2.3　第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式-高中数学高一上学期必修一人教A版课件

2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式素养目标思维导图1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程(数学抽象).2.通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系(直观想象).3.会解一元二次不等式(数学运算).课前自主学习

【核心概念】1.一元二次不等式只含有______未知数,并且未知数的_____________的不等式,其一般形式是ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a,b,c为常数,a≠0).2.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.一个最高次数是23.二次函数与一元二次方程、不等式判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集______________Rax2+bx+c<0(a>0)的解集___________⌀__{x|x<x1或x>x2}

{x|x1<x<x2}⌀课堂合作探究探究点一

一元二次不等式的解法【典例1】解下列不等式:(1)x2-x-6>0.(2)25x2-10x+1>0.(3)-2x2+x+1<0.【思维导引】

【类题通法】一元二次不等式的两种解法(1)图象法:一般地,当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(或≥0)或ax2+bx+c<0(或≤0)的一元二次不等式,可分为三步:①求解:确定对应方程ax2+bx+c=0的解;②画图:画出对应函数y=ax2+bx+c的图象;③写解集:由图象得出不等式的解集.对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解.(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当p<q时,若(x-p)(x-q)>0,则x>q或x<p;若(x-p)(x-q)<0,则p<x<q.有口诀如下“大于取两边,小于取中间”.

探究点二

三个“二次”关系的应用【典例2】(2025·广州高一检测)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x<2或x>3}.(1)用字母a表示出b,c;(2)求关于x的不等式bx2+ax+c>0的解集.【思维导引】(1)先由一元二次不等式与一元二次函数的关系确定a>0,再结合根与系数的关系即可求解;(2)把(1)的结论代入bx2+ax+c>0,由a>0,消去a,解一元二次不等式即可.

【类题通法】二次函数与一元二次方程、不等式的关系(1)对应关系:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.(2)位置关系:二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方部分的x的取值,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值构成的;图象在x轴下方部分的x的取值,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化.

【类题通法】1.含参数的一元二次不等式常见的分类标准(1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准.(2)以判别式与零的大小关系作为分类标准.(3)若判别式大于零,但两根的大小不能确定,则再以两根的大小关系作为分类标准.2.含参数的一元二次不等式的解题步骤(1)化正:将二次项系数转化为正数.(2)求根:判断相应方程是否有根.(3)写解集:根据根的情况写出相应的解集,若方程有两个相异根,为了正确写出解集还要确定两根的大小.

课堂练习

5.设集合A={x|-1<x<a},B={x|x2+x-6<0},全集U=R.(1)若a=4,求A∩B,(∁RB)∩A;(2)若A∩B=A,求a的取值范围.【解析】(1)当a=4时,A={x|-1<x<4},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2},(∁RB)∩A={x|