第讲拉氏变换及传递函数

自动控制原理

第3讲复习拉氏变换传递函数7/7/2026复习：

拉普拉斯变换有关知识传递函数主要内容7/7/2026

线性定常微分方程求解微分方程求解方法

7/7/2026

复习拉普拉斯变换有关内容1复数有关概念

（1）复数、复函数复数复函数例1：（2）模、相角（3）复数的共轭

（4）解析

若F(s)在s点的各阶导数都存在，则F(s)在s点解析。模相角7/7/20262.复变数的各种表达形式代数形式极坐标指数三角欧拉定理：7/7/20263、拉氏变换的定义该函数f(t)满足:t<0时，f(t)=0t>0时，f(t)分段连续

如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域是t>0，那么拉氏变换就是如下的运算式：则f(t)的拉氏变换存在，F(s)称为象函数，f(t)称为原函数。7/7/2026（1）阶跃函数4常见函数的拉氏变换（2）指数函数7/7/2026（3）正弦函数7/7/2026常见函数L变换（2）单位阶跃（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数7/7/2026（1）线性性质5拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理证明：0初条件下有：

7/7/2026例2求解.例3求解.7/7/2026（3）积分定理零初始条件下有：进一步有：

例4求L[t]=?

解.例5求解.7/7/2026（4）延迟定理证明：例6解.令7/7/2026（5）位移定理证明：令例7例8例97/7/2026（6）初值定理证明：由微分定理例107/7/2026（7）终值定理证明：由微分定理例11（终值确实存在时）例127/7/2026

L变换重要定理（2）微分定理（5）位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）延迟定理（6）初值定理（7）终值定理7/7/20266.拉氏反变换定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。7/7/2026若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例13：配方法例14：7/7/2026例15：待定系数法7/7/2026例16：（1）实根切为单根留数法7/7/20267/7/2026情况2:F(s)有共轭极点(即复数极点）例17：求解微分方程这个推导属配方法和查表法，心中要有公式7/7/2026

情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么7/7/20267/7/2026例187/7/20267/7/2026

配方法、部分分式法、留数法、待定系数方法、公式法、查表法，并在做题的书写格式上尽量规范、标准，养成一个好习惯。注意总结和掌握这些常用方法：7/7/2026采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。拉氏变换法求解微分方程步骤如下：（1）方程两边作拉氏变换；（2）将给定的初始条件与输入信号的拉氏变换代入方程；（3）写出输出量的拉氏变换；（4）作拉氏反变换求出系统输出的时间解。7拉氏变换法求解微分方程7/7/2026例19求某系统的微分方程为输入信号为，初始条件

，求系统的输出解：对方程两边作拉氏变换并代入初始条件和输入函数的拉氏变换得则输出响应的拉氏变换为式中包含有共轭复数极点

利用配方法展开成部分分式和的形式：

可以求得输出响应为7/7/2026例20.已知系统的微分方程式为：式中，y(t)—系统的输出量；r(t)—系统的输入量，初值为0解：7/7/2026∴7/7/2026例21

已知系统的微分方程式为：并且设：，求微分方程的解。解：7/7/20267/7/2026例22.设系统输出量y(t)的拉氏变换Y(s)为：试求Y(s)的拉氏变换y(t)。解：7/7/2026∴7/7/2026(1)输入ur(t)影响系统响应的因素(2)初始条件(3)系统的结构参数——规定r(t)=1(t)——规定0初始条件——自身特性决定系统性能7/7/20268传递函数在零初始条件下(输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0

)，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。1）传递函数的定义7/7/2026系统(或环节)的输入量系统(或环节)的输出量

系统传递函数的一般形式——微分形式7/7/2026初始条件为零时微分方程两边取拉氏变换，得系统的传递函数!传递函数的直接计算法7/7/20261.将一般形式的微分方程变换成了传递函数，并且有了许多表达形式；2.把研究对象的微积分运算形式变成了代数运算形式，简化了运算，降低了工作的难度；3.更大的收获是在代数形式下，处理方法更多。微分方程传递函数7/7/2026N(s)=0系统的特征方程，

特征根

特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K——系统处于静态时，输出与输入的比值。当s=0时系统的放大系数或增益特征方程7/7/2026

⑴首1标准型：⑵尾1标准型：

两种标准形式7/7/2026例23已知将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。解.首1标准型尾1标准型增益7/7/2026M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构和参数。零点和极点形式7/7/2026将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称系统的零、极点图。零点用“O”表示极点用“×”表示零、极点分布图（零、极点图）7/7/2026传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定。7/7/2026适用于线性定常系统传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律无法描述系统内部中间变量的变化情况只适合于单输入单输出系统的描述注意7/7/2026g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）系统输出单位脉冲函数脉冲响应函数传递函数系统动态特性单位脉冲响应7/7/2026

例24已知某系统在0初条件下的单位阶跃响应为：试求：（1）系统的传递函数；（2）系统的增益；（3）系统的特征根及相应的模态；（4）画出对应的零极点图；（5）求系统的单位脉冲响应；（6）求系统微分方程；（7）当c(0)=-1,c’(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应。

解.（1）

7/7/2026(2)

(4)

如图所示(3)

(5)

(6)

7/7/2026（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；（2）适合于描述单输入/单输出系统；（3）只能用于表示线性定常系统。例8

线性/非线性，定常/时变系统的辨析10传递函数的局限性7/7/2026比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节串联纯微分环节11典型环节的传递函数7/7/20261）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示式中——环节的放大系数，为一常数。传递函数为：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。7/7/2026实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。7/7/20262）惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示传递函数为：式中T——环节的时间常数。特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即发现，输出无振荡。

实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。!储能元件！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入7/7/2026RC惯性环节7/7/20263）积分环节:其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示传递函数为：特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。！记忆！积分输入突然除去积分停止输出维持不变7/7/2026如当输入量为常值A时，输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。！改善系统的稳态性能具有明显的滞后作用7/7/20264）微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示传递函数为：式中——环节的时间常数。特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。7/7/2026理想微分运算放大器7/7/2026不同形式储能元件能量转换振荡运动方程式：传递函数：

——环节的阻尼比K——环节的放大系数T——环节的时间常数0<<1产生振荡1两个串联的惯性环节例1：机械平移系统例2：RLC串联网络5）振荡环节7/7/2026运动方程式：传递函数：

—环节的时间常数超越函数近似处理6）延滞环节7/7/2026例25：水箱进水管的延滞7/7/2026惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别7/7/2026基本典型环节的数学模型1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的；2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数，有不同的传递函数；3）环节是相对的，一定条件下可以转化；4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。7/7/2026小结拉氏变换及定理不同