《趣味学杨辉三角｜让课堂告别枯燥 爱上学习》

1课程设计背景与杨辉三角基础认知演讲人课程设计背景与杨辉三角基础认知01趣味化杨辉三角教学的分层设计与实施02趣味化杨辉三角教学的实践反思与价值梳理03目录《趣味学杨辉三角｜让课堂告别枯燥爱上学习》我是一名拥有12年教龄的高中数学一线教师，在多年的教学实践中，我始终认为：数学本身从不枯燥，枯燥的是灌输式的教学方式。杨辉三角作为连接中国古代数学成就与现代高中数学核心知识点的典型载体，一直以来都被放在二项式定理的附属位置，多数教学仅停留在结论识记层面，浪费了极佳的探究性教学素材。本文我将结合自身教学实践，从教学背景、分层设计、实践反思三个维度展开，完整呈现趣味化杨辉三角教学的全流程设计。01课程设计背景与杨辉三角基础认知课程设计背景与杨辉三角基础认知任何趣味化教学都不能脱离数学本质，趣味是手段，落实核心素养、让学生真正理解知识才是目标，在设计教学前首先要明确杨辉三角的教学价值与传统教学的痛点。1杨辉三角的数学地位与教学价值杨辉三角是我国南宋数学家杨辉在1261年所著《详解九章算法》中记录的三角数表，比西方帕斯卡提出相同的数表早了近400年，本身就是极具价值的数学文化教育素材。从高中数学知识体系来看，杨辉三角是二项式系数的直观载体，它将抽象的组合数性质转化为可视化的图形规律，能够帮助学生建立代数与几何的关联。从能力培养来看，杨辉三角本身藏有多层不同难度的规律，适合不同层次的学生开展探究活动，能够培养学生从特殊到一般的逻辑推理能力，符合新课标对数学核心素养的培养要求。2传统杨辉三角教学的普遍痛点我梳理了近十年的常规教学设计，也和省内数十位同行交流过，发现传统杨辉三角教学普遍存在三个问题：第一，定位偏差，多数教师将杨辉三角作为二项式定理的补充内容，安排10-15分钟快速讲完结论，不留给学生探究空间；第二，呈现方式枯燥，直接给出数表和规律，让学生背诵记忆“每行和为2的n次方”“每个数等于肩上两数之和”等结论，学生完全体会不到发现规律的乐趣；第三，拓展不足，仅围绕二项式系数性质展开，没有挖掘杨辉三角和其他知识点的关联，学生认为杨辉三角就是一个没用的“数表游戏”，考完试就全部遗忘。我早年也采用过这样的教学方式，某次单元测试后我问学生杨辉三角有什么规律，全班只有三个学生能说出最基础的构造规则，那时候我就意识到，这种教学方式必须改变。02趣味化杨辉三角教学的分层设计与实施趣味化杨辉三角教学的分层设计与实施明确了杨辉三角的教学价值与传统教学的痛点后，我结合多年一线教学经验，设计了从入门到拓展分层递进的趣味化教学方案，整节课45分钟，所有环节都以学生自主探究为主，教师仅起到引导作用。1入门环节：低门槛动手探究构建认知基础趣味教学的第一步是降低入门门槛，让所有学生都能参与进来，我没有在上课一开始就给出杨辉三角的定义和数表，而是给学生抛出了一个简单的问题：“我们已经学过组合数Cnk，请大家把n从0开始的组合数，按照n的顺序排成一个三角形，第一行放n=0的组合数，第二行放n=1的组合数，以此类推，自己写出前8行，写的时候观察一下，相邻的数和下一行的数有什么关系？”这个问题没有任何难度，基础最差的学生也能根据组合数公式算出结果，我在巡堂的时候发现，超过八成的学生写到第四行就能自己发现规律：每个数都等于它肩膀上两个数的和。有几个学生算错了数，自己发现不对之后也重新调整，找出了规律。我还记得第一次上这个课的时候，有个平时数学考不及格的学生第一个说出了这个规律，坐下的时候满脸骄傲，那是我第一次看到他在数学课上有这样的状态。这个环节仅用8分钟，学生就自己完成了杨辉三角的构造，比教师直接给出结论印象深刻得多。2探究环节：分层递进挖掘趣味规律学生完成构造之后，我按照从浅到深的顺序设计了三层探究任务，满足不同层次学生的学习需求。2探究环节：分层递进挖掘趣味规律2.1表层规律：可视化验证基础性质第一层探究任务是找基础规律，我给学生提出要求：“大家观察自己写的杨辉三角，从行、斜行两个方向找规律，算一算对应的数值，验证你的猜想。”不到五分钟，学生就陆续找出了三个最核心的基础规律：第一，对称性，每行的数字从左到右和从右到左完全一样，对应组合数性质Cnk=Cnn-k，学生很快就把抽象的公式和具象的数表对应起来；第二，每行的和，第一行1=20，第二行2=21，第三行4=22，以此类推，第n+1行的和就是2n，刚好对应二项式定理中令a=b=1得到的结论，学生自己推导出来，完全不需要教师再解释；第三，斜行的和，从第二斜行开始，依次相加得到的结果是1,1,2,3,5,8...，有个平时喜欢看数学科普的学生直接喊出来：“这是斐波那契数列！”整个教室瞬间炸开了锅，学生都没想到看似普通的杨辉三角居然藏着这么有名的数列，探究热情一下就被点燃了。2探究环节：分层递进挖掘趣味规律2.2深层性质：连接核心知识点的探究在学生找到基础规律之后，我抛出第二层探究任务，引导学生连接核心知识点，探究杨辉三角的深层性质：“杨辉三角的本质是二项式系数表，大家结合我们学过的二项式性质，探究一下杨辉三角里数字的奇偶性、还有整除性有什么规律？”我给学生准备了空白的杨辉三角纸，让学生把所有的奇数涂黑，看看能得到什么图形。学生涂完之后都非常惊讶：涂黑之后的图形居然是一个大三角形里面套着无数个小三角形，也就是分形几何里经典的谢尔宾斯基三角形。我趁机给学生讲解：这个规律本质上就是二项式系数奇偶性的规律，对于任意质数p，第p行除了两端的1，所有的数都能被p整除。我让学生自己验证，p=2、3、5的时候都符合这个规律，有学生还主动试了p=7，验证之后兴奋地说真的符合。这个环节把抽象的数论性质、二项式性质变成了看得见的图形，学生理解起来非常轻松，也感受到了数学的统一美。2探究环节：分层递进挖掘趣味规律2.3跨界延伸：打破知识点边界的趣味拓展对于学有余力的学生，我设计了第三层拓展探究，引导学生发现杨辉三角和其他领域知识的关联，我给学生提示了三个方向：第一，路径计数问题，从杨辉三角的顶端走到某个位置，每一步只能向下走，一共有多少种走法？学生很快就发现，走法的数量刚好就是那个位置的数字，本质上就是组合数的实际意义；第二，概率问题，抛n次硬币，得到k次正面的频数刚好就是杨辉三角第n+1行的数字，概率分布和杨辉三角完全对应；第三，古代数学应用，我国古代数学家就是用杨辉三角来开高次方的，这比西方早了数百年，顺势渗透数学文化，增强学生的民族自豪感。我之前带学生做探究性作业，有个学生居然发现杨辉三角斜行的数字和黄金分割比有关，因为斐波那契数列相邻两项的比值极限就是黄金分割比，这个发现让我也非常惊喜，可见给学生空间，他们能产出远远超出教师预期的成果。3输出环节：探究性任务驱动知识内化课程的最后10分钟，我安排了成果分享环节，让不同的学生分享自己找到的规律，最后我布置的作业不是传统的练习题，而是让学生选择一个自己感兴趣的杨辉三角规律，写一篇1000字以内的小探究报告，学有余力的学生可以继续挖掘新的规律。这个作业没有标准答案，所有学生都能根据自己的能力完成，真正做到了分层教学。03趣味化杨辉三角教学的实践反思与价值梳理趣味化杨辉三角教学的实践反思与价值梳理在三次不同层次班级的教学实践后，我对趣味化杨辉三角教学的价值与需要注意的问题也有了更清晰的梳理，趣味化不是为了热闹，最终要落到核心素养的提升上。1趣味教学对学生核心素养的提升效果经过实践，我发现这种教学方式对学生核心素养的提升非常明显，主要体现在三个方面：1趣味教学对学生核心素养的提升效果1.1提升直观想象素养杨辉三角把抽象的代数规律转化为可视化的图形，学生通过动手构造、涂色观察，建立了代数与几何的关联，直观想象能力得到了锻炼，原来很多学生觉得组合数性质抽象，现在通过杨辉三角一眼就能看懂。1趣味教学对学生核心素养的提升效果1.2锻炼逻辑推理能力整个教学过程都是学生从特殊的数出发，自己猜想规律，再验证规律，从特殊到一般的逻辑推理过程完全由学生自己完成，不是教师灌输结论，学生的推理能力得到了实实在在的锻炼。1趣味教学对学生核心素养的提升效果1.3有效激发学习兴趣我课后做过问卷调查，92%的学生表示这节课比传统的数学课有意思，76%的学生原来觉得杨辉三角没用，上完课之后觉得数学很奇妙，有11%的学生主动找我要杨辉三角的拓展资料，想要进一步探究，这在传统教学中是几乎不可能出现的情况。开头我提到的那个对数学提不起兴趣的男生，后来那段时间学数学的积极性明显提高，这就是趣味教学的力量。2趣味教学需要把握的核心原则当然，趣味教学也不能走入“为了趣味而趣味”的误区，我认为需要把握两个核心原则：第一，所有趣味活动都要围绕数学本质展开，比如涂色找谢尔宾斯基三角形的活动，最后一定要落回到二项式系数的性质，不能让学生只记得玩，忘了学什么；第二，要分层设计，给不同层次的学生不同的任务，基础层学生掌握基础规律就可以，拓展层留给学有余力的学生，不能要求所有学生都达到同样的深度，避免给学生造成负担。结语综上，趣味学杨辉三角的核心，本质上是把“教师给结论”的灌输式教学，变成“学