思想方法　第1讲　函数与方程思想

思想方法高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.第1讲函数与方程思想思想概述函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.内容索引方法一方法二运用函数相关概念的本质解题利用函数性质解不等式、方程问题方法三构造函数解决数学问题方法一运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.例1√思路分析

[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0→f(x)为减函数→每一段都为减函数→x＝1左侧的函数值不小于右侧的函数值.对任意的实数x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0，可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；批注在函数的第一段中，虽然没有x＝1，但当x＝1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即f(1)，这是解题的一个点.(2)(2023·潍坊模拟)对于函数f(x)(x∈D)，若存在常数T(T>0)，使得对任意的x∈D，都有f(x＋T)≤f(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不增函数”.若函数f(x)＝kx＋cosx是“同比不增函数”，则实数k的取值范围是√批注本题关键是理解“T同比不增函数”的含义，对于恒成立问题，一般是分离参数，转化成求函数的最值问题.规律方法解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定义推导即可.方法二利用函数性质解不等式、方程问题函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题.例2思路分析

解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性.

(1)(2023·江西联考)已知函数f(x＋2)＝log3(3x＋3－x)，若f(a－1)≥f(2a＋1)成立，则实数a的取值范围为√设g(x)＝f(x＋2)＝log3(3x＋3－x)，则其定义域为R，因为g(－x)＝log3(3－x＋3x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，所以f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，设y＝3x＋3－x，则y′＝3xln3－3－xln3＝(3x－3－x)ln3，令y′>0，则3x－3－x>0，得x>0，所以y＝3x＋3－x在(0，＋∞)上单调递增，因为函数y＝log3x为增函数，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，因为f(a－1)≥f(2a＋1)，所以|a－1－2|≥|2a＋1－2|，所以(a－3)2≥(2a－1)2，化简得(a＋2)(3a－4)≤0，(2)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2023(x－1)＝－1，(y－1)3＋2023(y－1)＝1，则x＋y＝_____.思路分析

观察两方程形式特征→借助函数f(t)＝t3＋2023t的单调性、奇偶性→f(x－1)＝f(1－y)→求出x＋y.2令f(t)＝t3＋2023t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数.由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)，可得x－1＝1－y，则x＋y＝2.规律方法函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的图象和性质求解问题.方法三构造函数解决数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为果.例3

(2023·深圳模拟)已知ε>0，x，y∈，且ex＋εsiny＝eysinx，则下列关系式恒成立的为A.cosx≤cosy

B.cosx≥cosyC.sinx≤siny

D.sinx≥siny√因为0<ex,0<ey，所以cosx<cosy；当x＝y＝0时，满足ex＋εsiny＝