陕西省延安市2025届高三下学期5月押题数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页陕西省延安市2025届高三下学期5月押题数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|(x−1)2<4，B=x|1A.x|1<x<3 B.x|−1<x2.已知命题p:∀x∈R,(x+1)2>0；命题q:∃xA.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题

C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题3.已知向量a=(1,1)，b=(x,−1)，若a⊥A.(8,−2) B.(6,−2) C.4.在二项式(3+x)7的展开式中系数为有理数的项的个数是(A.4 B.5 C.6 D.75.已知cos(α+β)=210，cos(α−β)=−A.43 B.32 C.−36.已知点P2,y0在曲线C:y2=2px(p>0)上，|PF|=3A.2 B.5 C.27.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=7，2sinA=3sinC，B=π3，A.2 B.172 C.58.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，当0<x≤1时，f(x)=2x+4A.−2−2 B.2+2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某厂生产的零件尺寸X服从正态分布N5,σ2，且满足P(X<4.8)=0.1，零件的尺寸与5的误差不超过0.2即合格，若从这批产品中随机抽取3件，则A.P(X<5.2)=0.6 B.P(4.8<X<5)=0.4

C.抽出的3件都合格的概率为0.512 D.10.已知函数f(x)=sin2x−sinx，则A.f(x)的最小正周期是π

B.f(x)在0,2π上有3个零点

C.f(x)在区间π,3π2上单调递增

D.f(x)在区间11.在平面直角坐标系xOy中，定义原点的“相伴点”是原点，当P(x,y)不是原点时，P的“相伴点”为P′yx2+y2,xxA.若A的坐标为(3,4)，则A的“相伴点”A′的坐标为45,35

B.若不在直线y=x上的点A的“相伴点”是点A′，则直线OA′与直线OA关于直线y=x对称

C.若曲线C是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”C′也是圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若z−1z=i，则|z|=

13.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F214.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，侧棱与底面所成的角为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分100分)，若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：男教师女教师总计优秀201535非优秀10515总计302050(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？(2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：χ2=α0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82816.(本小题15分)已知an的首项为整数，其奇数项依次成公差为2的等差数列，偶数项依次成公差为3的等差数列．记Sn为数列an的前n项和，bn是等比数列，b1=a1，b2=(1)求bn(2)求满足Sn+Tn17.(本小题15分)如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，E是PB的中点，F是PC的中点，EF⊥AC.(1)求证：平面AEF⊥平面PAC；(2)若AC=2，AB=5，且二面角A−PB−C的正弦值为2618.(本小题17分)已知函数f(x)=(1)证明：x−1≥ln(2)证明：f(x)在其定义域内为减函数；(3)若在f(x)的定义域内，f(x)≤1ax恒成立，求实数a19.(本小题17分)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>(1)求椭圆Γ的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆Γ于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆Γ于另两点D，E，若k1k2答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A=x|所以A∪B=x|−1故选：D.2.【答案】B

【解析】解：由∀x∈R,(x+1)2≥0又由当x=1时，x3=x2，所以命题q:∃x故选：B.3.【答案】A

【解析】解：由a=(1,1)，b=(x,−因为a⊥2a−3b，所以a则b=7故选：A.4.【答案】A

【解析】解：二项式(3+x)7的展开式的通项公式为Tr+1=C7r易知当7−r=0或2或4或6时，即r=7或5或3或1时，可得系数为有理数项，所以系数为有理数的项的个数是4，故选：A.5.【答案】B

【解析】解：cos(α+β)=cos(α−β)=两式相加可得：cos两式相减可得：sinα所以tanα故选：B.6.【答案】C

【解析】解：因为Fp2,0，所以F为抛物线的焦点，且|PF|=3，则|PF|=2+则抛物线方程为y2=4x.

点P2,y故选：C.7.【答案】D

【解析】解：利用正弦定理结合条件2sinA=3sinC可知：由余弦定理b2=a2+c2在△ABC中由余弦定理可知：cosC=在△BCD中由余弦定理可知：cosC=整理得：BD2=19故选：D.8.【答案】B

【解析】解：因f(x)是R上的奇函数，则f(−x)=−又由f(1+x)=f(1−x)可得f(−x)=f(x+2)，则f(x+2)=−故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即4为函数f(x)因当0<x≤1时，f(x)=2x+又f(32)=f(12f(3)=f(−1)=−f(1)=−6，f(7则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6+0−6+0=0，f(1则i=1故选：B.9.【答案】BCD

【解析】解：由生产的零件尺寸X服从正态分布N5,σ2对于A中，因为P(X<4.8)=0.1，可得则P(X<5.2)=1−P(X>对于B中，由正态分布的对称性，可得P(4.8<X<对于C中，由正态分布的对称性，可得P(4.8<所以抽出的3件都合格的概率为P1=C对于D中，抽出的3件中只有1件合格的概率为P1=C3故选：BCD.10.【答案】BD

【解析】解：对于A，因为fx+π=sin对于B，因为f(x)=sin令f(x)=0，解得sinx=0或当x∈0,2π时，由sinx=0解得x=π；由cosx=12所以f(x)在0,2π上共有3个零点，故B正确；对于C，f′当x∈π,3π2时，令t=所以当t∈(−1,0)时，函数g(t)单调递减，且g(−1)=4+1−2=3>0，所以存在t0∈(−1,0)，使得g(t)=0，即f′所以f(x)在区间π,3π2上不单调，故对于D，因为f′当x∈0,π时，令t=cosx,t∈(−1,1)所以当t∈−1,18时，函数g(t)单调递减，当t∈1且g(−1)=3>0，g(1)=4−1−2=1>所以g(−1)⋅g(18)所以g(t)在(−1,1)上有两个变号零点，即f′(x)在即f(x)在区间0,π上既有极大值点，也有极小值点，故D正确.故选：BD11.【答案】ABC

【解析】解：A.若点A的坐标是(3,4)，则A的“相伴点”A′的坐标为432+B.若点A的坐标为(a,b)不在直线y=x上，那么点A的“相伴点”A′ba2+b2,aa2+b2，

若同理可得b=0,a≠0时，直线OA′与直线OA也关于直线当a≠0,b≠0时，直线OA的斜率是ba，直线OA′的斜率为ab，

所以点(b,a)在直线OA′上，所以直线OAC.若曲线C是以原点为圆心的圆，设为x2+y2=r2(r>0)，

设点所以“相伴曲线”C′是以原点为圆心，1为半径的圆，故CD.设直线的方程为y=x，点A(a,a)为直线上任一点，当点A(a,a)为坐标原点时，则A′当a>0时，a当a<0时，a所以直线y=x的“相伴曲线”C′由三个点组成，故D错误故选：ABC.12.【答案】2【解析】解：因为z−1z则z−1=zi，所以z=则|z|=故答案为：13.【答案】43【解析】解：因为双曲线C:x2a2−y2b由双曲线的定义，可得2a=|AF1|−|A又因为cos∠由余弦定理得|F可得4c2=所以双曲线C的离心率e=故答案为：414.【答案】143【解析】解：由条件可知，上下底面对角线长为2和4，因为侧棱与底面所成角为45∘所以高为4−22=1故答案为：1415.【答案】解：(1)解：零假设为H0：这次成绩是否优秀与性别无关，

由2×2可得χ2因为0.397<2.706，

故依据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0成立，(2)解：由题意得，随机变量X的可能取值为0,1,2，则P(X=0)=C102C所以随机变量X的分布列为：X

012P

371021221所以期望为E(X)=0×

【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】解：(1)因为S3=6，故a1+a而T3=7，故b1而2a1+a2故q=2或q=−54，当q故q=2，此时a1=1(2)由(1)得b2=2，所以an={1+2×(k−1),n=2k−12+3(k−1),n=2k,k∈N∗当n为偶数时，Sn令2n因为28−1+5×当n为奇数时，Sn令2n因为29−1+5×又因为f(n)=2n−1+故n的最小值为10.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】解：(1)因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC，而PF=FC,PE=EB，故EF//BC，故而EF⊥AC,AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC，故EF⊥平面PAC，而EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面PAC.(2)由(1)EF⊥平面PAC，而EF//BC，故BC⊥平面因为EF⊥AC，故BC⊥AC，故BC=1，故可以C为原点，以CA,CB所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系，故A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0)，设P(2,0,p)(p>则PB=(−2,1,−p),设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，则m所以−2x+y−pz=0pz=0，取设平面PCB的法向量为n=(a,b,c)，则n所以b=0−2a+b−pc=0，取因为二面角A−PB−C的正弦值为2故1−(265)因为PA⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，故PA⊥AB，同理BC⊥CP，故PB的中点到P,B,A,C的距离相等，故PB的中点为三棱锥P−ABC外接球的球心，而PB=故三棱锥P−ABC外接球的表面积为4π×

【解析】详细解答和解析过程见【答案】18.【答案】解：(1)令ℎ(x)=x−1−lnx(x>当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，当则ℎ(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+所以ℎ(x)=x−1−lnx≥ℎ(1)=1−1=0(2)因为f(x)=x−lnxex−1令ℎ(x)=lnx−x−1x+1则ℎ(x)=lnx−x−1x+1≤x−1−x−所以f′(x)<0(3)易知x∈(0,+∞)，由f(x)≤1ax，得到令G(x)=x2−x由(1)知lnx−x+1≤0，当且仅当x=1所以当x∈(0,1)时，G′(x)>0，当即G(x)=x2−xlnx所以G(x)≤G(1)=1−ln1e1−1所以实数a的取值范围为(0,1].

【解析】详细解答和解析过程见【答