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一元多项式的定义和运算一、多项式的概念

中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。例：4a+3b，

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。后来又把多项式定义为R上的函数：但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中并没有交代。问题：1、高等代数中采用什么观点定义多项式？2、多项式的形式观点与多项式的函数观点是否矛盾？定义1：设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数形式表达式—（2.1）其中，称为数域F上的一元多项式。常数项或零次项首项首项系数称为i次项系数。

高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义：

这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。

系数可以是任意数域。例1.2.1：是Q上多项式；是R上多项式；是C上多项式。都不是多项式。定义2：是两个多项式，除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。多项式的表法唯一。方程是一个条件等式而不是两个多项式相等。定义3：设非负整数n称为的次数，记为：

最高次项，亦称为首项。例1.2.2：零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不个多项式不是零多项式。首一多项式：首项系数为1的多项式。二、多项式的运算定义4：设是数域F上次数分别定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这为n和m的两个多项式，则与的和为：。当m<n时，取。定义5：设如上，与的积为例1.2.3：设其中相乘积的和作为的系数。得：把中两个系数下标之和为k的对应项多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：加法交换律：加法结合律：乘法交换律：乘法结合律：乘法对加法的分配律：下面证明多项式乘法满足结合律。证：设现证这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。左边中S次项的系数是：左边t次项的系数是：右边中r次项的系数是：右边的t次项的系数是：左、右两边同次项的系数相等，乘法满足结合律。三、多项式的次数定理定理2.1.1：设

当时，则

证：设当令多项式乘法没有零因子。推论1：若证：若f=0或g=0，则必有fg=0。反之，若，矛盾。乘法消去律成立。推论2：若且则证

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