性与规律，充分展示数与形结合的和谐美．教学重点：（解决办法：注意演示椭圆的画法，通过画图过程,揭示椭圆上的点所要满足的条件，再给出椭圆的定义；把焦点位置不同的椭圆标准方程进行比较，掌握它们的异同．）椭圆的定义及其标准方程stop教学难点：椭圆标准方程的探究stop授人以鱼不如授人以渔stop

推导椭圆的标准方程时，引入b(令b2=a2–c2)目的是使方程形式简单追求对称美，便于记忆.同时b有特定的几何意义,将在下一节说明,椭圆的两种标准方程,既要注意其不同之处,更要注意其共同点.在形如Ax2+By2=C的方程中,只要A、B、C同号不为零,就表示椭圆方程.

根据已知条件,求出表示平面曲线的方程是平面解析几何研究的两大问题之一.求椭圆的方程时，选择x轴经过两定点F1、F2,并且使坐标原点与F1、F2的中点重合。这样，两个定点F1、F2的坐标比较简单，便于推导方程。教学过程复习引入创设情景动手操作体验感知合作完善理论概括自主建构深化概念目标训练巩固新知总结反思深化认识布置作业知识延伸例题讲解熟悉新知stop问题１：什么叫做曲线的方程？求曲线的方程一般有哪几个步骤？问题２：圆的几何特征是什么？stop用准备好的实验器材，按下列步骤分小组进行实验：在图板上钉好图钉（注意两钉之间距离要小于细绳长）；将细绳拴在图钉上；用铅笔尖把绳子拉紧；使铅笔尖紧贴图板，并慢慢移动，铅笔在图板上划出痕迹；

观察体会划痕形状

stop体会实验过程，思考、讨论并总结出椭圆上的点所满足的条件．平面内与两个定点F1、F2

的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。stop椭圆的定义：由椭圆的定义可知椭圆的基本几何特征，椭圆还有哪些性质？为了进一步弄清椭圆的性质，需要用坐标法建立椭圆的方程。stop解:建立如图所示坐标系:xyoF1F2M由定义可得椭圆上点的集合为：等式坐标化：表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程,焦点是F1(-c,0),F2(c,0),这里c2=a2-b2化简整理，得令：代入上式,得焦点在y轴上时的标准方程是什么？此划痕形状在几何中叫椭圆。stop一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。stop求曲线方程的一般步骤：1.建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;2.写出点M满足的条件的点的集合;3.用坐标表示条件,列出方程;4.化方程为最简形式;5.证明以最简方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

平面内到一个定点的距离为常数的点的轨迹叫圆。亦即圆上任意一点到圆心的距离为常数（圆的半径）。stop焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：返回stopyxoF1F2M思考归纳：自主、合作归纳：两种标准方程的比较：①共同点：②不同点：方程Ax2+By2=C，只要A、B、C同号就表示椭圆；

a>b>0，c2=a2-b2；位置不同,焦点坐标不同,由a2>b2，可以根据分母的大小，来判定椭圆的焦点在那一个坐标轴上，分母那个大，焦点就在那个轴上。

(1)由焦点坐标可知焦点在x轴上,设出标准方程(若不能确定焦点的位置,则应分类讨论),再根据定义确定a、b的值。往往确定a2

、b2的值。

(2)类似(1),设出标准方程后将已知点代入方程,再用待定系数法解之。stop例1

求适合下列条件的椭圆的标准方程。

（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（-1.5,2.5）。例题：分析：解答已知B、C是两个定点，｜BC｜＝６，且△ABC的周长等于１６，求顶点A的轨迹方程。stop例2分析:在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系。为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。解答解：（1）因为焦点在x轴上，设它的标准方程为

（2）类似（1），同学们仿解，试用不同方法。.19y25x2222=+∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4,∴b2=a2-c2=52-42=9.所以所求椭圆的标准方程为stop解：建立如图所示坐标系，由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有

|AB|+|AC|＝10，即点A的轨迹是椭圆，且

2c=6，2a=16-6=10，∴c=3，a=5，b2=52-32=16。但当点A在直线BC上，即y=0时A、B、C三点不能够成三角形，所以点A的轨迹方程是stopxyoABC随堂练习：教材P95：练习题１～３。

③②或①３．１．２．14stop答案：总结提炼：１．椭圆的定义；当2a=|F1F2|时，动点的轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|时，动点不存在。

２．椭圆的标准方程；（１）焦点