2026-2027学年上学期北师大版数学八年级上册全册教案教学设计

2026-2027学年上学期八年级上册北师大版数学教案学校：教师：第一章勾股定理1探索勾股定理（第1课时）一、学习任务分析勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是直角三角形的核心性质。它可以用来解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一。勾股定理把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（，a和b表示一个直角三角形的两条直角边的边长，c表示斜边的边长），它把形和数密切联系了起来，搭建起几何图形与数量关系之间的一座桥梁，很好地体现了“数形结合”的思想，为后续探索三角形边角关系打下了基础，在数学的发展中起着重要的作用。本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第一章“勾股定理”第一节的第1课时，主要通过测量、数格子等方法探索得到勾股定理，为第2课时将问题一般化与证明提供基础和活动经验。二、学生起点分析学生的知识技能基础：根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，学生在小学阶段已经学习了一些求解几何图形面积的计算方法，初步掌握用割补的方法求图形的面积。在七年级学习了整式的乘除，懂得用图形的面积表示整式的乘除，同时，学会了利用网格构造平行线和垂线，借助网格计算图形的面积。学生的活动经验基础：多数学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力，初步积累了探索图形性质的活动经验，学生学习积极性较高。但合作交流能力和探究能力有待加强。三、教学目标1.经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种验证方法及其内在联系，进一步发展空间观念和推理能力。2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。3.介绍我国古代关于勾股定理的研究，让学生进一步感受中华优秀传统文化的魅力，增强民族自豪感。教学重点：探索勾股定理的内容。教学难点：探寻直角三角形三边数量关系。四、教学过程设计A8A8CB6图11.活动内容如图1，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？教师提问：“这个长度确定吗？为什么？”进一步让学生感受：在直角三角形中，任意两条边确定了，第三条边也就随之确定，三条边之间存在着一种特定的数量关系。我们今天一起探究：直角三角形的三条边之间存在着怎样的数量关系？2.活动目的由实际情境引入，激发学生学习欲望，同时自然过渡到勾股定理的介绍，并从大单元的角度提出章节关注点，让学生明晰本章重点要完成的学习内容。3.注意事项可以提出章节要求，在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：你是如何获得勾股定理的？三角形的内角大小是如何影响三角形三边的关系的？反过来呢？【第二环节】动手实践，发现定理1.活动内容思考·交流（1）在作业纸上画若干个直角三角形，分别测量出它们的三条边的长，看看三条边长度的平方之间有怎样的关系。请你以表格的形式（如下表）记录测量与猜想的过程。与同伴进行交流。直角边a的长度直角边b的长度斜边c的长度可能的关系（2）如图2，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三条边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？如果直角三角形如图3所示，结果又如何？你是怎样计算的？与同伴进行交流。图3图2图3图2（3）如果直角三角形的两条直角边的长度分别为1.6和2.4，那么上面所猜测的数量关系还成立吗？说说你的理由。2.活动目的（1）通过让学生画一画、量一量、算一算，自主探究，初步猜想直角三角形的三条边的数量关系。（2）这里三个问题有不同的层次。第一个问题，通过测量的方式探究直角三角形三条边的关系，方法最直观，但是测量的误差较大，有时可能影响结果的获得。第二个问题，改为利用方格纸进行探究，为后面拼图验证做好铺垫。此问题中给出的直角三角形，两条直角边都画在方格纸的直角边上且直角边长度选取整数，这时自然就引出了以斜边为边长的正方形面积如何计算的问题。第三个问题，当直角边长度不是整数了，相当于隐去了方格纸，可以引导学生思考刚刚（问题二）的方法是否依然有效。3.注意事项（1）在问题二中，学生通过割补、计算，归纳发现直角边长为整数的直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，于是自然引出问题三。2.41.62.41.62.4CAB（2）问题三对学生有一定的挑战性，教师可以先让学生进行小组讨论，如有困难，可以引导学生将方格纸“细分”，以0.1为单位构造正方形网格，将问题转化为直角边长度为整数格的情况；学生也可以利用前面的学习经验，直接拼出如图4所示的图形，计算正方形2.41.62.41.62.4CAB图4图4（3）也可以借助几何画板或GeoGebra等其他数学软件，展示不同直角三角形三边的平方关系，让学生充分感知任意直角三角形三边普遍存在的数量关系。【第三环节】归纳概括，提炼定理1.活动内容教师提问：直角三角形的三边之间存在着怎样的数量关系呢？你能否从几何的角度，对这一结论寻找一种新的理解呢？学生提炼勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么有a2＋b2＝c2。教师介绍相关知识：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，人们把上面的结论称为勾股定理。勾股定理是中国古代的数学成就之一，历史上其他一些文明古国也都独立地发现了这个定理，加之反映勾股定理内容的图形形象直观，于是有数学家曾建议用这个图形作为与“外星人”联系的信号。千百年来，人们冥思苦想给出近400种关于勾股定理的不同证法。对勾股定理的验证，我们将在下节课进行。有兴趣的同学可以在课后研究，或者阅读一些与勾股定理相关的科普素材，进一步感受这个古老定理的无穷魅力！引导学生从几何角度，对公式a2+b2=c2寻找一种新的理解。激发学生说出：这个结论意味着，以两条直角边分别为边的正方形面积和等于以斜边为边的正方形的面积。2.活动目的学生经历了测量、计算，由特殊到一般的推理过程后，归纳总结，明晰勾股定理的内容。同时通过问题引导学生用数学的眼光观察a2+b2=c2的“式结构”与正方形面积的“形结构”之间的联系，体会数与形的完美融合，感受数学的无穷魅力。【第四环节】尝试运用，巩固定理活动内容：尝试·思考1.能否解决课程开始的问题A8CB6如图5，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部A8CB62.随堂练习1，2图5活动目的：对本节知识进行巩固练习，通过应用性问题，图5培养学生应用数学的意识。【第五环节】课堂小结，布置作业课堂小结1.活动内容教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）勾股定理的内容是什么？它有什么作用?（2）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样的探究过程？体会了哪些数学思想方法？2.活动目的让学生从不同角度回顾本节课所学习的内容，反思其中的数学思想方法，引发学生进行更深层次的思考，促进学生认知结构与思维品质的优化。布置作业1.活动内容①完成习题1.1知识技能：第1，2，3题。问题解决：第6，7题。②完成习题1.1数学理解：第4题。③查找勾股定理的相关资料，与同伴分享交流。2.活动目的通过课后作业让学生进一步加强对本节课知识的理解和掌握，以形成知识的条理化和结构化。五、教学反思1.设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，本节课在探索勾股定理的整个过程中，始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习。教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点。2.突出重点、突破难点的策略学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法，但学生对用割补的方法及面积法证明几何命题的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系有机地结合还很陌生。因此，在教学中让学生直接发现“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”有一定的难度，这就需要由浅入深地设置问题，先从等腰直角三角形入手，引导学生发现规律，再从特殊到一般，探究一般直角三角形是否满足规律。探究活动中，学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决这一问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积，教学中应先引导学生观察网格背景下正方形的面积关系，再思考去网格背景后正方形的面积关系，然后把这种关系表示为边长之间的关系，这个过程不仅有利于学生自然合理地发现定理，而且便于学生验证定理，同时，教师要揭示割补法的实质是图形经过切割、拼补后面积保持不变，这种方法也是证明面积问题常用的方法。

第一章勾股定理1探索勾股定理（第2课时）一、学习任务分析本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第一章“勾股定理”第一节的第2课时。勾股定理是几何领域中最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一。另外，勾股定理在其他自然科学和实际生产生活中也得到了广泛应用。在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”，感受从“合情推理”到“演绎推理”的学习过程，并领会丰富的数学思想和方法。勾股定理的特殊证明方法能进一步拓宽学生视野，提高学生思维的广阔性、严密性、灵活性，同时，勾股定理的发现、验证和应用过程蕴含着丰富的数学文化价值。本节课主要是在三角形内容教学过程中，利用“面积证明法”和“算两次”原理进行推理证明几何问题，是具有启迪与示范作用的关键教学点，能帮助学生渗透数学思想。二、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了正方形的面积公式，在七年级下册又学习了整式的加、减、乘运算，以及乘法公式等内容，上节课也通过活动概括出了勾股定理的内容。学生的活动经验基础：学生在七年级下册第一章“整式的乘除运算”的学习过程中，通过运用两种不同的方法计算几何图形的面积，验证整式乘法公式的合理性，初步体验以形助数的方法；上节课通过测量和数格子的方法发现直角三角形三边的关系——勾股定理，学生初步具备通过割、补、拼求面积的意识。三、教学目标1.通过割、补、拼的方法求正方形的面积，体验证明勾股定理的过程，掌握直角三角三边之间的数量关系，并能应用勾股定理解决简单的实际问题。2.经历勾股定理的验证过程，进一步发展说理和简单推理的意识及能力，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想。3.经历“回顾—证明—归纳—应用”的学习过程，培养探究能力和合作精神，体验获得成功的快乐，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识。4.通过了解古今中外关于勾股定理的证明，进行爱国主义教育，感受数学文化，增强爱国情感。教学重点：勾股定理的证明。教学难点：勾股定理的证明及应用。四、教学过程设计【第一环节】创设问题，引发回忆1.活动内容在上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图1，分别以直角三角形的三条边(a<b)为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何说明的？与同伴进行交流。图1图12.活动目的本环节主要回顾上节课勾股定理的猜想过程，并在此基础上提出一个无网格背景的问题，引导学生借助拼图一般性地验证勾股定理。3.注意事项回顾如何得出勾股定理，关键在于对方法的回顾。方法一：割正方形C，如图2。方法二：补正方形C，如图3。图3图3图2方法一：；方法二：。是不是所有的直角三角形三边之间都具备这些关系呢？我们把上面的图形去掉网格，你还能计算出正方形C的面积吗？如图4，你是如何做的？可以通过这个问题，根据学生的研究进展情况适时转入下面的“尝试·思考”环节。【第二环节（一）】尝试实践，证明定理1.活动内容尝试·思考为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图4、图5。图5图4图5图4（1）将所有三角形的面积和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来。（2）图5、图6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？（3）你能分别利用图5、图6验证勾股定理吗？2.活动目的在此环节中，学生经历了操作、讨论、交流与展示的过程。教师在学生进行推理及小组交流的过程中适时进行点拨，展示典型的证明方法，让学生感受推理的严谨性，并发现不同解决方法之间的内在联系，感受利用几何图形辅助代数运算的推理过程。3.注意事项在这个活动中，以小明的名义引导学生运用割补法验证勾股定理，在实际教学中，可以根据课程的实际生成情况开展教学，即在第一环节回顾勾股定理是如何获得的过程中，可以根据学生的研究进展适时转入本环节。在验证勾股定理的时候，让学生体会“算两次”的思想（如图5中的正方形ABCD的面积既可以用它的边长的平方计算，也可以用四个小直角三角形面积加中间小正方形的面积算），并揭示这种“算两次”的思想在列方程、列函数关系式、探索公式时经常使用。【第二环节（二）】尝试实践，证明定理1.活动内容勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽（3世纪初）在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图6称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案（如图7）就取材于此图。图7图7图6图62.活动目的在得出勾股定理证明后，简要介绍“赵爽弦图”，让学生了解我国古代数学家在研究勾股定理方面的贡献，感受中华优秀传统文化的魅力，增强民族自豪感，坚定文化自信。3.注意事项通过弦图的介绍，让学生进一步感受“算两次”的思想。也可以结合“阅读·思考”的内容，让学生感受勾股定理的无字证明方法。【第三环节】尝试应用，巩固定理1.活动内容例在一次军事演习中，红方侦查员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m；过了10s，测得汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗?2.活动目的借助军事演习相关背景，抽象出直角三角形，分析题目中的数量关系，明确已知量和所求量，通过建立直角三角形的模型解决实际问题。在解决问题的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，为学生提供进一步探索和学习数学建模的新途径和新视角。同时体现了数学来源于生活又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识。运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容。3.注意事项对于此类实际问题，可以关注问题解决的过程，关注问题的思考、解决方法。例如：能否根据题目画出相应的几何图形（如图8）？能否从题目中提取已知量，并在上述的图形中用字母、数据表示出来（如图9）？能否根据图9所示的几何模型解决实际问题？图8东西图9图8东西图9【第四环节】引发讨论，深学拓展1.活动内容思考·交流如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“最长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗？以图11为例（方格纸中每个小方格的边长均为1），说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。图10图102.活动目的引导学生进一步探究锐角三角形、钝角三角形三边的关系。3.注意事项学生通过经历猜想、画图、计算正方形的面积等活动，得出了：如果用a，b和c分别表示某三角形三边的长度，若a2+b2c2，则该三角形不是直角三角形。还进一步得出：在锐角三角形中，三边的长度满足a2+b2>c2；在钝角三角形中，三边的长度满足a2+b2<c2。在这个过程中，进一步加深学生对勾股定理的认识，也为下一节判别直角三角形打下基础。【第五环节】自主训练，查缺补漏1.活动内容如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？2.飞机在空中水平飞行，飞机距离某建筑的竖直高度为4km，过了20s，飞机与该建筑的距离为5km，求飞机每小时飞行多少千米？（第2题）4km（第2题）4km5kmABC2.活动目的在本教学环节中，学生先独立思考，再合作交流。让学生进一步巩固勾股定理，体会勾股定理在解决问题中的作用。【第六环节】整体思考，分层设计1.活动内容问题1：这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？问题2：对这些内容你有什么体会？布置作业基础作业：习题1.1知识技能第3题。拓展提升作业：习题1.1第6，7题。2.活动目的问题1、问题2鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动。课后作业设计包括了两个层面：基础作业是为了巩固基础知识而设计；拓展提升作业是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过画辅助线构造直角三角形，进一步巩固勾股定理的应用。四、教学反思1.设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在证明勾股定理的整个过程中，本节课让学生经历“回顾旧知—尝试割补—证明定理—应用定理—拓展学习”的学习过程，引导学生通过自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习。教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点。2.突出重点、突破难点的策略学生已对勾股定理形成初步认识，并掌握了求图形面积的不同方法，但对任意直角三角形勾股定理的证明的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系有机地结合还有一定的困难。因此，在教学中注意对上节课内容的回顾以及方法的引导是本节课的难点，这就需要教师由浅入深地设置问题。探究活动中，先以网格形式下用不同的方法求正方形的面积，通过计算面积，让学生尝试证明定理，再思考去网格背景后正方形的面积关系，然后把这种关系表示成边长之间的关系，这不仅有利于学生自然合理地发现定理，而且便于学生验证定理。同时，教师要揭示割补法的实质是图形经过割或补后求得，面积不变，这种方法也是今后证明面积问题的常用方法。

勾股定理及其验证方a，bc分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2b2c2。如图1所示，在△ABC中，如果∠C＝90°，那么AC2BC2AB2勾股定理的验证方法有很多种下面介绍两种利用图形面积相等来 图第一种方法：如图2，边长为c的正方形可以看作是由4个两条直角边长分a，bcc的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式c241abab)2，化简得c2a2b22 bab图 图第二种方法：如图3，这个直角梯形是由2个两条直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和一个直角边长为c的等腰直角三角形拼成的因为3个1c221ab1(ab)2，化简得c2a2b2 利用勾股定理求直角三角形的第三边的长度时，应先明确哪条边是直角在式子a2b2c2中，a，b代表直角三角形的两条直角边的长度，c代表应用勾股定理解题时，只能是在同一个直角三角形中，才能求第三边的边长。1在△ABC中，∠A＝90 （2）若a＝13，b＝5，则 （1

a2b2c2324225

c2a2b213252144（1）52Rt△ABC中，AC＝3，AB＝4BC容易认为∠AAB可能为斜边的情况。解：Rt△ABC（1）BCBC2AB2AC24232257（2）当BC为直角边时，BC2AB2AC242327，所以 7例3积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图4或图5图 图将两个全等的直角三角形按图4所示摆放，其中∠DAB＝90a2b2c2DBDBCDFDF＝EC＝b－a

＝1b21abS

＝1c21a(b 1b21

1c21a(ba，即a2b2c2 55所示摆放，其中∠DAB＝90°。a2b2c2。证明：连 因为S五边形ACBED＝ 又因为S五边形ACBED＝ 即a2b2c26S△ACB＋S△ABE＋S△ADE

1ab+1

1

＝1ab1c21a(b

1ab+1b21ab

1ab1c21a(b

第一章勾股定理２一定是直角三角形吗一、学习任务分析本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第一章“勾股定理”第二节。本节课承接上一节课的内容，通过反问引发学生对勾股定理逆定理的思考。本节课的教学任务包括探索勾股定理的逆定理，利用逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，并借助勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题。二、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习了勾股定理，通过数格子、拼图验证等实践活动，明晰了直角三角形三边之间的关系。学生的活动经验基础：学生在先前的数学学习中已经积累了一定的逆向思维和逆向研究的经验。如已知两条直线平行，能得出什么样的结论，反之，满足什么条件的两条直线是平行的。基于此，本节课主要由勾股定理进行逆向思考获得逆命题，但是，在具体研究过程中，由于命题与逆命题这些知识学生还未进行系统的学习，反向思考问题对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导。三、教学目标1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念。2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。3.经历一般规律的探索过程，发展抽象思维能力、归纳能力，进一步体会数形结合思想的应用。4.体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学数学、用数学的兴趣。教学重点：理解勾股定理逆定理的具体内容。教学难点：勾股定理逆定理的应用。四、教学过程设计【第一环节】复习引入1.活动内容知识回顾（1）在直角三角形中，三条边长度之间满足什么样的关系？（2）在直角三角形中（如图1、图2所示），已知两条边的长度，利用勾股定理求出第三条边的长度。34？》34？》513？图1图2提出问题：在一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。反过来，如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？2.活动目的通过知识回顾，巩固上节课的学习内容，为本节课的学习作铺垫。通过回顾已学的知识引入新课，结合以往的学习经验激发学生探究热情。3.注意事项提出问题后，可以追问：如何判断呢？不妨举一些例子进行验证。【第二环节】合作探究1.活动内容思考·交流下面的每组数分别是一个三角形三条边的长度a，b，c，而且都满足a2+b2=c2：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41。分别以每组数为三条边的长度画出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流。2.活动目的给出具体数据，让学生动手画图，通过测量等方式，学生可以得出“如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”这一结论。这样的设计旨在使学生体验数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。3.注意事项（1）在经历过上面的分组实验后，可以提问学生：你可以得出什么结论？结论：如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（2）可以进一步借助数学软件，让学生感受上述结论的可靠性。例如，可以利用几何画板演示，让学生观察三角形三条边的长度a，b，c取不同的数值时三角形的形状。（3）对于思维程度比较好的班级，还可以这样说理：重新绘制一个Rt△ABC，使得两直角边的长度分别为a，b，在Rt△ABC中满足：a2+b2=c2，因此该直角三角形的斜边为c，根据“SSS”可知这两个三角形全等，因此原三角形也是直角三角形。（4）可以在验证之后，让学生了解勾股数。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。例如3，4，5；8，15，17等都是勾股数。（5）回顾总结，如①到今天为止，你有哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?②比较勾股定理与勾股定理逆定理。【第三环节】小试牛刀1.活动内容（1）下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。①9，12，15；②12，18，22；③12，35，36；④15，36，39。（2）将直角三角形的三条边的长度扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）。A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定（3）下列各组数是勾股数的是（）。A.，， B.1，2，3 C.0.3，0.4，0.5 D.9，40，412.活动目的通过练习，加强学生对勾股定理及勾股定理逆定理的认识及应用。3.注意事项每道题都要求学生独立完成（5分钟），并指出各题分别运用了哪些知识，进而强化勾股定理的逆定理在数学内部的应用。【第四环节】典例分析1.活动内容（1）一个零件的形状如图3所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图4所示（单位：cm），这个零件符合要求吗？图3图图3图4（2）如图5，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中共有几个直角三角形？你是如何判断的？图5（3）“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口1.5h后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿哪个方向航行？2.活动目的学以致用，利用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理。3.注意事项问题1是例题，以教师讲解为主；问题2主要是让学生练习，巩固所学；问题3为备选题，根据班级学生具体情况，灵活选用。【第五环节】反思总结1.活动内容回顾·反思回顾勾股定理的学习过程，你积累了哪些研究问题的经验和方法？2.活动目的结合这几节课的学习，引导学生初步体会几何图形的学习过程是先由性质到判定，进而再到应用，构建单元整体思想框架；让学生初步感知数形结合的思想，体验从形中可以获取数的信息，借助数可以勾勒形的性质。增强学生学习数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识。3.注意事项不必要求学生讲得多全面，教师可以通过提问、引导等方式帮助学生从学习过程、方法使用、经验积累等方面进行反思。【第六环节】布置作业1.活动内容必做题：习题1.2第1，2，3，4，5题。选做题：你还能找出哪些勾股数呢？这些勾股数有着怎样的规律呢？请同学们尝试探索。2.活动目的分层的作业设计可以满足不同层次学生的需求，让不同层次的学生都能体验成功的乐趣。选做题是开放性的设计，可以从不同的维度探究，不同的探究结果展现学生不同的思维深度。五、教学反思1.充分尊重教材，以勾股定理的逆向思维模式引入“如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？”的问题，充分引用教材中出现的例题和练习。2.注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。3.关注学生对新知的学习、理解与应用，注重数形结合思想在教学中的渗透，满足学生的推理需求，借助几何画板进行推理验证，完善对勾股定理逆定理的认识。附：板书设计能得到直角三角形吗已知结论图形例1

勾股定理的逆1.a，b，c满足a2b2c2，那用几何语言表述为：因为a2b2c2，所以C90，△ABC为直角三角形 图若a2b2c2，则此三角形是直角三角形；若a2b2c2，则此三角形是钝角三角形；若a2b2c2，则此三角形是锐角三角形。a，b，c及a2b2c2只是一种表达形式，若a2c2b2，则b为斜边。例1下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是 23A. B. C. D. 23解析：本题考查了勾股定理的逆定理。解题关键是先找到各组线段中的最边，再运用勾股定理的逆定理进行判断。据题意可知，只有12

32221，小莉画出一ABC，她画得对吗？请你设法验证一下。a，b，c，若满足a2b2c2，则为直角三角形。解：AC2321210BC2321210AB2224220，所以∠ACB＝90所以△ACB是等腰直角三角形。33AD＝4m，CD＝3m，分析：本题考查了勾股定理及其逆定理的应用。解的关键在于利用勾股定理的逆定理推导出△ACB为直角解：如图4，连接AC 图AD242所以ACAD242AC2BC2AB2，即△ABCS

ABCS

151213430624（m²

勾股1.满足a2b2c2（c为最长边）2.25；8，15，17；9，12，15；9，40，41满足a2b2c2（c为最长边a，b，c5例1下列各组数是勾股数的有 A. B. C.

D.3，4 足a2b2c2B52122132，是勾股数。2ADBCFAB＝8cm，BC＝10cmEC解：ABCD所以DCAB8cmBCAD10cmBC90。ADDBCF处，AFAD10cm，FEDE因为B90AF2102所以BFAF2102（cmECxcmEF的长为（8－x）cm，根据题意，得8x2x242x3，EC3cm。

第一章勾股定理3勾股定理的应用一、学习任务分析本节课是北师大版数学八年级（上册）第一章“勾股定理”第3节。学生已经初步掌握勾股定理及其逆定理，也掌握了一些较为零散的解决此类问题的方法，但知识和方法尚未形成完整的体系。本节课的具体要求是，在解决这些实际问题的过程中，学生需经历对实际问题中的文字描述、数学符号以及几何图形的理解与抽象过程，把抽象出的问题转化为与直角三角形相关的问题，或利用三角形三条边长度的数量关系a2+b2=c2判定是否为直角三角形。在勾股定理的一些实际应用中，要求学生能够抽象出数学图形，通过构建数学模型（构建直角三角形），建立方程求解边长。“勾股定理的应用”一节的教学，不仅需要学生加强对以往知识的理解，更强调学生要从实际问题中提炼出直角三角形的模型，继而通过分析某个直角三角形中三条边长度的数量关系，建立方程解决问题。二、学情起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式和一元一次方程，对用未知数表示数量及利用数量关系建立方程的思想已经有了一定的认识；也掌握了判定一个三角形是直角三角形的两种方法：判断三角形三个内角中某个角为直角或者三角形三条边的长度满足a2+b2=c2的数量关系。在方程和整式的学习中，学生还经历了知识的应用过程，培养了一定的应用意识。学生的活动经验基础：在基本平面图形和三角形等章节的学习中也经历过相应的实践活动，具备了一定的猜想、归纳、类比、推理的能力。多数学生思维活跃，交流意愿强烈，对现实生活中的数学知识充满强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的引导下，通过小组成员间的互助合作，开展实践探索活动，发表自己的见解。三、教学目标1.通过构建直角三角形，巩固勾股定理及逆定理的应用。2.在实际问题中抽象出数学问题，并通过列方程加以解决，培养和提高抽象能力、运算能力、数学模型思想和应用意识等核心素养。3.通过勾股定理相关的古算题，感受数学在生活中的应用，体会中华优秀传统文化的源远流长，进行爱国主义教育。教学重点：勾股定理及逆定理的应用。教学难点：将实际问题进行转化，利用勾股定理或逆定理解决实际问题。四、教学过程设计【第一环节】情境引入，提出问题1.活动内容装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图1）的边AD和边BC是否分别垂直于边AB。图1（1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？图1教师通过提问，引发学生思考，但是困难在于学生是否能够想到利用勾股定理的逆定理来解决问题。由于地砖是四边形，需将其转化为三角形来求解，从而转变为证明直角三角形的问题。因此在教学中，教师可以适当引导学生构造三角形，通过化归思想突破这一思维障碍，以解决问题。（2）李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm。边AD垂直于边AB吗？当在问题（1）中建立了解决问题的策略之后，问题（2）在问题（1）的基础上，教师直接给出具体的数值，学生可以直接代入，运用勾股定理的逆定理进行计算，从而验证是否是直角三角形。这一过程既能验证学生的猜想，也能验证前面的探索方法的正确性，激发了学生的学习热情和动力。（3）如果李叔叔随身只带了一把长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？思考问题（3）会进一步提升学生的思维能力，探讨当尺子长度不够用的时候如何应用勾股定理的逆定理解决问题。学生在前面两问中已经积累了解决问题的策略，但这里需要进一步思考如何构造三角形来解决问题，明确构成直角三角形的条件：三边的长度满足a2+b2=c2。在教学过程中，若学生存在困难，教师可以让学生尝试回忆之前学习过的勾股数的结论，让学生用尺子试着测量自己书本的某个角是不是直角，以此获得更真切的体验感。最后，教师可以再给予发问和总结：测量的长度能否为别的数值？从而让学生发现验证勾股定理逆定理的时候，与边长的具体数值无关，只与三条边的长度是否满足a2+b2=c2有关。2.活动目的在引入环节，通过问题串的方式层层递进，引发学生对生活实际问题的思考。这不仅能让学生学会用数学的眼光观察现实世界，还能促使他们尝试用同样的数学思维去思考并解决问题，有效地落实核心素养。该环节不仅复习了勾股定理的逆定理，也为本节课的应用学习起到了很好的承上启下作用。3.注意事项（1）对于问题（1），学生可能想不到用勾股定理的逆定理来解决问题，因为地砖是四边形的，需要转化成三角形才能求解。在教学中，教师可以适当引导学生构造三角形，通过化归思想突破这一思维障碍并解决问题。（2）对于问题（3），如果学生无法解决，教师可以引导学生回忆之前学习过的内容，让学生用尺子测量自己书本的某个角是不是直角，以此获得更真切的体验感。通过代入数据进行计算，得到三边长度的数量关系，从而理解相应的方法。【第二环节】合作探究，解决问题1.活动内容BCAGBCAGDFE图2如图2，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这张正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出DF的长吗？请同学们观察折叠前后，哪些边和角有特殊的数量关系。由于本图具有对称性，总体比较好理解，因此教师可以选择实际图形，也可选择利用信息技术进行展示，让学生去观察其中成轴对称的图形。2.活动目的学生对于图形折叠问题并不陌生，在七年级“生活中的轴对称”一章中已经有所接触，但本题中的数量关系仍然是一个难点。在观察折叠过程时，要让学生自己分析其中存在的等量关系。3.注意事项（1）若学生只能写出部分相等的线段和角，教师需要加以引导。可以通过学生现场演示或动画展示的方式让学生感悟其中的等量关系。（2）可以在解决“尝试·思考”后，进行适当变式训练，解决下面的问题：你能求出DF的长吗？本题需要求解DF的长度。在教学中可以引导学生设未知数，这样学生可以更容易表示出其余未知量，为后续思考扫清障碍。学生通过分析，能够标出数量明确的边长，对于DF，CF，EF等未知的边长，可尝试用字母x去表示，从而比较自然地找到直角三角形DEF的三边关系，并尝试列方程求解。在这一过程中，学生主动分析数据，建立方程模型，其几何直观、推理能力、模型意识等核心素养都得到不同程度的培养。此处学生的困难点如下：首先设出未知数后，能否表示出相应的数量；其次能否找到相对应的直角三角形并建立三边关系。最后，由于涉及完全平方公式，在求解过程中也会遇到比较大的障碍。教师应该给学生充分的时间去进行表示、列式计算，并通过板书的方式解决学生的困惑，从而帮助学生建立起此类题目的解题思路和规范格式。【第三环节】典例分析，应用知识1.活动内容例今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》，1丈=10尺）图3题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图3）。如果把图3这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？教师需及时进行梳理和点拨。2.活动目的通过本题，进一步提高学生学习并应用数学知识的能力，使学生明白在解决该问题时方程思想的重要性，也更加深刻地认识到数学来源于生活，并能服务于生活的本质。教师要详细、规范地书写本题板书，让学生能够有观察、学习和模仿的过程。3.注意事项如果学生对题意理解不清，教师要带着学生一起阅读，理解题目大意，并让学生自己尝试画出平面图形，把已知量和未知量表示在图上。教学核心是如何让学生知道把生活问题数学化，如何建立有效和合理的数学模型来解决它。【第四环节】解题反思，感受策略1.活动内容完成习题。（1）五根小木棒的长度分别是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm，现将它们摆成两个直角三角形，如图4所示的三个图形中哪个是正确的？图5图4图5图4（2）如图5，一座城墙高11.7m，墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根9m处架一架长为15m的云梯，该云梯能否抵达城墙的顶端？为什么？图6（3）如图6所示，当秋千OA静止的时候，踏板距离地面的竖直高度为1尺（即AC=1尺），将秋千往前推动两步（这里“两步”在古代计量中，一步约为5尺，即EB=10尺）后，此时踏板距离地面的竖直高度增加到5尺（即BD=5尺），求秋千绳索OA（或OB）的长度。图62.活动目的通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理的认识和应用，并且考查学生在不同生活背景中解决问题的能力，巩固本节课所运用的方程建模思想。3.注意事项上述三道习题中存在一定的难度梯度，第（1）题可以让学生自行审题并自主完成；第（2）（3）题涉及勾股定理的实际应用，题意比较复杂。在教学中，教师可以对部分有困难的学生加以点拨，也可以让学生结合图形理解题意，培养学生运用建立直角三角形来解决问题的思路和策略。【第五环节】反思小结，强化策略1.活动内容本节课的学习，你学习到了什么？你是如何学到的？学生展开总结，基本内容包括以下几点：（1）加深了对勾股定理的认识，并掌握了基本的方法；（2）对生活化的问题情境要善于提炼信息，运用数学建模完成问题分析；（3）如果直角三角形中只知道一条边的具体长度，则可以结合勾股定理通过建立方程完成问题分析；（4）运用勾股定理解决问题，关键是要发现直角三角形，如果没有现成的直角三角形，就需要构建直角三角形。2.活动目的通过小结，学生可以梳理本节课的主要知识和学习的方法，体会到在实际生活中数学知识的广泛应用以及数学建模的重要性。更重要的是在复盘这节课的学习时，要去思考知识形成的过程，学会如何在以后的生活中，常常带着数学的眼光观察现实世界，做一个数学的“有心人”。3.注意事项让学生各抒己见，针对问题自由发挥，锻炼学生的表达能力和对知识的复盘整理能力。【第六环节】布置作业，拓展资源1.活动内容（1）必做题：习题1.3第1,2,3题。（2）选做题：实践作业。问题：你能设法测量学校操场上旗杆的高度吗？工具：旗杆、旗杆上的绳子（长度可变化）和卷尺。方案：4人一组进行合作探究，将旗杆上的绳子拉直，使绳子底端与旗杆底端在同一地面上（其他小组可以改变绳子的长度），测量绳子比旗杆多出的长度，以及绳子拉直后底端与旗杆底端的距离。2.活动目的除了让学生掌握今天的教学内容之外，更重要的是培养他们能够用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界。通过实际问题引领学生自主探究，充分训练他们的实践能力、合作能力和数学建模能力，让学生在真实的场景中理解知识的真正价值，感受最纯粹的数学探究过程。3.注意事项作为勾股定理的应用，实践性作业能让学生更好地感受数学的应用。相比于常见的作业，在实践性作业活动之前要给予活动指导，活动之后要交流分享。五、教学反思1.精选素材内容勾股定理及其逆定理是数学里的基本定理，在生活中有着广泛的应用。本节课在素材的选择上充分考虑这点，给出的问题情境涉及多个领域，有生活中的垂直判断，有折纸中直角三角形的数量关系，有估算题中的河宽、草长等问题，让学生进一步感受了勾股定理及其逆定理的广泛应用。2.凸显数学文化勾股定理及其逆定理的证明反映了不同的数学文化，本节课的内容是勾股定理及其逆定理的应用，本节课在选择的素材上也继续彰显其文化价值。在例题中选择了一道《九章算术》中的问题，在理解问题、解决问题的过程中，彰显这一内容的历史悠久、应用广泛，也让学生感受古代劳动人民的智慧。3.布置实践作业本节课在最后除了常规作业外，还布置了一道实践性作业，让学生利用所学的知识去测量学校的旗杆高度（旗杆上有绳子）。相较于常规问题，这个问题的开放度更高，要求学生先利用所学知识构造模型，并能说明模型的合理性，然后再进行测量、计算，最后得出旗杆的高度。考虑到学生的年龄特点和知识结构，在活动前给学生进行了初步的方案设计，降低了难度，如果学生表现较好，也可以请学生自行设计测量方案。

勾股定理的应1在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BCAD＝6 ） C.6或 D.8或况对三角形的边长BC进行讨论。根据题意，可得（1和图2AC2ADAC2ADAB2AB2102

8BC106

图 图23，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正3cmA处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（。 B. 解析：本题考查了勾股定理的应用。解题的关键是把 图ABRtADBADDB3912cmABAD10cmB。

13cm5252AC，ECAB＝5，DE＝1，BD＝8，设xAC＋CEA，C，E满足什么条件时，AC＋CEx2(12x2(12x)2AC＋CE的最小值。解（1）因为CD＝x，所以BC＝8－xAB2BC25AB2BC25(8CD2DE xCD2DExx2A，C，E三点在同一直线时，AC＋CE6262AF2EF在Rt△AF2EFAC＋CE10BB

10 A，C，E三点在同一直线时，AC＋CE最小。根据（2）7，x2(12x)2x2(12x)2CAC 52127EEF⊥ABABF，BF＝DE＝2，FE＝BD5212AF2EF在Rt△AF2EFAC＋CE13

13x2(12xx2(12x)2

第一章勾股定理☆问题解决策略：反思一、学习任务分析本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第一章“勾股定理”问题解决专题。教学任务是以“运用勾股定理解决简单的实际问题——蚂蚁怎么走最近”为载体，经历“问题—理解问题—拟订计划—实施计划—回顾反思”的解题过程，感悟问题解决策略：反思。教材先给出一个学生感兴趣的问题“蚂蚁怎么走最近”，让学生通过给定的条件解决问题，在问题得到初步解决后，组织学生围绕以下几个方面开展解题后的反思：反思解决问题的过程，强化解决问题的经验；比较解决问题的方法，形成多样化的解决问题方法；思考解决方法的本质，促进方法的运用；改变问题的条件，拓展更多问题。通过引导学生对解决问题的过程、方法和变式的反思，促进学生形成问题反思这一新的问题解决策略。本节课中的情境“蚂蚁怎么走最近”对学生而言具有一定的难度，需要学生相互间开展合作探究，并在交流展示中培养学生的合作交流能力。二、学情分析学生知识技能基础：学生在小学和七年级已经学习了有理数、整数、方程、平行线、相交线和三角形等内容，为解决问题提供了知识保障。学生活动经验基础：学生在学习七年级（上册）第一章时，对生活中的立体图形已经有了一定的认识，经历了正方体、圆柱等空间图形的展开与折叠的过程。在本章前面几节课中，学生又经历了探索勾股定理的过程，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题，有了一定的问题解决经验。同时，在小学和七年级的数学学习中，学生已学习并积累了一些问题解决策略，这些都是本节课学习所需的活动经验基础。三、教学目标1.经历“问题—理解问题—拟订计划—实施计划—回顾反思”的过程，提高分析问题和解决问题的能力，并养成良好的解题习惯，使问题解决的过程程序化。2.在解决问题的过程中，体会反思策略。教学重点：反思策略的感悟与习得。教学难点：在不同问题中反思策略的使用。四、教学过程设计【第一环节】课前准备，制作学具1.活动内容制作学具：用矩形纸片做成高为12cm、底面圆的周长为18cm的圆柱。2.活动目的在学具的制作过程中，再次经历圆柱的展开与折叠的过程，发展空间观念；在课堂学习中，学生用自己制作的学具探索学习任务，更能激发学习的热情。【第二环节】情境引入，提出问题1.活动内容如图，一个圆柱的高为12cm、底面圆的周长为18cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？理解问题（1）在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？（2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。2.活动目的创设拟人化的问题情况引入新课，激发学生的探究热情。通过问题串的设计，帮助学生理解问题，在回答问题（2）时，学生通过实际操作，自然想要将空间（曲）问题转化为平面（平）问题。3.注意事项对问题（2），要明确是沿侧面爬行，而不是沿表面爬行。学生若回答不了，也可以问：是有限条吗？如果学生对画最短路线有困难，可以提供细绳辅助，一端固定点A，另一端沿侧面拉动，使它与点B重合。【第三环节】合作探究，解决问题1.学习活动拟订计划（1）以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？追问：之前遇到的都是哪些问题？如何解决？解决问题的根据是什么？这个问题与之前不同在哪里？你能利用之前求解最短路线问题的方法解决新问题吗？你打算怎么做？（2）如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？实施计划（1）如图，将圆柱剪开，确定侧面展开图的形状，以及与圆柱的对应关系。（2）在图中标出点B的位置。（3）在图中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度。2.活动目的通过合作探究，学生经历在曲面上画最短路线，再在平面上确定最短路线，最后回到曲面上感受最短路线（曲—平—曲）的过程，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法。这个过程将曲面上的最短距离问题转化为平面上的最短距离问题，并利用勾股定理求解。在活动中体验数学建模的思维方法，增强与他人合作交流的能力，提升探究能力、操作能力、分析能力，进一步发展空间观念。3.注意事项学生分为4人制的活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线。组内充分讨论后，教师汇总各小组的方案，并在全班范围内讨论每种方案的路线的计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。让学生发现：将圆柱沿母线剪开后展开得到矩形，“蚂蚁怎么走最近”的问题即转化为研究矩形上两点之间的最短距离问题。这一过程引导学生体会利用数学方法解决实际问题的策略。【第四环节】解题反思，感受策略1.活动内容回顾反思解题反思一：过程与条件反思。（1）在拟定解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流。（2）这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？例如，改变圆柱的形状，改变点A、点B的位置，改为沿着圆柱表面爬行......这时又会有哪些新的问题？选择部分问题进行研究，并与同伴进行交流。学生在交流中可能会提出以下问题：例1如图，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对、离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？例2不改变情境中圆柱的形状和A，B两点位置，将问题中沿圆柱“侧面”爬行改为沿圆柱“表面”爬行，最短路程是否发生改变？在此基础上引导学生思考：改变圆柱的形状呢？一定是沿侧面最短吗？你能举一个沿侧面不是最短的例子吗？解题反思二：解决问题方法的应用反思。（3）解决这个问题的经验，还可以应用到哪些问题中？例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题？（4）生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案。学生在交流中可能会提出以下问题：例3如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁爬行的最短路程是多少？2.活动目的数学家乔治·波利亚说过：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的反思。”而大多数学生在得到问题的解答，并且干净利落地写下论证后，就会合上书本，去做别的事情。这种做法导致他们错失了解题过程中一个重要而又有教益的环节——反思。因此，可通过设计问题串，带领学生进行解题后的回顾反思，从而提升学生的思维深度，加深对知识的理解，提升批判思维能力，以及严谨的逻辑思维品质，同时也为学生今后独立进行问题解决提供反思方向。3.注意事项（1）教师可结合不同的问题，设计不同的“回顾反思”问题。通常可以从解题过程、解题方法、结论、问题、条件、解题方法的迁移、数学模型的生活化等方面进行反思。（2）“回顾反思”中的问题（2）让学生思考影响结果的因素，尝试通过改变各因素的具体特征产生更多新的问题，发展学生解决问题后进行反思的能力。（3）一共提供了三个题目，可根据实际教学情况选择使用，不一定都用。【第五环节】课堂小结、强化策略1.活动内容对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？与同伴进行交流。引导学生提炼解决问题之后的反思策略与途径：反思解决问题的过程，强化解决问题的经验；比较解决问题的方法，形成多样的解决问题的方法；思考方法的本质，促进方法的运用；改变问题的条件，研究更多的问题。2.活动目的鼓励学生结合本节课的学习，交流自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），进一步内化问题解决的策略：反思。教学中要让学生畅所欲言，谈谈自己的切身感受与实际收获，把“反思”更好的应用于今后的问题解决中。【第六环节】布置作业，固化策略1.活动内容布置作业：（1）教科书第17页问题第1，2题。（2）请你围绕教科书第17页问题第1（2）题，写一篇解题后的反思小作文。2.活动目的通过课后作业让学生巩固本节课所获得的立体图形中路径最短问题的解决方法，使学生再次体会反思这一问题解决策略的意义。五、教学反思1.要充分利用好教材提供的素材“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，通过经历“曲—平—曲”的路线探索过程，发展空间观念。2.尊重教材，领会编者意图以“蚂蚁怎么走最近”为载体，带领学生经历“问题—理解问题—拟订计划—实施计划—回顾反思”的过程，使问题解决的过程程序化。

第一章勾股定理回顾与思考一、学习任务分析勾股定理作为古代智慧的结晶和现代数学的重要基石，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数紧密联系起来，是几何学中的一颗璀璨明珠。勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值，更是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科基础性与广泛的应用性，在现代科学和日常生活中发挥着举足轻重的作用。本节课是复习课，以学生自主探索为主，通过小组之间的合作与交流，增强学生应用意识，培养学生多方面的能力。二、学生起点分析学生知识技能基础：通过本章的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及其逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，具备解决本课问题所需的知识基础。学生活动经验基础：在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有一定的合作学习的经验，具备一定的合作与交流的能力。八年级学生已初步建立几何直观、空间观念，有一定的推理能力，但还需进一步发展模型观念、应用意识，增强耐挫折能力和解决问题的信心。三、教学目标1.回顾本章知识，尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用，同时构建本章知识体系。2.在回顾与思考的过程中，建立模型观念，提高解决问题、反思问题的能力。3.在反思和交流的过程中，体验学习的乐趣。通过对勾股定理历史的再认识，感受中华优秀传统文化。教学重点：自主梳理本章的知识，构建自己的认知结构。教学难点：勾股定理及其逆定理的综合运用。四、教学过程设计【第一环节】知识结构梳理1.活动内容（1）直角三角形的边、角之间分别存在怎样的关系？回答问题：①如图，在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，a2+b2=c2。②下列各组数中，是勾股数的是（）。A．1，2，3B．0.3，0.4，0.5C．6，8，12D．10，20，24（2）举例说明如何判断一个三角形是否为直角三角形。回答问题：已知，在△ABC中，AB=k，AC=k−1，BC=3，当k=时，∠C=90°。（3）请你举出一个生活中的实际问题，并运用勾股定理解决它。回答问题：如图，有一个长、宽都是4m，高为6m的长方体形纸盒，一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么这只蚂蚁爬行的最短路程为（）。A．6mB．8mC．10mD．12m（4）你了解勾股定理的历史吗？请查阅资料，并与同伴进行交流。（5）梳理探索勾股定理的方法，你积累了哪些经验？以下是本章内容结构的一个参考框图。2.活动目的通过问题引导学生复习回顾与直角三角形有关的知识，避免枯燥的问答式分析，让学生的复习更具针对性。加强知识的前后联系，把勾股定理及其逆定理融入直角三角形的知识体系中，使知识系统化。学生通过回顾本章内容，梳理知识结构，形成知识系统，养成回顾与反思的习惯，获得知识系统的自主建构能力。3.注意事项在学生充分交流的基础上，教师引导学生形成本章的内容框架图。练习阶段，要留给学生独立思考的时间，使学生能够高效地合作交流。【第二环节】典例分析1.活动内容例1如图，方格纸中每个小方格的边长均为1cm，一只蚂蚁沿图中所示的折线由点A处爬到了点D处，它一共爬行了多少厘米？例2我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。已知大正方形的边长为10，直角三角形的两条直角边的比是3∶4，求小正方形的边长。变式1：在△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，求△ABC的面积。变式2：在△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，△ABC的周长为12，求△ABC的面积。变式3：在△ABC中，三条边长度的比为3∶4∶5，△ABC的周长为48，求△ABC的面积。例3如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点A是圆柱下底面外壁的一点，点B是上底面外壁与点A相对的一点，在点B正下方的水面紧贴内壁G处有一食物。（1）若圆柱高为9cm，底面半径为6cm，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度。（2）若圆柱高为9cm，底面半径为12πcm，水深2cm，一只蚂蚁在点①蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处，求它爬行的最短路程。②蚂蚁从点A处出发，求它吃到食物需要爬行的最短路程。2.活动目的通过不同情境的问题，让学生进一步体会勾股定理及其逆定理的应用，提高解决问题的能力。3.注意事项在应用勾股定理及其逆定理解决问题的过程中，渗透数形结合思想，借助图形分析数量关系。教学中，可先让学生独立思考，再进行交流，教师给予必要的指导。【第三环节】拓展提升1.活动内容例4勾股定理的证明方法多样，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理。下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程。将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2。证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b−a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+12又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝12c2+12a(b−a∴12b2+12ab＝12c2+12a(b∴a2+b2＝c2。请参照上述证法，完成下面的证明。将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°。求证：a2+b2＝c2。2.活动目的让学生通过例子举一反三，运用数形结合思想用两种方法表示出五边形ACBED的面积，建立方程解决问题，发展几何直观和模型观念。3.注意事项该问题有一定的难度，可以根据班级学生的实际情况有选择地开展。【第四环节】交流小结1.活动内容师生交流总结：（1）你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？（2）你在梳理本章知识的过程中，积累了哪些经验？与同伴进行分享。2.活动目的鼓励学生结合本节课的学习谈谈自己的收获和感想，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用。3.注意事项要让学生畅所欲言，表达自己的切身感受与实际收获，总结解决问题的思路与方法。【第五环节】课后作业1.活动内容（1）教科书复习题第2，6，9，11题。（2）补充题：如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，BC边上的中线AD=6cm，求以BC为边长的正方形的面积。（3）查阅资料，完成一份关于勾股定理的历史的报告。2.活动目的通过作业，进一步巩固所学知识。通过查阅资料，进一步完善知识体系，形成自己的认知结构。3.注意事项作业（3）可以作为长作业在本节课后完成，也可以在本节课课前完成。如果课前完成，可以在本节课开始时，让学生进行交流。五、教学设计反思本节课是复习课，主要是利用勾股定理及其逆定理来解决实际问题。勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，而勾股定理的逆定理作用是判定某一个三角形是否是直角三角形。针对八年级学生的知识基础和心理特征，本节课的设计思路是引导学生“‘做’数学”，编排上由浅入深，让学生在自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念。本节课注重发展学生几何直观，培养学生的模型观念和应用意识，增强学生学好数学的愿望和信心。让学生自己绘制本章知识思维导图，进一步体会所学知识之间的联系，在形成个性化知识结构的同时，提高总结和反思的能力。设计的练习题既考查了学生对基本知识的掌握情况，又注重培养学生综合运用所学知识的能力。

第二章实数1认识实数（第1课时）一、学习任务分析本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”的第一节第1课时。从整体课程内容看，属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域，课标内容要求为：了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。会求实数的相反数和绝对值。能用有理数估计一个无理数的大致范围。本节内容分2个课时，实数是继有理数之后，在中学阶段学习的数系的又一次扩充。引入无理数后，有理数的运算法则和运算规律在实数范围内仍然成立。相关学习活动涉及类比学习及归纳推理，为后续高中阶段学习从实数向复数的数系扩展再次积累活动经验。第1课时让学生感悟数系的扩充，辩证认识无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理，会根据要求画线段；借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是不是有理数。第2课时主要是让学生知道实数由有理数和无理数组成，并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的，结合勾股定理知识，在数轴上确定无理数的位置。本节课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数。二、学生起点分析学生知识技能基础：数系随着现实生活及数学学习的需求不断扩充，这体现了新数产生的必要性。代数运算的核心是研究数的性质、运算法则及运算律，学生已经经历过一次数系扩充，即七年级在引入负数的学习中，将数的研究范围扩充到有理数。利用数轴探究有理数的运算法则中体现的分类讨论、从特殊到一般、数形结合等数学思想为实数的学习奠定了基础。在前一章“勾股定理”的学习中，学生已经掌握勾股数的概念，但在探究过程中发现，并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是。这为引入“新数”奠定了必要性，同时，勾股定理的学习也为学生提供了数形结合的思考方法。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些拼图操作、网格画线段和借助计算器估算的活动，也具备与同学合作交流的经验。在负数的引入、意义及有理数加法的学习中，充分结合生活实际，在理解意义的基础上获取新知；在经历“观察、比较、分析、归纳”的合作交流过程中，积累了用数学的眼光观察问题、用数学的思维分析问题、用数学的语言表达和解决问题的经验。尤其是第一章用等积法说明勾股定理，解决了一些简单的现实问题，感受到了数系扩充的必要性和作用，获得了认识实数所必需的一些数学活动经验。三、教学目标1.在有理数认识的基础上，结合图形判断正方形的边长是不是有理数，感受客