第一节不定积分的定义和性质

第一节不定积分的定义和性质第1页，共27页。（优选）第一节不定积分的定义和性质第2页，共27页。一、原函数与不定积分的概念

(Anti-derivativesandtheIndefiniteIntegral)

定义1.

若在区间I

上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)例第3页，共27页。问题1.

在什么条件下,一个函数的原函数存在?定理1.

存在原函数.简言之：连续函数一定有原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数问题2.

原函数是否唯一？答案：不唯一？例（Ｃ为任意常数）问题3.原函数之间有什么联系？第4页，共27页。关于原函数的两点说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为某个常数）证结论：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的任意一个原函数可表示为：其中C

为任意常数。

f(x)的全体原函数为：第5页，共27页。定义2.在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!记作

简单地说：求不定积分就是求函数的全体原函数。第6页，共27页。例求解解例求例求解注意：×第7页，共27页。例1.

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为设曲线方程为根据题意知xy011·2第8页，共27页。不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的积分曲线

.

由于F(x)=f(x)，因此，积分曲线y=F(x)在点x处的切线斜率正是f(x)。

不定积分y=F(x)+Ｃ在几何上代表一簇积分曲线，它们可通过曲线y=F(x)沿y轴方向上或下移动Ｃ个单位而得到。

在同一点x对应的积分曲线簇上，切线平行若给定平面上一个点则能唯一确定一条通过该点的积分曲线。第9页，共27页。二、不定积分的性质(PropertiesoftheDefiniteIntegral)推论:

若则或或（一）求不定积分与求导数或微分互为逆运算（二）不为0的常数因子，可以移到积分号前（三）第10页，共27页。三、基本积分表(BriefTableofIndefiniteIntegral）

(k

为常数)实例注记由于积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式导出相应的积分公式.第11页，共27页。第12页，共27页。第13页，共27页。举例例2

求积分解判断积分结果是否正确，只要对结果求导，看导数是否等于被积函数，相等时，结果是正确的，否则是错误的。说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系第14页，共27页。解:

原式=例5.

求解:

原式=例4

求积分例3.求解:

原式=第15页，共27页。例6.求解:

原式=第16页，共27页。例7.求解:

原式=例8.

求解:

原式=先变形，再用基本积分表第17页，共27页。例9.求解:

原式=第18页，共27页。例10

求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.第19页，共27页。解所求曲线方程为第20页，共27页。内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质第21页，共27页。思考与练习1.

证明2.

若提示:第22页，共27页。是的原函数,则提示:已知3.

若第23页，共27页。的导函数为则的一个原函数是().提示: