湖南省永州市宁远县第一中学2025届高三下学期高考数学押题试卷（一）(答案)

1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项A.(-1,4)B.(2,3)C.[2,3]2.设a∈R,且(a+i)²i为负实数，则a=3.设当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=4.已知圆M:x²+y²-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M与圆N:(x-1)²+y²=1的位置关系是A.内切B.相交C.外切D.相离6.过P点可以作双曲线x²-y²=1的两条切线，则P点坐标可以是7.已知函数y=√1-x+√x+3的最大值为M,最小值为m,则的值为A.2B.3C.√28.给定全集U,若非空集合A、B满足A∩B=φ,A全集U的一种“划分”,当集合B中有一半或一半以上的元素大于集合A中的2B二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.f(x)的周期为B.f(x)的最大值为2C.f(x)的图像关于直线对称B.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心C.若f(x)在区间(a,a²)有最大值，则a的范围为(-√2,-1)D.若方程f(x)-t=0(t为常数)有一个绝对值不大于2的根，则其所有根的绝对值都不大于2称该连分数为“有限连分数”,否则称该连分数为“无限连分数”.例如,则下列说法中正确的有3C.若α₀>0,则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在(1-x)⁵+(1-x)⁶+(1-x)⁷+(1-x)⁸的展开式中，含x³的项的系数14.一个正三棱锥的体积为√3,则它的表面积的最小值为,此时其外接四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=(1)求A的大小；(2)若△ABC的外接圆半径为3,求△ABC周长的取值范围.16.(15分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s²(同一组中数据(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,o²),其中μ近似为样本平均数x,o²近似为样本方差s².(i)利用该正态分布，求P(175.6<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(175.6,212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.若Z-N(μ,o²)则P(μ-0<Z<μ+0)=0.6827,P(μ-20<Z<μ+2517.(15分)如图，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=kPA,点0、D分别(3)当k取何值时，0在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?C18.(17分)如图，抛物线C:x²=2py,(p>0)的焦点为F(0,1),对每个正整数n,A(xₙ,yn)是抛物线C上的点，过焦点F的直线FA交抛物线于另一点Ba(Sₙ,tₙ).(1)求抛物线C的方程；(2)试证：xSn=-4(n≥1);(3)取xₙ=2”,并记C,为抛物线上分别以A与B为切点的两条切线的交点.619.(17分)函数7一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项题号12345678CBDBABCB1.题源：人教A版教材必修一第14页A组第10题改编2.题源：2008年全国2卷第4题改编3.题源：2013年全国1卷第15题改编4.题源：2016年山东卷第7题改编5.题源：2022年天津卷第14题改编6.题源：原创题7.题源：2008年重庆卷第4题改编8.题源：原创题二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号99.题源：人教A版教材必修一第230页第17题改编8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.题源：人教A版教材选择性必修三第34页习题1改编13.题源：2008年全国2卷第15题改编四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=(1)求A的大小；(2)若△ABC的外接圆半径为3,求△ABC周长的取值范围.命题说明：本题源自人教A版教材必修二第54页第17题解：(1)因为,所以,.............2分即sinA=√3cosA,所以tanA=√3,5分所以a=6sinA=3√3,b=6sinB,c=6sinC,8分所以,................................................12分16.(15分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量205215225235质量指标值(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s²(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,o²),其中μ近似为样本平均数x,o²近似为样本方差s².(i)利用该正态分布，求P(175.6<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(175.6,212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.若Z-N(μ,o²)则P(μ-0<Z<μ+0)=0.6827,P(μ-20<Z<μ+2命题说明：本题源自2014年新课标1卷第18题解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s分别为：x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+=200,...........................................................3分s²=(-30)²×0.02+(-20)²×0.09+(-10)²×0.22+0×00.08+30²×0.02=150...............................................6分...............................................................9分(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(175.6,212.2)的概率为0.8186,依题意知X～B(100,0.8186),...................................12分所以EX=100×0.8186=81.86....................................17.(15分)如图，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=kPA,点0、D分别(2)当时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(3)当k取何值时，0在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?命题说明：本题源自2005年浙江卷数学第18题解：证明：∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,以0为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz(如图).设OP=h,则P(0,0,h)4分(1)∵D为PC的中点，②即PA=2a,.,............7分.....................9分设PA与平面PBC所成的角为θ,则∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为......................10分.....................,............14分综上：k=1为所求..............................................15分18.(17分)如图，抛物线C:x²=2py,(p>0)的焦点为F(0,1),对每个正整数n,A(xₙ,y)是抛物线C上的点，过焦点F的直线FA交抛物线于另一点Ba(Sₙ,tₙ).(1)求抛物线C的方程；(2)试证：xSₙ=-4(n≥1);(3)取xₙ=2”,并记C,为抛物线上分别以A与B为切点的两条切线的交点.命题说明：本题源自2006年重庆卷文科数学第22题解：(1)依题意有所以p=2,所以抛物线C的方程为x²=4y。........3分(2)对任意固定的n≥1,因为焦点F(0,1),所以可设直线AB。的方程为y-1=kx,4分将它与抛物线方程x²=4y联立得：(3)对任意固定的n≥1,利用导数知识易得抛物线x²=4y在A处……③...........................12分....................现在x=2”,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：..............................................................16分又因为n≥1时，0<2⁻n+¹≤1,所以2”≤2”-2⁻19.(17分)函数解：(1)当a=0时，f(x)=1n(x+1)所,f'(0)=1.......2分(2)f(x)的定义域为(-1,+0),若x∈(0,+○),则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数.(ii)当a=2时，f(x)≥0,f(x)=0成立当且仅当x=0,f(x)在(-1,+∞)上是增函若x∈(a²-2a