2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）(无答案)

2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|13A.

｛x|0＜x≤13｝

B.

｛x|13≤x＜4｝

C.

｛x|4≤x＜5｝

D.

｛x|0＜x≤5｝2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（

）A.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.

估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.

估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知（1−iA.

-1-32i

B.

-1+32i

C.

-324.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（

）（1010A.

1.5

B.

1.2

C.

0.8

D.

0.65.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（

）A.

72

B.

132

C.

76.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（

）A.

B.

C.

D.

7.等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（

）A.

甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.

甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.

甲是乙的充要条件

D.

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足∠A′C′B=45°,∠A′B′C′A.

346

B.

373

C.

446

D.

4739.若α∈（0,π2),A.

1515

B.

55

C.

53

D.

1510.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A.

13

B.

25

C.

23

D.

411.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（

）A.

212

B.

312

C.

24

D.

312.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=aA.

−94

B.

−32

C.

74

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）13.曲线y=14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，c=15.已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=116.已知函数f(x)=2三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17.

甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：K

18.已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an｝是等差数列：②数列{Sn｝是等差数列；③a2=3a注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.​​（1）

证明：BF⊥DE；（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且⊙M与L相切，（1）求⊙M的方程；（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.21.己知a＞0且a≠1，函数f（x）=xa（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.四、选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=22cosθ.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足AP

=2AM,写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）23.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=|2x+3|-|2x-1|.​​（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.

答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：M∩N即求集合M,N的公共元素，所以M∩N={x|13≤x﹤4}，

故答案为：B

2.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；

对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；

对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确

故不正确的是C

故答案为：C

【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z=3+2i1−i2=4.【答案】C【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=−110，

所以V=10−5.【答案】A【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由|PF1|=3|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a

在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2

得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°

解得c=72a

所以e=c6.【答案】D【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，

则侧视图是

故答案为：D

【分析】根据三视图的画法求解即可.7.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；

当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；

所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.

故答案为：B

【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.8.【答案】B【考点】正弦定理，正弦定理的应用【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，

设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，

在△A'B'C'中，由正弦定理得msin75°=nsin45°，

在△BCM中，由正弦定理得msin75°=100sin15°，

9.【答案】A【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：由题意得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα

10.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：将4个1和2个0随机排成一行共有C62种排法，

先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有C52种排法，

则所求概率为P=11.【答案】A【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1，由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且AB=2,OC=22，

又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，OO1=22，

则OO12+O1C2=OC2

则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，

所以OO12.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质，函数的值【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，

又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，

由f(0)+f(3)=6得a=-2，

所以f92=f2+52=f二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.【答案】5x-y+2=0【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程【解析】【解答】解：由题意得y'=2x+2−2x−1x+214.【答案】−10【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：c→=a→+kb→=3,1+k1,0=3+k,115.【答案】8【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=12|F1F2|，所以PF1⊥PF2，

所以SPF116.【答案】2【考点】一元二次不等式的解法，余弦函数的图象【解析】【解答】解：由3T4=13π12−π3=3π4得T=π，ω=2

将点π3,0代入fx=2cos2x+φ，得2cos2×π3+φ=0

则2π3+φ=π2，三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150200乙机床生产的产品中一级品的频率是：120

（2）由于K2所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.18.【答案】选①②作条件证明③：设Sn=an+b(a>0)，则当n=1时，a1当n≥2时，an=S因为{an}也是等差数列，所以(a+b)所以an=a选①③作条件证明②：因为a2=3a所以公差d=a所以Sn=na因为Sn+1所以{S选②③作条件证明①：设Sn=an+b(a>0)，则当n=1时，a1当n≥2时，an=S因为a2=3a1，所以a(3a+2b)=3(a+b)当b=0时，a1=a2,an当b=−4a3时，Sn综上可知{a【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明③：根据等差数列的定义得出Sn=an+b(a>0)，且{an}也是等差数列，进一步递推出③a2=3a1；

若选①③作条件证明②：由a2=3a1，显然d=a2−a1=2a119.【答案】（1）因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以因为A1B1//AB又BB1∩BF=B，所以AB⊥所以BA,BC,BB以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB1所在直线为所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),BE(1,1,0),F(0,2,1)．由题设D(a,0,2)（0≤a≤2）．因为BF=(0,2,1),所以BF⋅DE=0×(1−a)+2×1+1×(−2)=0

（2）设平面DFE的法向量为m=(x,y,z)因为EF=(−1,1,1),所以{m⋅EF令z=2−a，则m因为平面BCC1B设平面BCC1B1与平面则|cos当a=12时，2a此时cosθ取最大值为3所以(sin此时B1【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（１）根据条件，先证明BA,BC,BB1两两垂直，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明BF⊥DE．

（２）先设D(a,0,2)设出平面平面DFE的法向量及平面BCC20.【答案】（1）依题意设抛物线C:y∵OP⊥OQ,∴OP所以抛物线C的方程为y2M(0,2),⊙M与x=1相切，所以半径为1，所以⊙M的方程为(x−2)2

（2）设A若A1A2斜率不存在，则A1A若A1A2方程为x=1则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y=1此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3若A1A2方程为则过A1与圆M相切的直线A1A又kAx3=0,A3(0,0)所以直线A2A3若直线A1则kA所以直线A1A2整理得x−(y同理直线A1A3直线A2A3∵A1A2整理得(yA1A3与圆所以y2,yy2M到直线A2|2+=|所以直线A2A3综上若直线A1A2,A1A【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程【解析】【分析】（1）先设抛物线的方程C:y2=2px(p>0),由对称性，可知P(1,y0（２）先设出A1(x1y21.【答案】（1）当a=2时，f(x)=x令f'(x)=0得x=2ln2,当0<x<2ln2时，∴函数f(x)在(0,2ln2

（2）f(x)=xaa则g′(x)=1−lnx在(0,e)内g′(x)>0,在(e,+∞)上g′(x)<0,∴g(x)又g(1)=0，当x趋近于+∞时，g(x)趋近于0，所以曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=alna有两个交点的充分必要条件是0<所以a的取值范围是(1,e)∪(e,+∞).【考点】函数的单调性