圆锥曲线中定点与定值专题学案

1.通法：设而不求，韦达定理2.步骤：①设：设两交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2)，设直线方程；若直线过点(0,m),通常设为y=kx+m.(需另外讨论斜率不存在的情况)直线过点(n,0),通常设为x=ty+n(斜率为0时，即t=0的情况)②化：将斜率或向量的运算坐标化，出现x1+x2、x1x2与y1+y2或y1y2；③联：联立直线方程和曲线方法，得到关于x或y的方程；④达：运用韦达定理；⑤析：具体问题，个体分析.3.优点：方程常规，程序性强；缺点：运算量较大.一．直线过定点问题→→→(1)MA.MB为定值(3)kMA.kMB为定值(不为0)例1A、B是抛物线y2=4x上的两点，且满足OA丄OB(O为坐标原点)，求证：直线AB经过一个定点.例2已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上一点→→A使AF1.AF2=0且△AF1F2的面积为1.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点)，且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.例3已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线上一点P的横坐标为1，且到焦点F的距离为2.(1)求抛物线C的方程；(2)设A、B是抛物丝上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为ɑ和β,当ɑ、β变化且ɑ+β为定值θ(tanθ=2)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.例4已知F)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点N(x0,y0)(y0>0)为其上的一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M、N的A、B两点，且NFkNA.kNB=_2(1)求抛物线的方程和N点坐标；(2)判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l′，若存在，求出l′的方程和MAB面积的最小值；若不存在，说明理由.二．斜率为定值kMA+kMB=0→直线AB斜率为定值问题例5如图，过抛物线y2=4x上一定点P(1,2),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)，当PA与PB斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值.例6已知椭圆C过点A,两个焦点为(-1,0),(1,0)(1)求椭圆的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.练习1.已知圆M：x2+y2+2y_7=0和点N(0,1),动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E(1)求曲线E的方程；(2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜面积的最大值.例1：设AB：x=ty+m，A(x1,y1),B(x2,y2)，与抛物线y2=4x联立得y2_4ty_4m=0得=_4mt2+4mt2+m2=m2，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0即有m2_4m=0得m=4或m=0(舍去),AB方程为x=ty+4，故AB经过定点(4,0)例2(1)由已知得AAF2=2a，AAF22=4c2,A得a2=4,c2=5,故双曲线标准方程为24(2)设E(x1,y1),F(x2,y2)，联立y=kx+m和x_y2=1得(1_4k2)x2_8kmx_4m2_4=0得4以EF为直径的圆过右顶点D(2,0),所在DE丄DF，由此可得(x1_2)(x2_2)+y1y2=0，代入得33y=k或y=k故直线过定点(2,0)(舍去)或故直线EF为定点例3：PF得p=2，故抛物线方程为y2=4x(2)设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,y1),B(x2,y2)与抛物线y2=4x联立得y2_4ty_4m=0得y1y2=_4m,y1+y2=4t，OA、OB倾斜角的正切值tantan而tan(α+β)=2,即有线方法x=ty-2t-4=t(y-2)-4,过定点(-4,2)例4：(1)由已知得p=1，抛物线方程为y2=2x，NF=x0+1=5得x0=2得N(2,2)(2)设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,y1),B(x2,y2)与抛物线y2=2x联立得y2_2ty_2m=0得y1y2=_2m,y1+y2=2t，kNA.kNB=_._=._==_2,代入整理得m=2t+3，代入直线方程得x=ty+2t+3=t(y+2)+3,直线AB过定点(3,-2),而M(2,-2),ME||x轴ME=1，ΔMABy1_y当t=-2时，MAB面积取最小值2此时直线方程为x=-2y-1例5：设AB：x=ty+m，A(x1,y1),B(x2,y2)，与抛物线y2=4x联立得y2_4ty_4m=0得y1y2=_4m,y12 0得t=-1，故直线AB的斜率为-1例6：(1)AF1+AF2=4=2a得a=2,c=1,b=·3,故椭圆方程为(3)设直线AE的解析式为y=k与椭圆联立得(3+4k2)x2_(8k2_12k)x+4k2_12k_3=0,xEyE同理得xFyF由此可得kEF练习(1)PM+PN=2·2>MN，点P的轨迹为椭圆，方程为x2=1(2)设BC解析式为x=ty+m，C(x1,y1),C(x2,y2)与椭圆x2=1联立得(1+2t2)y2+4mty+2m2_2=0，y12y2x2=4整理得m=32