量子计算与金融第3章 量子计算的核心内容

量子计算与金融QuantumComputingand

Finance第三章

量子计算的核心内容CUEB2026年7月4

日1

/

158Contents1从有限维度到无穷维度2狄拉克符号与量子计算3量子系统基础4多量子比特系统5Deutsch算法6Deutsch-Jozsa算法CUEB2026年7月4

日2

/

158目录—

第一部分21

从有限维度到无穷维度有限维度与线性代数函数空间的内积和范数希尔伯特空间内积空间度量空间与完备性有限维度的希尔伯特空间希尔伯特空间的正交概念狄拉克符号与量子计算狄拉克符号与线性代数基础知识对偶空间与左矢Gram-Schmidt正交分解算子相关性质厄米算子与酉算子的关系张量运算狄拉克符号体系与经典概率的联系常用量子门和量子态CUEB2026年7月4

日3

/

158目录—

第二部分3

量子系统基础从单量子比特到多量子比特Bloch球模型Bloch球与常用单量子比特门相位门S与T

门Hadamard门分解与纠缠密度算子CNOT门及其关键应用初识CNOT门CNOT门与C-U门翻转CNOT门与SWAP门广义CNOT门CNOT门与纠缠态CNOT与不可克隆定理再论泡利算子薛定谔方程与Pauli算子o

·

nˆ

的讨论量子测量4投影测量一般测量

POVM三种测量的讨论多量子比特系统多量子比特情形的H门量子并行与H门受控操作Cn(U

)符号不同写法的讨论CUEB2026年7月4

日4

/

158目录—

第三部分5

Deutsch算法Deutsch算法的设定背景初识谕示Ufy

∈{0,

1}和x

∈{0,

1}的情形任意输入的情况Deutsch算法的量子电路图分析再论|ψ2⟩和|ψ3⟩6

Deutsch-Jozsa算法知识的扩展：隐子群问题CUEB2026年7月4

日5

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158从有限维度到无穷维度从有限维度到无穷维度CUEB2026年7月4

日6

/

158从有限维度到无穷维度希尔伯特空间：从量子力学到量子计算希尔伯特空间的双重版本无穷维版本（函数空间）：量子力学的核心舞台研究对象：波函数

|ψ⟩

或

ψ(x,

t)属于泛函分析范畴有限维版本：量子计算的核心基础研究对象：量子比特、量子寄存器属于线性代数范畴本节目标建立从无穷维函数空间到有限维向量空间的过渡桥梁理解为何一维函数可以被视为无穷维向量引入狄拉克符号体系，为量子计算奠定数学语言基础CUEB2026年7月4

日7

/

158从有限维度到无穷维度

有限维度与线性代数有限维向量空间回顾：距离与基欧几里得距离√︂21222n|x|

= x+x+···+x

,x∈

Rn×1标准正交基的展开n∑︂i

ix

= x

e

, ei⊥ej(∀i̸=

j)i=1标准基向量

ei

的四个基本性质仅第

i

位元素

eii

=

1当

j

̸=

i

时，eji

=

0∑︁nj=1eji

=

1（所有元素之和为1）∏︁nj=1eji

=

0（所有元素之积为0）这些性质在维度扩展至无穷时仍然成立。CUEB2026年7月4

日8

/

158从有限维度到无穷维度

有限维度与线性代数从函数采样到有限维向量核心思想：将函数

f

(z)

在离散点上的取值组装为向量示例：f

(z)

=

z2

+

2T取

z

=

1,

2,

3：x

=

[3,

6,

11]

=∑︁3i=1f

(i)eiT：x=[3,6,11,18]=∑︁4i=1f

(i)ei增加

z

=

4关键对应关系自变量取值

z

=

i

←→

基向量

ei

的非零位置函数值

f

(i)

←→

向量在第

i

位的分量推广：随着采样点增多，有限维向量逐步逼近函数的完整信息。这一构造是连接函数与向量的核心直觉。CUEB2026年7月4

日9

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158从有限维度到无穷维度

有限维度与线性代数迈向无穷维：正整数域与整数域情形一：z

∈

Z+

（正整数）∞∑︂i=1ix

= f

(i)e,ei∈

R∞×1∞∑︂i=−∞f

(i)ei基底四性质依然成立（求和/乘积上限改为

∞）。情形二：z

∈

Z（全体整数）Tx

=

[·

·

·

,

x−2,

x−1,

x0,

x1,

x2,

·

·

·

]

=整数域下基底性质的改写eii=1,i∈

Zeji=0,j̸=i,i,j∈

Z∑︁∞j=−∞jie=

1∏︁∞j=−∞eji=

0双向无穷维向量可完整编码定义在

Z

上的函数。CUEB2026年7月4

日10

/

158从有限维度到无穷维度

有限维度与线性代数连续极限：实轴采样与无穷维向量表示一般化采样方案原点

z0

=

0，间距

∆z

，两侧各取

n

个点采样点：z0

+

i∆z

,

i

=

−n,

.

.

.

,

nn∑︂i=−n0 z ix

= f(z

+i∆)e∈R(2n+1)×1连续极限∆z

→

0

且

n

→

∞

时，x

收集

f

(z)

在

R

上的全部信息重要结论：即使

f

(z)

=

z2

+

2

是一维函数，也可视为无穷维空间中的向量（点）方法论意义线性代数中分析向量与算子的全部工具可直接迁移到函数上这是泛函分析的基本哲学：函数即向量，算子即矩阵CUEB2026年7月4

日11

/

158从有限维度到无穷维度

有限维度与线性代数狄拉克符号：区分函数与无穷维向量引入动机：避免混淆

f

作为一维函数与无穷维向量的双重身份符号约定f：一维函数（解析表达式）|f

⟩：对应的无穷维向量（态矢）分量提取：⟨i|f

⟩

≡

fi

:=

f

(z

=

i)基底的Dirac记号N

维情形：|1⟩,

|2⟩,

.

.

.

,

|N

⟩无穷维情形：|n⟩,

n

=

0,

±1,

±2,

.

.

.|n⟩

表示第

n

位为1、其余为0的基向量Kronecker

Delta与正交归一性n,m⟨n|m⟩

=

δ

={︄1,n=

m0,n̸=

m这是标准正交基的核心代数表达。CUEB2026年7月4

日12

/

158从有限维度到无穷维度

有限维度与线性代数完备性关系与量子态表示完备性条件

(Completeness

Relation)∑︂|m⟩⟨m|=

Im其中

I

为恒等算子。这是正交基”足够多”以张成整个空间的数学表述。分量展开的严格推导n,m⟨n|ψ⟩=∑︂⟨n|m⟩⟨m|ψ⟩=

∑︂

δ ⟨m|ψ⟩=

⟨n|ψ⟩m m（利用了

⟨n|m⟩=

δn,m

的筛选性质）量子计算中的习惯记号用

ψ

或

φ

代替

f

表示函数/态态矢：|ψ⟩

=

[·

·

·

,

ψ1,

ψ2,

ψ3,

·

·

·

]T分量：ψn

≡

⟨n|ψ⟩重要性：这些线性代数基础知识贯穿整个量子计算理论，必须牢固掌握。CUEB2026年7月4

日13

/

158从有限维度到无穷维度

函数空间的内积和范数函数空间中的内积与范数核心观点一维函数本质上是无穷维函数空间中的一个“点”函数空间作为希尔伯特空间，必须具备内积结构函数内积的定义∫︁∞−∞∗全实轴：⟨ψ|φ⟩

:= ψ(x)φ(x)

dx∫︁L0∗有限区间：⟨f

|g⟩

:= f(x)g(x)

dxLp

范数∥f

∥Lp≡(︃∫︂∞−∞p|f(x)|

dx)︃1/pL2

范数（最常用）L2√︄∫︂∞2√︁∥f

∥ ≡ |f(x)|

dx

= ⟨f

|f

⟩−∞L2

范数由内积诱导，是希尔伯特空间的自然度量。CUEB2026年7月4

日14

/

158从有限维度到无穷维度

希尔伯特空间内积空间（准希尔伯特空间）定义H

是域

K

上的向量空间（量子理论中

K

=

C）内积是映射

H

×

H→

K，(u,

v)

↦→

⟨u|v⟩内积的三条公理共轭对称性：⟨u|v⟩

=

⟨v|u⟩∗正定性：⟨x|x⟩

≥

0，且

⟨x|x⟩=

0

⇐⇒

x

=

0线性性（第二变量）：⟨u|c1v

+

c2w⟩

=

c1⟨u|v⟩

+

c2⟨u|w⟩为何称为“准”希尔伯特空间？所有具有内积的线性空间都是内积空间真正的希尔伯特空间还需满足：①度量空间；②

完备性CUEB2026年7月4

日15

/

158从有限维度到无穷维度

希尔伯特空间度量空间与完备性度量空间

(X,

ρ)ρ(u,

v)

∈

R

表示两点间距离，须满足：非负性：ρ(u,

v)

≥

0，ρ(u,

v)

=0

⇐⇒

u

=

v对称性：ρ(u,

v)

=

ρ(v,

u)三角不等式：ρ(u,

w)

≤

ρ(u,

v)

+

ρ(v,

w)完备性（Completeness）若

Cauchy

序列

{un}

满足

limn,m→∞

∥un

−

um∥

=

0则必存在

u

∈

H

使得

limn→∞

∥un

−

u∥=

0即：空间中没有“缺失的极限点”希尔伯特空间

=

完备的内积空间CUEB2026年7月4

日16

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158从有限维度到无穷维度

希尔伯特空间有限维希尔伯特空间的定义定义有限维希尔伯特空间

H

是完备的复向量空间H∼=

Cn×1，配备内积

H

×

H→

C内积性质（与无穷维一致）⟨u|v⟩=

⟨v|u⟩∗⟨x|x⟩≥0，⟨x|x⟩=0⇐⇒x=

0⟨u|c1v

+

c2w⟩

=

c1⟨u|v⟩

+

c2⟨u|w⟩注记有限维内积空间自动完备（无需额外验证）量子计算主要使用有限维版本量子力学主要使用无穷维版本（如

L2(Rn)）CUEB2026年7月4

日17

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158从有限维度到无穷维度

希尔伯特空间正交补空间与正交基正交补

(Orthogonal

Complement)对子空间

S

⊂

H，定义

S⊥

:=

{|v⟩

∈

H:

⟨u|v⟩

=

0,

∀|u⟩

∈

S}S

和

S⊥

均为希尔伯特空间H=

S

⊕

S⊥（直和分解）可分离希尔伯特空间中正交基的等价刻画设

(en)n∈N

为正交系统，以下五条等价：(en)

是正交基底x⊥en∀n⇒x=

0x

=

∑︁k⟨x|ek⟩ek（Fourier展开）kk k⟨x|y⟩

= ⟨x|e⟩⟨e

|y⟩（Parseval关系）∑︁∥x∥2

= k

|⟨x|ek⟩|2（Parseval恒等式）CUEB2026年7月4

日18

/

158从有限维度到无穷维度

希尔伯特空间可分离希尔伯特空间：典型例子与物理意义可分离性存在可数稠密子集

⇔

存在可数正交基底架起无穷维空间与可数数学结构的桥梁两个典型例子2∑︁n n2平方可和序列空间

ℓ

=

{(x

)

: |x|<

∞}标准正交基：en（第n项为1，其余为0）平方可积函数空间

L2[a,

b]正交基：三角函数系√,{︂ √︂

1

2

b−a b−acos ,√︂nπx

2

b−a b−asinnπx

b−a}︂∞n=1量子物理中的意义态矢可按可数正交基展开（位置/动量/能量本征态）对应物理上可观测的离散谱或可列特征值算子谱理论与概率描述通过级数展开简化处理CUEB2026年7月4

日19

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158狄拉克符号与量子计算狄拉克符号与量子计算CUEB2026年7月4

日20

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数狄拉克符号的向量运算与范数右矢

(Ket)

的线性运算对于

|x⟩,

|y⟩

∈

Cn

及标量

a

∈

C：|x⟩+

|y⟩=⎡⎢⎣x+

y1 1..xn+

yn⎤⎥⎦, a|x⟩

=..axn⎡ax1

⎤⎢ ⎥⎣ ⎦范数与算子作用√︁范数定义：∥|x⟩∥

= ⟨x|x⟩

=∑︁nj=1j|x

|2(︂ )︂1/2算子与态矢关系：|φ⟩

=

A|ψ⟩，其中

A,

B

为算子，|ψ⟩,

|φ⟩

为态矢CUEB2026年7月4

日21

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数基矢展开与完备性条件基矢展开设

{|j⟩}nj=1为一组归一化正交基，任意态矢可展开为：j=1|ψ⟩

=

|j⟩⟨n n∑︂ ∑︂j=1jj|ψ⟩= ψ

|j⟩分量（标量）：ψj

:=

⟨j|ψ⟩∈

C投影（矢量）：|j⟩ψj

是

|ψ⟩

在基

|j⟩

方向上的投影完备性关系

(Completeness

Relation)n∑︂|j⟩⟨j|=

Ij=1这是基矢能够张成整个空间的充要条件，也是插入单位算子进行基底变换的理论基础。CUEB2026年7月4

日22

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数内积的分量形式与矩阵表示内积计算n∑︂j=1⟨φ|ψ⟩

=

⟨φ|j⟩⟨n∑︂j=1∗jj|ψ⟩= φ

ψj列向量与行向量的对应右矢

→

列向量ψ2..⎡ψ1

⎤⎢ ⎥|ψ⟩

→

⎢

⎥⎣ ⎦左矢

→

行向量⟨ψ|→

[︁ψ1∗ψ2∗··

·ψn∗

]︁ψn对偶空间视角左矢

⟨ψ|

本质上是右矢

|ψ⟩

的对偶向量内积

⟨φ|ψ⟩

即为行向量与列向量的矩阵乘法CUEB2026年7月4

日23

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数对偶空间与左矢的严格定义对偶空间

H∗原空间：希尔伯特空间

H，|ψ⟩

∈

H对偶空间：H∗

=

{⟨χ|

:

H→

C}，即所有连续线性泛函的集合配对关系：⟨χ|ψ⟩

∈

C双重对偶：(H∗)∗

=

H，故

(⟨χ|)†

=

|χ⟩核心性质共轭对称：⟨x|y⟩

=

⟨y|x⟩∗伴随转换：|x⟩†

=

[x∗1

,

x∗2

,

.

.

.

,

x∗n]

=

⟨x|等价表达：⟨x|

=

|x⟩†

=

(|x∗⟩)T

=

(|xT⟩)∗物理意义：左矢代表测量/观测操作，右矢代表量子态本身。右矢

|ϕ⟩是“系统处于什么态”的准备端，左矢

⟨χ|

是同一个态在对偶空间里的投影/测量端，内积⟨χ|ϕ⟩才是物理可观测的概率幅。CUEB2026年7月4

日24

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数Gram-Schmidt正交化过程问题设定给定

k

个线性无关态矢

{|iki=1v

⟩} ⊂

Cn（k

<

n），构造归一化正交基iki=1{|e

⟩}

。递推公式1|e⟩

=1

|v

⟩∥|v1⟩∥j|e⟩

=j|v⟩

−∑︁j−1i=1i

j

i⟨e|v⟩|e⟩⃦j⃦|v⟩

−j−1i=1i

j

i⟨e|v⟩|e⟩⃦⃦, j

=

2,

.

.

.

,

k投影算子表示Pi=

|ei⟩⟨ei|∑︁⇒ |ej⟩

=(I

−∑︁j−1i=1i jP)|v

⟩∥(I

−∑︁j−1i=1i jP)|v

⟩∥CUEB2026年7月4

日25

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数Gram-Schmidt正交化的几何本质核心思想从当前向量中减去其在已有正交基方向上的全部分量剩余部分自动与所有已构造基矢正交最后归一化得到新的单位正交基矢关键要点i输入：线性无关集

{|v

⟩}ki=1iki=1输出：归一化正交基

{|e

⟩} ，满足

⟨ei|ej

⟩

=

δij张成空间不变：span{|vi⟩}

=

span{|ei⟩}量子计算中的应用构造量子子空间的正交基量子态制备与子空间编码数值算法中的基底优化CUEB2026年7月4

日26

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数线性算子与指数运算线性算子定义在有限维量子计算中，算子即矩阵

A

:

Cn

→

Cn线性性：A(a1|ψ⟩

+

a2|φ⟩)

=

a1A|ψ⟩

+

a2A|φ⟩算子的指数函数exp(A)

=∞∑︂k=0Ak2k!

2!A=I+

A

+ +

···基于特征值分解的计算若

A

=

P

DP

−1（D为特征值对角阵），则：exp(A)

=

P

exp(D)P

−1

=

P

diag(eλ1

,

.

.

.

,

eλn

)

P

−1优点：对角阵指数可直接逐元素计算局限：并非所有算子都可对角化（此时需用Jordan标准型）CUEB2026年7月4

日27

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数投影算子

(Projectors)定义：给定正交归一基

{|n⟩}，投影算子

Pn

=

|n⟩⟨n|基本性质n幂等性：P

2

=

Pn正交性：PiPj

=

0(i

̸=

j)∑︁nn完备性：

P=

I∑︁分量提取：Pn|ψ⟩

=

cn|n⟩，其中

|ψ⟩

= n

cn|n⟩厄米性：Pn†

=

Pn；仅当

Pn

=

I

时可逆物理意义Pn

表示对量子态在基矢

|n⟩

方向上的测量/投影操作是谱分解和量子测量的数学基础CUEB2026年7月4

日28

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数酉算子

(Unitary

Operator)定义：U

†U

=

U

U

†

=

I，其中

U

†

为共轭转置矩阵元素条件∗u

u =δ

,∑︂ ∑︂ik

kj

ij

ki∗u

u =

δkj

ijk k核心几何性质：保内积⟨U

ψ|U

φ⟩

=

⟨ψ|U

†U

|φ⟩

=

⟨ψ|φ⟩保持态矢长度（概率守恒）保持态矢间夹角（相对相位关系不变）类比欧氏空间中的旋转/反射量子计算意义描述量子态的可逆演化所有量子门必须是酉算子（保证概率归一化）CUEB2026年7月4

日29

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数厄米算子与伴随算子厄米算子

(Hermitian

Operator)定义：H†

=

H，即

hij

=

h∗ji又称自共轭算子关键性质：所有特征值均为实数物理角色：表示可观测量（能量、动量等）伴随算子关系（Dirac符号）⟨Hψ|φ⟩=

⟨ψ|H†|φ⟩|ϕ⟩=H|ψ⟩⇔⟨ϕ|=

⟨ψ|H†注记厄米算子是伴随算子的特例（A∗

=

A）偏厄米算子满足

A

=

−A†，其特征值为纯虚数CUEB2026年7月4

日30

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数正规算子与谱分解正规算子

(Normal

Operator)定义：A†A

=

AA†性质①：可酉相似对角化

U

†AU

=

Λ性质②：不同特征值对应的特征向量相互正交包含：厄米、偏厄米、酉算子、实对称/反对称算子谱分解

(Spectral

Decomposition)对正规算子

A，设特征值

{λk}，特征向量

{|λk⟩}

构成完备基：∑︂ ∑︂k kA

= λ|λ⟩⟨λ

|

= λ

Pk

k k k

k函数运算kn n∑︂ ∑︂kA

= λ

P

, f

(A)

= f

(λ)Pk

k

k

k将算子函数转化为特征值上的标量函数。CUEB2026年7月4

日31

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数常用算子性质（一）：范数与对易关系Lp,q

范数与

Frobenius

范数p,q[︂∑︁

∑︁j i∥A∥ = ( |aijq/p]︂1/q|p)

F∗Frobenius范数

(p=

q

=

2)：∥A∥

= tr(AA)

=√︁ √︁∑︁2i

io

(A)酉不变性：∥U

A∥F

=

∥AU

∥F

=

∥A∥F对易与反对易关系对易子：[A,

B]

=

AB

−

BA；[A,

B]

=

0

称相容反对易子：{A,

B}

=

AB

+

BA性质：[A,

B]

=

−[B,

A]，[A,

BC]

=

B[A,

C]

+

[A,

B]C，[A,

B]†

=

[B†,

A†]简并

(Degeneracy)多个线性无关特征向量对应同一特征值需额外量子数标记以完整描述态CUEB2026年7月4

日32

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数常用算子性质（二）：正算子与迹正算子

(Positive

Operator)定义：∀|ψ⟩，⟨ψ|A|ψ⟩≥0（非负实数）正算子必为厄米算子（反之不成立）对任意算子

A，A†A

半正定迹

(Trace)

的性质∑︁j定义：tr(A)

=

ajj线性性：tr(A

+

B)

=

tr(A)

+

tr(B)，tr(cA)

=

c

tr(A)循环置换：tr(AB)

=

tr(BA)i表象无关：tr(A)

=

⟨i|A∑︁ ∑︁x|i⟩

=

⟨x|A|x⟩酉不变：tr(U

†AU

)

=

tr(A)期望值公式：tr(A|ψ⟩⟨ψ|)

=

⟨ψ|A|ψ⟩CUEB2026年7月4

日33

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数指数关系：从哈密顿量到时间演化指数映射构造酉算子给定厄米算子

H

和实数

t，U

=

e−iHt

是酉算子−iHt幂级数定义：e

=∑︁n∞ (−iHt)n=0 n!Cayley变换（替代定义）：U

=

(I

+

iH)(I

−

iH)−1物理意义：薛定谔方程的解d|ψ(t)⟩dtˆiℏ =

H|ψ(t)⟩⇒ |ψ(t)⟩=

eˆ−iH(t−t0)/ℏ0|ψ(t

)⟩Hˆ：哈密顿量（能量算子，厄米）U

(t)=

e−iHˆ

t/ℏ：时间演化算子（酉）酉性保证演化过程中态矢归一化（概率守恒）CUEB2026年7月4

日34

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数特征值与对角化关系特征值性质对比厄米算子

Hˆ特征值

λ

∈

R证明：⟨ψ|Hˆ

|ψ⟩

=

λ⟨ψ|ψ⟩左边为实数

⇒

λ

为实数酉算子

U特征值

|µ|

=

1证明：⟨ϕ|U

†U

|ϕ⟩

=

|µ|2⟨ϕ|ϕ⟩U†U=I⇒|µ|2=

1酉对角化厄米算子：U

†Hˆ

U

=

diag(λ1,

.

.

.

,

λn)，λi

∈

R酉算子：W

†V

W

=

diag(µ1,

.

.

.

,

µn)，|µi|

=

1两者均为正规算子，均可酉对角化该性质是量子算法设计与态分析的核心工具CUEB2026年7月4

日35

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数张量乘积的定义态矢的张量积|a⟩⊗

|b⟩

=1a

|b⟩a2|b⟩[︃ ]︃, |a⟩,|b⟩∈

C2双线性性质(α|u⟩

+

β|v⟩)

⊗

(θ|a⟩

+

ω|b⟩)=

αθ|u⟩

⊗

|a⟩

+

βθ|v⟩

⊗

|a⟩+

αω|u⟩

⊗

|b⟩

+

βω|v⟩

⊗

|b⟩算子的张量积对A

∈Cm×n，B∈Cp×q：A⊗

B

=⎡⎢⎣111na

B ·

·

· a

B...

.

...am1B ··

·amnB⎤⎥⎦∈

Cmp×nqCUEB2026年7月4

日36

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数张量乘积的基本代数性质结合律：(A

⊗

B)

⊗

C

=

A

⊗

(B

⊗

C)混合乘积：(A

⊗

B)(C

⊗

D)

=

AC

⊗

BD迹：tr(A

⊗

B)

=

tr(A)tr(B)行列式：det(A

⊗

B)

=det(B

⊗

A)伴随：(A

⊗

B)†

=

A†

⊗

B†逆：(A

⊗

B)−1=

A−1

⊗

B−1（A,

B可逆时）注记以上性质在实数域和复数域均成立量子计算中主要使用复数域上的张量积性质②（混合乘积）是量子线路中最频繁使用的恒等式CUEB2026年7月4

日37

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数量子计算中的张量积核心性质（上）性质(1)：算子-态矢作用分离（最重要）(A

⊗

B)(|x⟩

⊗

|y⟩)

=

(A|x⟩)

⊗

(B|y⟩)性质(2)：线性叠加推广(︄ )︄∑︂ ∑︂i

i

i

i(A

⊗

B) a|x⟩

⊗|y

⟩ = a

(Ai i|x⟩)⊗

(B|y

⟩)i i性质(3)：算子线性组合的作用∑︂(︄ )︄∑︂i ii

i

i

i

i

icA

⊗

B |x⟩

⊗

|y⟩

= c(A|x⟩)⊗

(B

|y⟩)∑︁ii

i

i将

C

= c

A

⊗

B

视为整体算子作用于复合态。性质(4)：基展开的张量积|u⟩⊗

|v⟩

=∑︂i(︄ )︄αi|ai⟩

⊗⎛⎝∑︂j⎞⎠∑︂i,jβ

|b

⟩ = αβ|a

⟩|j

j

i

j

i

jb

⟩CUEB2026年7月4

日38

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数量子计算中的张量积核心性质（下）性质(5)-(6)：复合空间算子结构A

⊗

B

是

HM

⊗

HN

上的线性算子∑︁ij任意复合空间算子

Q

= γA

⊗

Bij

i

j性质(7)-(8)：复合态内积∗ij

ij∑︂ ∑︂ij ij⟨Ψ|Φ⟩

=

c

d

,

|Ψ⟩

=

cij∑︂ij|ij⟩,

|Φ⟩

=

dij|ij⟩∑︁∗ij

i一般形式：⟨ψ|φ⟩

= ab⟨x|x˜

⟩⟨j i

j i

jy|y˜

⟩性质(9)：张量的秩秩一张量：|Ψ⟩

=

|ψ1⟩

⊗

·

·

·

⊗

|ψn⟩（可分离态）秩二张量：两个秩一张量之和且不可合并例：|00⟩

+

|11⟩

是秩二（纠缠态）；|00⟩

+

|10⟩

=

(|0⟩

+

|1⟩)

⊗

|0⟩

是秩一张量秩

̸=

矩阵秩，是量子纠缠的数学刻画CUEB2026年7月4

日39

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数从经典期望到量子期望的桥梁经典随机变量期望nE(Z)

= p

zj

j,∑︂ ∑︂j=1

jjp=

1关键转换：概率振幅cj:=√pj

eiθj2 ∗j⇒ |cj|=ccj=

pj构造量子态矢n∑︂j=1j|ψ⟩

= c|j⟩

=⎡⎢⎣√1p

eiθ1.√.pneiθn⎤⎥⎦∑︂j, ⟨ψ|ψ⟩

=

|cj2|=

1构造可观测量算子n∑︂jQ

= z

|j⟩⟨1 nj|

=

diag(z

,

.

.

.

,

z

), Q†=

Qj=1Q的特征值

zj

与经典随机变量取值一一对应。CUEB2026年7月4

日40

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数量子期望值公式的严格推导目标：证明

⟨ψ|Q|ψ⟩

=

E(Z)推导过程(︄∑︂k∗k)︄⟨ψ|Q|ψ⟩

= c⟨k|

Q⎛⎝∑︂jjc

|j⟩⎞⎠∑︂k,j∗k

j= cc

⟨k|Q|j⟩∑︂k,j∗kjj

kj= cc

z

δ (因

Q|j⟩

=

zj

|j⟩)∑︂∗∑︂j jj

j

j j

j= cc

z

= pz=

E(Z)闭环验证cj

=√pj

eiθj

Dirac运算∑︂ ∑︂

E(Z)

= pjzj−−−−→

⟨ψ|Q|ψ⟩−

−

−→ pjzj=

E(Z)CUEB2026年7月4

日41

/

158狄拉克符号与量子计算

狄拉克符号与线性代数经典概率与量子概率的对应总结核心对应关系经典世界量子世界厄米算子特征值

λj随机变量取值

zj概率

pj|cj|2=

|⟨j|ψ⟩|2概率分布

{(zj

,

pj

)}∑︁j量子态

|ψ⟩

= c

|j⟩期望

E(Z)

=

∑︁

pj

zj⟨ψ|Q|ψ⟩重要辨析E(Z)

=

⟨ψ|Z|ψ⟩

写法不严谨：Z

是随机变量，不是算子正确写法：E(Q)

=

⟨ψ|Q|ψ⟩，其中

Q

是对应

Z

的厄米算子可观测量必须是厄米的

⇔

特征值为实数

⇔

对应经典可测值本质区别：量子概率含相位信息

eiθj

，允许干涉效应。CUEB2026年7月4

日42

/

158狄拉克符号与量子计算

常用量子门和量子态量子门的矩阵表示与Dirac运算规则量子门的作用本质量子门即酉算子

U

，作用于态矢

|ψ⟩

为矩阵-向量乘法：11u21 u22u u ψ12 1ψ2=[︃ ]︃

[︃ ]︃ [︃u11ψ1+

u12ψ2u21ψ1+

u22ψ2]︃U|ψ⟩

=Dirac符号中的合法运算(|χ⟩⟨ψ|)·|φ⟩=|χ⟩

·⟨ψ|φ⟩(⟨ψ|)·X|φ⟩=(⟨ψ|X)·|φ⟩=

(⟨φ|X†|ψ⟩)∗若X=|ψ⟩⟨φ|

⇒X†=|φ⟩⟨ψ|这些规则是后续所有量子门推导的代数基础。CUEB2026年7月4

日43

/

158狄拉克符号与量子计算

常用量子门和量子态常用单量子比特态及其张量积四个基本单比特态1 0[︃

]︃ [︃

]︃|+⟩

=|0⟩+

|1⟩|0⟩−

|1⟩√2 , |−⟩

=

√2|0⟩=

0

, |1⟩=1

,计算基底的张量积（双比特）000⎡1⎤⎢

⎥⎣

⎦|00⟩

= ,

|01⟩

=100⎡0⎤⎢

⎥⎣

⎦010⎡0⎤⎢

⎥⎣

⎦,

|10⟩

=

,|11⟩

=001⎡0⎤⎢

⎥⎣

⎦|±⟩

态的张量积示例12|+⟩⊗

|+⟩=

(|00⟩+

|0112|+⟩⊗

|−⟩=

(|00⟩−

|01⟩+

|10⟩−

|1112|−⟩⊗

|−⟩=

(|00⟩−

|01⟩−

|10⟩+

|11⟩

+

|10⟩+

|11⟩)⟩)⟩)混合基底：|0⟩⊗

|+⟩

=|00⟩+|01⟩√2，|+⟩⊗

|1⟩

=|01⟩+|11⟩√2CUEB2026年7月4

日44

/

158狄拉克符号与量子计算

常用量子门和量子态五个基本单量子比特门定义与符号I=

σ0

=

|0⟩⟨0|

+

|1⟩⟨1|（单位门）X

=

σx

=

σ1，Y

=

σy

=

σ2，Z

=

σz

=

σ3（Pauli门）H=

|+⟩⟨0|+

|−⟩⟨1|（Hadamard门）各门对基本态的作用

门

|0⟩ |1⟩ |+⟩ |−⟩

X|1⟩|0⟩|+⟩−|−⟩Yi|1⟩−i|0⟩−i|−⟩i|+⟩Z|0⟩ −|1⟩ |−⟩ |+⟩

H |+⟩ |−⟩ |0⟩ |1⟩ 其他常用门kS

=

√Z, T=√4

Z=

P

(π/4), R(θ)=

ek−iθσ

/2θ2θ=cosI−isin

σ2

kCUEB2026年7月4

日45

/

158狄拉克符号与量子计算

常用量子门和量子态表3-1常见量子比特门所涉及信息汇总CUEB2026年7月4

日46

/

158量子系统基础量子系统基础CUEB2026年7月4

日47

/

158量子系统基础

从单量子比特到多量子比特双量子比特系统的数学结构希尔伯特空间H4=H2⊗

H2

∼=

C4×1正交归一基底：{|00⟩,

|01⟩,

|10⟩,

|11⟩}一般态矢|ψ⟩

=

c0|00⟩

+

c1|01⟩

+

c2|10⟩

+

c3|11⟩,3∑︂i=0i2|c|=

1复合系统上的算子作用（核心公式）(A

⊗

B)|x⟩

⊗

|y⟩

=

(A|x⟩)

⊗

(B|y⟩)应用举例A

⊗

B|0+1√2⟩

=

(A|0⟩

⊗

B|0A

⊗

B|00⟩+|11⟩√21√2= (A|0⟩

⊗

B|0⟩+

A|1⟩⊗

B|1⟩+

A|0⟩⊗

B|1⟩)⟩)CUEB2026年7月4

日48

/

158量子系统基础

从单量子比特到多量子比特多量子比特系统与量子寄存器m

量子比特系统2Hm=H⊗···

⊗

H2 2⏞ m⏟⏟个

⏞

∼=

C2m×1m2

−1i=0基底：{|i⟩} （十进制标记）或

{|1

2

mb

b

·

·

·

b

⟩}（二进制标记）一般态：|ψ⟩

=∑︁m2

−1i=0imc

|i⟩，需

2

个复数参数描述多系统复合运算规则(|ψA⟩

⊗

|ψB

⟩)†

=

⟨ψA|

⊗

⟨ψB

|(⟨ψA|

⊗

⟨ψB

|)(|ψC

⟩

⊗

|ψD⟩)

=

⟨ψA|ψC

⟩

⟨ψB

|ψD⟩(|ψC

⟩

⊗

|ψD⟩)(⟨ψA|

⊗

⟨ψB

|)

=

(|ψC

⟩⟨ψA|)

⊗

(|ψD⟩⟨ψB

|)量子寄存器n

比特量子计算机

|Ψ⟩

=

|ψA⟩

⊗

|ψB

⟩|ψA⟩、|ψB

⟩

为其子寄存器（纯数学抽象概念）CUEB2026年7月4

日49

/

158量子系统基础

Bloch球模型图3-1利用Bloch球模型说明单量子比特特性CUEB2026年7月4

日50

/

158量子系统基础

Bloch球模型Bloch球的参数化表示几何设定单位球面，|0⟩

在北极，|1⟩

在南极球面上点对应纯态，球内点对应混合态球坐标参数化（忽略全局相位

eiγ

）iφθ θ0≤θ≤π,0≤φ<

2π|ψ(θ,φ)⟩=cos2|0⟩

+

e sin2

|1⟩,笛卡尔坐标参数化Bloch向量

nˆ=

(nx,

ny

,

nz

)

=

(sin

θ

cos

φ,

sin

θ

sin

φ,

cos

θ)：|ψ⟩

=√︃z1

+

n

nx+

iny

2z2(1+n

)|0⟩+

√︁

|1⟩两种参数化完全等价，验证：α

=

cos

θ

，β

=

eiφ

sin

θ

。2 2CUEB2026年7月4

日51

/

158量子系统基础

Bloch球模型Bloch向量与Pauli算子的关系定义nˆ·

σ

=

nxX

+

ny

Y

+

nz

Z

=

[︃nzn−

inx ynx

+

iny

−nz]︃核心性质特征值：λ

=

±1(σ

·

a)(σ

·

b)

=

a

·

b

+

iσ

·

(a

×

b)(nˆ·σ)2=

∥nˆ∥2Ieiαnˆ·σ

=

cos

α

I

+

i

sin

α

(nˆ

·

σ)nˆ·σ

|ψ(θ,

φ)⟩=

|ψ(θ,

φ)⟩（本征态关系）⟨ψ|σ|ψ⟩

=

nˆ（期望值=Bloch向量）密度算子表示ρ

=2I

+

nˆ

·

σ

1=2[︃sinθ

e−iφ1

+

cos

θsinθ

eiφ1

−cosθ]︃且

nk

=

tr(ρ

σk)，k

=

x,

y,

z。CUEB2026年7月4

日52

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门图3-2Bloch球面与O-xyz坐标相交的六个关键点CUEB2026年7月4

日53

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门Bloch球上的六个关键态与门的几何意义六个关键点T|0⟩=[1,

0]T|1⟩=

[0,1]|+⟩

=|0⟩+|1⟩√2|−⟩

=|0⟩−|1⟩√2|i⟩

=|0⟩+i|1⟩√|−i⟩

=|0⟩−i|1⟩√2 2分别对应Bloch球面与

±z、±x、±y轴的交点。量子门的几何解释（绕轴旋转）门

Bloch球操作绕x轴旋转180◦绕y轴旋转180◦绕z轴旋转180◦绕z轴旋转90◦绕z轴旋转45◦H 绕(x

+

z)轴旋转180◦CUEB2026年7月4

日54

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门Pauli门的代数性质总结基本恒等式tr(σk)

=

0，det(σk)

=

−1，σk†

=

σk（既厄米又酉）2 2 2 2σ

=

I（对合算子），X

=

Y

=

Z

=

−iXY

Z

=

Ik对易与反对易关系∑︂i j ijk

k[σ,σ]

=

2i ϵ σ

, {σi,

σj

}

=

2δij

Ik其中

ϵijk

为Levi-Civita符号。乘法表（部分）XY

=

iZ, YX

=

−iZ, ZX

=

iY, ZY=

−iX迹的正交性tr(σiσj)=

2δij谱分解构造法X=

|1⟩⟨0|+

|0⟩⟨1|, Z=|0⟩⟨0|−

|1⟩⟨1|利用完备性

I

=

|0⟩⟨0|

+

|1⟩⟨1|

可推导任意酉门的矩阵表示。

CUEB2026年7月4

日55

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门表3-2

Pauli门之间的乘法与对易关系σiσj

乘法关系[σi,

σj

]

对易关系σxσyσzσxσyσzσxIiσz−iσy02iσz−2iσyσy−iσzIiσx−2iσz02iσxσziσy−iσxI2iσy−2iσx0Pauli矩阵：σx,

σy

,

σz乘法关系：σiσj

=

δij

I

+

iϵijkσk对易关系：[σi,

σj

]

=

2iϵijkσkCUEB2026年7月4

日56

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门相位门

S

与

T

的定义及几何意义相位门

S

(Rz

(π/2))S

==[︃ ]︃ [︃1

0

1

00i 0eiπ/2]︃几何本质：绕

Bloch

球

z

轴旋转

90◦与

Z

门关系：S2

=

Zπ/8门T(Rz

(π/4))T

=[︃1 00eiπ/4]︃几何本质：绕

Bloch

球

z

轴旋转

45◦层级关系：T

2

=

S作用效果：T

|0⟩

=

|0⟩, T|1⟩=

eiπ/4|1⟩CUEB2026年7月4

日57

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门通用旋转门

Rz(φ)

及其他轴旋转z

轴旋转门的一般形式zR(φ)

=[︃1 00eiφ]︃参数

φ

直接控制

z

轴旋转角度特例验证：Rz

(π)

≡

Z,

Rz

(π/2)

≡

S,

Rz

(π/4)

≡

T作用规则：Rz

(φ)|0⟩

=

|0⟩,

Rz

(φ)|1⟩

=

eiφ|1⟩其他轴的旋转门Rx(γ)：沿

x

轴旋转

γRy

(η)：沿

y

轴旋转

ηnˆ统一形式：R

(θ)

=

e−iθnˆ·σ/2

θ2θ2=cosI−isin(nˆ·

σ)注：关于旋转门深层数学物理意义详见

3.4.7

节。CUEB2026年7月4

日58

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门Hadamard

门的定义与性质矩阵表示与代数性质[︃

1

1 1H=√2

1

−1]︃既是酉算子又是厄米算子：H

=

H†

=

HT

=

H−1几何本质：绕

Bloch

球

(x

+

z)

轴旋转

180◦符号辨析H

在不同语境下含义不同，需根据上下文区分：Hadamard

门（本节）哈密顿算子

(Hamiltonian,

常记为

Hˆ

)一般厄米算子

(Hermitian

Operator)CUEB2026年7月4

日59

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门Hadamard

门的作用效果与经验公式基本态变换|0⟩+

|1⟩H|0⟩

=

|+⟩

=

√2|0⟩−

|1⟩H|1⟩=

|−⟩

= √2H|+⟩

=

|0⟩, H|−⟩=

|1⟩通用经验公式对于任意计算基态

|x⟩

(x

∈

{0,

1})：H|x⟩

=∑︂(−1)xz√2

|z⟩z∈{0,1}当

x

=

0：系数均为

+1/√2

→

|+⟩当

x

=

1：z

=

0

时系数为正，z

=

1

时系数为负

→

|−⟩该公式是理解量子并行性和干涉的基础CUEB2026年7月4

日60

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门图3-3H门接收不同输入的输出结果CUEB2026年7月4

日61

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门Hadamard

门的构造与多比特应用基于投影算子的构造法利用基底完备性：I

=

|0⟩⟨0|

+

|1⟩⟨1|收集输入输出映射：H|0⟩

=

|+⟩,

H|1⟩=

|−⟩谱分解形式：H

=

|+⟩⟨0|+

|−⟩⟨1|代入

|±⟩

定义即得矩阵表示双量子比特系统中的张量积运算|x0⟩+

|x1⟩|x⟩⊗(H|0⟩)

=

|x⟩

⊗

|+⟩

=

√2|0x⟩+

|1x⟩(H|0⟩)

⊗

|x⟩

=

|+⟩

⊗

|x⟩

=

√2注：量子电路图中，未连线的比特与门无交互，体现了张量积的局域性。与其他门的关系HZH

=

X, H√XH

=

√Z

=

SCUEB2026年7月4

日62

/

158量子系统基础

Bloch球与常用单量子比特门图3-4双量子比特系统与H门CUEB2026年7月4

日63

/

158量子系统基础

分解与纠缠可分离态与纠缠态的判定定义可分离态

(Decomposable)：|ψ⟩

∈

HA

⊗

HB

可写为

|x⟩

⊗

|y⟩纠缠态

(Entangled)：无法写成单系统态矢张量积的形式判别示例状态

分解形式

类型12(|00⟩

+

|01⟩

+

|10⟩

+

|111√21√2(|00⟩+

|11(|00⟩+

|01⟩)⟩)⟩) |+⟩⊗|+⟩ 可分离|0⟩⊗|+⟩ 可分离无法分解

纠缠科学判别体系直观分解法仅适用于简单纯态复杂情形需借助密度算子、Schmidt

分解或

PPT

判据CUEB2026年7月4

日64

/

158量子系统基础

分解与纠缠贝尔态

(Bell

States)

/

EPR

对四个最大纠缠态+|Φ⟩=

|β0012⟩=√

(|00+01|Ψ⟩=|β⟩

=12√

(|01−|Φ⟩=

|β1012⟩=√

(|00⟩−

|11−11|Ψ⟩=|β⟩

=12√

(|01⟩−

|10⟩+

|11⟩)⟩+

|10⟩)⟩)⟩)关键特性构成

H4

空间的一组正交归一完备基均为秩二张量，代表两体系统的最大纠缠可通过局域

Pauli

操作相互转换，如

|Φ+⟩

=

−i(σy

⊗

I)|Ψ−⟩是量子隐形传态、超密编码等协议的核心资源CUEB2026年7月4

日65

/

158量子系统基础

密度算子密度算子的定义与基本性质纯态系综

vs

混合态系综纯态：ρψ

=

|ψ⟩⟨ψ|∑︁ii(i)混合态：ρ= p|ψ

⟩⟨(i)∑︁ii iψ

|，其中

p=1,p≥

0三大核心性质厄米性：ρ†

=

ρ半正定性：∀|φ⟩,

⟨φ|ρ|φ⟩

=

∑︁ipi|⟨φ|ψ(i)⟩|2

≥

0ii归一化：tr(ρ)

= ptr(|ψ

⟩⟨(i) (i)∑︁ ∑︁iiψ

|)

= p=

12tr(ρ