2027届高考数学一轮总复习素能培优(5)破解“双变量问题”的基本策略【课件】

素能培优(五)破解“双变量问题”的基本策略高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2027近年来,高考数学试题中频繁出现以“双变量”为核心的命题,这类问题主要考查参数的取值范围求解和不等式证明,综合性强、思维要求高.解题时需先建立变量间的等量关系实现降维转化,再构造函数并运用导数分析单调性、极值等性质.这类题目重点考查转化能力以及函数与导数的综合运用能力.题型一转化单变量问题求解

x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减f(x1)单调递增f(x2)单调递减

规律方法

在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题.

题型二构造对称和(差)证明双变量不等式例2

(2025·西南名校联盟模拟)定义:x1,x2是函数f(x)的两个极值点,若x1+x2<2<f(x1)+f(x2),则称f(x)为“τ函数”.(1)若f(x)=x3+3ax2-15为“τ函数”,求实数a的取值范围.(2)已知函数g(x)=2ex-1-x2-bx+b有两个极值点.①求b的取值范围;②证明:g(x)为“τ函数”.(1)解

已知f(x)=x3+3ax2-15,求导得f'(x)=3x2+6ax.令f'(x)=0,即3x2+6ax=3x(x+2a)=0,解得x1=0或x2=-2a.因为函数f(x)为“τ函数”,所以x1+x2<2<f(x1)+f(x2).x1+x2=0+(-2a)=-2a,f(x1)=f(0)=-15,f(x2)=f(-2a)=(-2a)3+3a·(-2a)2-15=-8a3+12a3-15=4a3-15.则不等式为-2a<2<-15+4a3-15.解-2a<2,得a>-1;解2<4a3-30,得a>2.所以a>2.则实数a的取值范围为(2,+∞).(2)①解

已知g(x)=2ex-1-x2-bx+b,求导得g'(x)=2ex-1-2x-b,令h(x)=g'(x),得h'(x)=2(ex-1-1).令h'(x)=0,即2(ex-1-1)=0,解得x=1.当x<1时,h'(x)<0,h(x)在(-∞,1)内单调递减;当x>1时,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)内单调递增.所以h(x)≥h(1)=2e0-2-b=-b.当x→-∞时,h(x)→+∞;当x→+∞时,h(x)→+∞.因为函数h(x)存在两个不同的变号零点(可设为x3,x4,且x3<1<x4),所以-b<0,即b∈(0,+∞).②证明

令H(x)=h(x)-h(2-x)=2ex-1-2e1-x-4x+4,则H'(x)=2ex-1+2e1-x-4,由基本不等式得ex-1+e1-x≥2(当且仅当x=1时,等号成立),所以H'(x)≥0,H(x)在R上单调递增.又H(1)=0,当x>1时,H(x)>0,即h(x)>h(2-x).利用单调性证明x3+x4<2:因为h(x3)=h(x4)>h(2-x4),且h(x)在(-∞,1)内单调递减,x3<1,2-x4<1,所以x3<2-x4,即x3+x4<2.构造函数G(x)并分析单调性证明g(x3)+g(x4)>2:因为x3<x<1时,g'(x)=h(x)<0,g(x)在(x3,1)内单调递减,x3<2-x4<1,所以g(x3)>g(2-x4),g(x3)+g(x4)>g(2-x4)+g(x4).其中g(2-x)=2e1-x-(2-x)2-b(2-x)+b,令G(x)=g(2-x)+g(x)=2ex-1+2e1-x-2x2+4x-4,则G'(x)=2ex-1-2e1-x-4x+4,令P(x)=G'(x),P'(x)=2ex-1+2e1-x-4≥0,P(x)在R上单调递增.当x>1时,P(x)>P(1)=0,即G'(x)>0,G(x)在(1,+∞)内单调递增,G(x)>G(1)=2.所以g(2-x4)+g(x4)>2,即g(x3)+g(x4)>2.综上,函数g(x)为“τ函数”.规律方法

如果双变