中科大工程制图基础课件02点、直线、平面的投影

第二章点、直线、平面的投影2.1投影的形成及常用的投影方法2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影2.5几何元素间的相对位置2·1投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差!投影特性投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小也改变平行投影法斜角投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好!工程图样采用正投影法绘制。投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面直角（正）投影法Pb

●●AP采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影a’。B1●B2●B3●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、点在一个投影面上的投影a

●2·2点的投影解决办法？HWV二、点的三面投影投影面◆正面投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧面投影面（简称侧面或W面）投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直WHVoX空间点A在三个投影面上的投影a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●A●ZY●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay绕X轴旋转90度绕X轴旋转90度不动投影面展开ZXVa

axaz●HaayY●WayYO

a●●●●●XYZOVHWAaa

a

点的投影规律:①a

a⊥OX轴②aax=a

az=y=点A到Ｖ面的距离a

ax=a

ay=z=点A到Ｈ面的距离aay=a

az=x=点A到Ｗ面的距离xaazay

a

a

⊥OZ轴●●YZaza

XYayOaaxaya

●az●●a

aax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用圆规直接量取a

az=aaxa

●az●●a

aaxa

●用圆规画弧解法三:三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上b

aa

a

b

b●●●●●●B点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●a

a

c

c

被挡住的投影加()()A、C为哪个投影面的重影点呢？acaa

a

b

b

b●●●●●●2·3直线的投影

两点确定一条直线，将直线两端点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。⒈直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●⒉直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面b

a

aba

b

b

aa

b

ba

⑴投影面平行线①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的夹角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβba

aa

b

b

反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c

d

cdd

c

●e

f

efe

f

●a

b

a

ba

b

⑶一般位置直线投影特性：

三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。abb

a

b

a

二、直线与点的相对位置◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：

◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。点C在直线AB上abca

b

c

①

c

②abca

b

●●例2：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法?因为ak/kb

a’k’/k’b’所以K不在AB上三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。⒈两直线平行投影特性：

空间两直线平行，则其同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

abcdc

a

b

d

例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CDb

d

c

a

cbadd

b

a

c

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影如何判断？HVABCDKabcdka

b

c

k

d

⒉两直线相交判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点abcdb

a

c

d

kk

●●cabb

a

c

d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●3

4

●●两直线相交吗？

小结

★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。★点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。★定比定理。★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：一、点的投影规律aaZayayaXYYO

●●●xa

za①a

a⊥OX轴②aax=a

az=y=点A到Ｖ面的距离a

ax=a

ay=z=点A到Ｈ面的距离Aay=a

az=x=点A到Ｗ面的距离

a

a

⊥OZ轴二、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。⒉投影面平行线

在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。⒊投影面垂直线

在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。三、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。四、两直线的相对位置⒈平行⒉相交⒊交叉（异面）

同名投影互相平行。

同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。

同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。五、相互垂直的两直线的投影特性⒈两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒉两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒊两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。直角定理本周作业P3——2-1，2-3P4——2-5P5——2-6，2-8P7——2-12P8——2-14，2-16第二章点、直线、平面的投影2.1投影的形成及常用的投影方法2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影2.5几何元素间的相对位置2.4平面的投影2.4.1平面的表示方法

用几何形状表示三点直线和点两平行线两相交线平面图形a’ab’

c’bc

a’ab’b

c’ca

b’bc’cdd’a’abb’c’ca’a’c’abb’c2.4.2平面的投影特性1.平面对一个投影面的投影特性平行垂直倾斜ABCabcABCabcABCacb投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性2.平面在三投影面体系中的投影平面的分类：

投影面平行面

投影面垂直面

投影面倾斜面——

一般位置平面

正平面

水平面

侧平面

正垂面

铅垂面

侧垂面特殊位置平面（1）投影面平行面空间及投影分析

——

平行一个投影面，与另外两个投影面垂直。投影反映实形投影有积聚性投影特征：在所平行的投影面上的投影反映实形，另外两个投影积聚成直线，且与相应的投影轴平行。a’b’c’a”b”c”a’b’c’acba”b”c”（2）投影面垂直面空间及投影分析

——

只垂直一个投影面，对另外两个投影面倾斜。投影有积聚性投影有类似性投影特征：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，它与投影轴的夹角反映了平面与相应的投影面之间的夹角；另外两个投影具有类似性。类似性类似性积聚性（3）一般位置平面空间及投影分析：对三个投影面都倾斜，三个投影都不反映实形，也没有积聚性。投影特征：三个投影都有类似性a’b’c’abcb”c”a”a’b’c’abc2.4.3平面上的直线和点1.在平面上取任意直线定理1若一直线过平面上的两点，则直线在平面内。定理2若一直线过平面上的一点且平行于平面内的一条直线，则该直线在平面内。例：已知平面由AB,CD所确定，试在平面上任作一直线。已知平面的投影，如何确定平面上某条直线的投影？a’b’c’abcd’d例：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？2.平面上取点面上取点的方法过点在平面内作一直线，由直线确定点的位置，这样就转化为面上取线的问题。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。

a’b’c’k’abc

k

ka’b’c’k’abc

bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例：已知平行四边形对角线AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二2.5几何元素间的相对位置2.5.1平行问题1.直线与平面平行几何元素

——

线与线，线与面，面与面相对位置

——

平行，相交一般情况：若一直线平行于平面上的某一条直线，则该直线与平面平行。直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行gg’n例：直线MN与平面ABC平行，求MN的水平投影。

a’

b’c’d’abcdk’k例：已知平面P由两平行线确定，试过K点作一直线与平面P平行，同时与H面平行。

特殊情况：

若一直线平行于投影面垂直面，则具有积聚性的那个投影必与直线的同名投影平行。

a’b’c’abcm’n’mn

●●a

c

b

m

abcmn例：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？正平线例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

特殊情况：若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影也平行。

一般情况：若一平面上的两相交直线对应地平行另一平面的两相交直线，则两平面平行。2.平面与平面平行a’b’c’abcmnpm’p’n’abca’b’c’d’e’f’g’dfeg2.5.2相交问题

直线与直线相交

直线与平面相交

平面与平面相交空间分析：直线与直线相交——

交点

两直线的公有点直线与平面相交——

交点

直线与平面的公有点平面与平面相交——

交线

两平面的公有线要解决的问题：

如何求出交点或交线？

几何元素存在相互遮挡问题，如何判断可见性？1.直线与平面相交

平面为特殊位置时的情况

直线为特殊位置时的情况

我们只讨论直线和平面二者至少有一个为特殊位置时的情况。abcmnc

n

b

a

m

⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。k

●1

(2

)作图k●●2●1●km

nb●m

n

c

b

a

ac⑵直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

为不可见。1

(2

)k

●2●1●●作图用面上取点法2.平面与平面相交

我们只讨论两个平面中至少有一个为特殊位置时的情况。

一个平面为特殊位置时的情况

两个平面均为特殊位置时的情况空间分析：交线——

两平面的公有线；交线上的点——

两面的公有点。因此，只要确定两平面的两个公有点或

一个公有点和交线的方向，则交线即可作出。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc

f

d

b

e

a

m

n

空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能否不用重影点判别？例：求两平面的交线

MN并判别可见性。b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空间及投影分析①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●2

●n●

平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。a

b

与e

f

的交点m

、b

c

与f

h

的交点n

即为两个共有点的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。n

●m

●1

●例：求两平面的交线MN并判别可见性。c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N在ΔDEF所确定的平面内，但不在ΔDEF内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●m

●k●m●k

●n

●

小结

重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是