4.2　4.2.2　第1课时　指数函数的图象和性质-高一上学期数学必修一课件人教A版

4.2.2指数函数的图象和性质第1课时指数函数的图象和性质素养目标思维导图1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念(数学抽象).2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点(直观想象).课前自主学习

x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x…0.250.350.50.7111.4122.834……42.8321.4110.710.50.350.25…提示:列表描点画图:

【核心概念】y=ax的图象与性质项目a>10<a<1图象性质定义域__值域______过定点_____单调性在R上是_______在R上是_______R(0,+∞)(0,1)增函数减函数课堂合作探究探究点一

指数函数的图象【典例1】(1)已知函数f(x)=ax+5+4(a>0,且a≠1)恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+nx的图象不经过(

)A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限【思维导引】由题意利用指数函数的单调性和特殊点,求得m,n的值,可得g(x)的解析式,从而得出结论.【解析】选B.因为f(x)=ax+5+4(a>0,且a≠1)恒过定点(-5,5),所以m=-5,n=5,所以g(x)=-5+5x,则函数g(x)恒过定点(0,-4),其函数图象可以由函数y=5x的图象向下平移5个单位长度而得到,则其函数图象不经过第二象限.(2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)满足f(1)<0(其中0<a<b),则函数g(x)=ax+b-1的图象可能为(

)

【思维导引】方法一:由函数f(x)的图象求得0<a<1且b>1,再由a,b的范围确定g(x)的单调性及它与y轴的交点的大概位置即可得结果;方法二:由不等式的性质得0<a<1且b>1,逐个分析每个选项的图象确定其a,b的范围,看与已知是否一致.【解析】选C.方法一:因为f(x)=(x-a)(x-b),0<a<b,所以其图象如图所示,又因为f(1)<0,所以0<a<1且b>1,因为g(x)=ax+b-1,所以令x=0得:g(0)=b,即g(x)与y轴的交点为(0,b),又0<a<1且b>1,所以g(x)在R上单调递减,且g(x)与y轴的交点为(0,b),b>1,只有C选项满足.方法二:因为f(x)=(x-a)(x-b),f(1)<0,所以(1-a)(1-b)<0,①又因为0<a<b,所以1-a>1-b,②所以由①②得:1-a>0且1-b<0且0<a<b,所以0<a<1且b>1,因为g(x)=ax+b-1,所以令x=0得:g(0)=b,即g(x)与y轴的交点为(0,b),对于A项,由题图知,g(x)在R上单调递减,所以0<a<1,g(x)与y轴的交点为(0,b),0<b<1,这与已知0<a<1且b>1相矛盾,错误;对于B项,由题图知,g(x)在R上单调递增,所以a>1,g(x)与y轴的交点为(0,b),0<b<1,这与已知0<a<1且b>1相矛盾,错误;对于C项,由题图知,g(x)在R上单调递减,所以0<a<1,g(x)与y轴的交点为(0,b),b>1,所以0<a<1且b>1,正确;对于D项,由题图知,g(x)在R上单调递增,所以a>1,g(x)与y轴的交点为(0,b),b>1,这与已知0<a<1且b>1相矛盾,错误.【类题通法】指数函数的图象平移,一般遵循“左加右减、上加下减”的原则.提醒:(1)牢记指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过定点(0,1),图象分布在第一和第二象限.(2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数.【定向训练】(多选题)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(

)A.0<a<1

B.a>1C.b<0

D.b>0【解析】选AC.由f(x)=ax-b的图象可以观察出函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<a<1,函数f(x)=ax-b的图象是在y=ax的图象的基础上向左平移得到的,所以b<0.

【类题通法】求函数定义域、值域的方法对于y=af(x)(a>0,且a≠1)这类函数,(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围.(2)值域问题,应分以下两步求解:①由定义域求出u=f(x)的值域;②利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.

探究点三

指数函数单调性的应用【典例3】(1)(2025·宁波高一检测)已知a=30.2,b=30.3,c=20.2,则(

)A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b【解析】选A.因为y=3x为增函数,所以30.3>30.2,则b>a;因为y=x0.2为增函数,所以30.2>20.2,则a>c.综上,b>a>c.

【类题通法】比较幂大小的方法(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.【定向训练】(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则(

)A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c【解析】选D.y=1.01x在R上单调递增,0.6>0.5,故1.010.6>1.010.5,所以b>a;y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,1.01>0.6,故1.010.5>0.60.5,即a>c,所以b>a>c.课堂练习1.已知函数y=ax+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为(

)A.(1,2) B.(1,1) C.(0,1) D.(0,2)【解析】选D.对于函数y=ax+1(a>0,a≠1),令x=0,得f(0)=2,所以图象恒过定点P(0,2).√

√3.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(

)A.a>1,b<0

B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0

D.0<a<1,b<0【解析】选D.从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有0<a<1;又当x=0时,f(x)<