高一题型方法一本通下册第九章统计

2/2第九章统计9.1.1简单随机抽样一、全面调查与抽样调查1、全面调查(1)定义：对每一个调查对象都进行调查的方法，成为全面调查，又称普查.在一个调查中，我们把调查对象的全体积为成为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体.(2)优点和缺点：优点是所有资料较为全面可靠；缺点是调查花费的人力、物力、财力较多，且调查时间较长，全面调查只在样本少的情况下适合采用.2、抽样调查(1)定义：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.(2)相关的概念：(1)总体：所要考察对象的全体叫做总体(2)样本：从总体中抽取出的若干个个体组成的集合叫作总体的一个样本(3)个体：总体中的每一个考察对象叫作个体(4)样本容量：样本中个体的数目叫作样本容量(5)样本数据：调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.(3)优点和缺点：优点是迅速及时；节约人力、物力和财力缺点是调查结果不如全面调查全面、系统.二、简单随机抽样1、放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n1≤2、不放回简单随机抽样如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.3、简单随机抽样与简单随机样本放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本成为简单随机样本.4、简单随机抽样的特点：(1)总体个数有限：简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析；(2)逐个抽取：简单随机抽验是从总体中种逐个进行抽取，这样便于实际操作；(3)不放回抽样：简单随机抽样是一种不放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算.(4)等可能抽样：不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽到的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽到的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性.5、常用的简单随机抽样有抽签法和随机数表法三、抽签法与随机数法1、抽签法(1)定义：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个样本容量为n的样本.(2)抽签法的操作步骤：第一步，编号：将N个个体编号(号码可以从1到N，也可以使用已有的号码)第二步，写签：将N个号码写到大小、形状相同的号签上.第三步，抽签：将号签搅拌均匀，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取n次，并记录其编号.第四步，定样：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本.(3)抽签法的注意事项：(1)对个体编号时，也可以利用已有的编号.(2)制作号签时，所使用的工具(如纸条、小球等)的形状、大小要一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等.(3)抽取样本前总体要“均匀搅拌”，目的是让每个号签被抽到的机会相等.(4)优点与缺点优点：简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，此时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性；缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体的容量较大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平.2、随机数法(1)定义：简单随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数表法，即利用随机试验或信息技术(即计算器、电子表格软件和R统计软件)生成的随机数进行抽样.(2)随机数表法步骤：(1)把总体中的每个个体编号.(2)用随机数工具产生编号范围内的整数随机数.(3)把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.【注意】如果产生的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同标号个数等于样本所需要的数量.(3)优点和缺点优点：操作简单易行，它很好地解决了用抽签法当总总体中的个数较多时制签难的问题，在总体容量不大的情况下是行之有效的.缺点：总体中的个数很多，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法操作也不方便快捷.3、抽签法与随机数法的比较相同点：(1)抽签法与随机数法都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；(2)抽签法与随机数法都是从总体中逐个进行抽取，都是不放回抽样；不同点：抽签法适用于总体个数较少的情况；随机数法适用于总体个数较多的情形.四、简单随机抽样中的两类特征数1、总体平均数一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y如果总体的N个变量值中，不同的值共有kk≤N个，不妨记为Y1，Y22、样本平均数如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…题型一普查与抽样调查的特征【例1】下列说法不正确的是()A普查是对所有的对象进行调查 B样本不一定是从总体中抽取的，没有抽取的个体也可能是样本C当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，普查要耗费大量的人力、物力和财力 D普查不是在任何情况下都能实现的【变式】下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是()(1)一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.A0 B1 C2 D3题型二统计的相关概念辨析【例2】质检部门检查一箱装有2500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是A总体是指这箱2500件包装食品 B个体是一件包装食品 C样本是按2%抽取的50件包装食品 D样本容量是50【变式】从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为A120 B200 C100 D150题型三简单随机抽样的概率【例3】一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是_；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是___________【变式1】利用简单随机抽样，从n个个提中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为A14 B13【变式2】用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是()A110，110 B310，15题型四抽签法的应用【例4】下列抽样试验中，最适合用抽签法的是()A从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验 B从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D从某灯泡厂生产的1000个灯泡中抽取10个进行寿命检验【变式1】某学校数学组要从11名数学老师中推荐3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是()A制签 B均匀搅拌 C逐一抽取 D抽取后不放回【变式2】甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动.抽签决定谁去.那你认为抽到的概率大的是 .A先抽的概率大些 B三人的概率相等 C无法确定谁的概率大 D以上都不对题型五随机数表法的应用【例5】(多选)总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第950446644296706580369803427188361464223916743257458831103302083531228477363053599A42 B36 C22 D14【变式1】某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，390647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179题型六总体平均数与样本平均数【例6】某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是___________分.【变式】对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙352940343036分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度m/s数据的平均数并判断选谁参加比赛比较合适？9.1.2-3分层抽样和获取数据的途经一、分层随机抽样的概念1、分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体积为层.2、比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.3、分层随机抽样使用的原则(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.4、分层随机抽样的步骤(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)；(2)计算抽样比：抽样比k样本容量(3)定数：按抽样比确定每层抽取的个体数；(4)抽样：每层分贝按简单随机抽样的方法抽取样本(5)成样：综合各层抽样，组成样本.5、分层随机抽样的相关计算关系：(1)样本容量n(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：ωm二、获取数据的基本途经选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度.有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性.1、通过调查获取数据：(1)使用类型：对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据；(2)注意问题：要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效地避免抽样过程中的人为错误2、通过试验获取数据(1)适用类型：没有现存的数据可以查询(2)注意问题：严格控制实验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量3、通过观察获取数据(1)适用类型：自然现象；(2)注意问题：要通过长久的持续观察获取数据4、通过查询获得数据(1)适用类型：众多专家研究过，其收集的数据有所存储(2)注意问题：必须根据问题背景知识“清洗数据”，去伪存真题型一分层抽样的概念【例1】为了保证分层随机抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求()A每层不等可能抽样 B每层抽取的个体数相等 C每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取nin×NiN(i1，2，…，k)个个体D只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制【变式】某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽样方法是()A抽签法随机抽样 B随机数法随机抽样 C直接运用分层随机抽样 D先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样题型二分层抽样的计算【例2】某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示，电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为()最喜爱喜爱一般不喜欢4800720064001600A25，25，25，25C20，40，30，10【变式1】某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是()A35 B40 C45 D60【变式2】某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为 A100 B150 C200 D250题型三分层抽样中的总体平均数和样本平均数【例3】将一个总体为A、B、C三层，其个体数之比为5【变式1】已知样本数据x1，x2，…【变式2】若样本x11，x21，……题型四数据获取的途经【例4】为了了解某市2019年高考各高中学校本科上线学生，收集数据进行统计，期中获取数据的途经采用什么样的方法比较合适()A通过调查获取数据 B通过试验获取数据 C通过观察获取数据 D通过查询获取数据【变式】下列调查工作适合采用普查的是()A环保部门对淮河水域的水污染情况的调查 B电视台对某电视节目收视率的调查 C质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查9.2样本估计总体一、频率分布直方图1、频率分布直方图(1)列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：1)计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5∼12组，且组距极差3)将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组.4)列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，用频数除以样本容量，得到各小组的频率.5)绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率距的值为纵坐标绘制直方图.(2)频率分布直方图的特点：1)小长方形的面积组距×频率组距频率，2)每个小长方形的面积之和等于1，3)小长方形的高频率组距，所有小长方形的高的和1组距.(3)频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义.(4)总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线yfx来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.2、根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.二、百分位数的计算1.第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p的数据小于或等于这个值，且至少有100p%2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据.(2)极差(又叫全距)是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；(3)样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；一般地，设样本的数据为x1，x定义样本方差为s2简化公式：s2(方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方(4)样本的标准差是方差的算术平方根.样本标准差sx标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围.(5)方差相关结论：(1)如果一组数x1，x2，⋯，(2)如果一组数x1，x2，⋯，题型一频率分布直方图【例1】某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)A样本中支出在[50，60)Bn的值为200 C样本中支出不少于40元的人数为132 D若该校有2000名学生，则一定有800人支出在[50，【变式1】在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加调研测试，经过评估，这500名学生的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则得分在[40，A150 B200 C250 D300【变式2】为了研究人们生活健康情况，某市随机选取年龄在15∼75岁之间的1000人进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中ab73，利用分层抽样从年龄在[15，25A2 B3 C4 D7题型二总体百分位数的估计【例2】下列关于50%分位数的说法正确的是A50%分位数不是中位数 B总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C它是四分位数 D它只适用于总体是离散型的数据【变式1】某射击运动员7次的训练成绩分别为：86，88，90，89A88.5 B89 C91 D89.5【变式2】某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53A51，58 B51，61 C52，58 D52，61题型三6种特征数的计算【例3】已知一组数据a、1、3【变式1】一组数据1，a，4【变式2】(多选)一组数据6，7，8A众数为8 B极差为6 C中位数为8 D方差为225【变式3】已知一组样本数据x1，x2⋯x题型四方差、标准差说明数据的波动情况【例4】甲、乙两位同学的5次数学学业水平模拟考试成绩的方差分别为10.2和14.3，则以下解释比较合理的是()A甲比乙的成绩稳定 B乙比甲的成绩稳定 C甲、乙的成绩稳定性无差异 D甲比乙的成绩的标准差大【变式1】下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是()A极差 B平均数 C方差 D标准差【变式2】为迎接2022年冬奥会，某校在体育冰球课上加强冰球射门训练，现从甲、乙两队中各选出5名球员，并分别将他们依次编号为1，2A甲队球员进球的中位数比乙队大 B乙队球员进球的中位数比甲队大 C乙队球员进球水平比甲队稳定 D甲队球员进球数的极差比乙队小题型五同时加减或乘除一个数后的数据特征变化【例5】设一组样本数据x1，x2，⋯，xA10，1 B10，0.1 C11，1 D11，0.1【变式1】若x1，x2，…A3 B4 C7 D8【变式2】已知数据x1，x2，⋯，x60的平均数为a，方差为b，中位数为cA新数据的平均数是2a1 B新数据的方差是4bC新数据的中位数是2c D新数据的极差是2d统计专题：统计图表的应用1、频率分布直方图根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.2、条形图在直角坐标系中，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图.3、折线图在直角坐标系中，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应的各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图.4、扇形图用一个圆表示整体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样一种表示和分析数据的统计图称为扇形图.题型一频率分布直方图的应用【例1】为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试.如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图.则下列关于这次考试成绩的估计错误的是()A众数为82.5 B中位数为85 C平均数为86 D有一半以上干部的成绩在80∼90分之间【变式2】某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，