高中物理选修1步步高同步讲义第二章 4　单摆

DIERZHANG第二章4单摆

学习目标1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源(重点)。2.理解影响单摆周期的因素，能熟练应用单摆周期公式解决问题(重难点)。

内容索引一、单摆的回复力二、单摆的周期课时对点练一单摆的回复力如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。答案小球受重力和细线的拉力作用。(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？答案细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？答案小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零。(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？1.单摆的组成：由细线和

组成。2.理想化模型(1)细线的质量与小球相比可以忽略。(2)小球的

与线的长度相比可以忽略。(3)细线的

与细线长度相比可以忽略。(4)空气阻力与小球的

及细线的

相比可以忽略。小球知识梳理直径形变量重力拉力3.单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿

方向的分力，即F＝

。(2)回复力的特点：在摆角很

时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成

，方向总指向_________，即F＝－

x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。圆弧切线小正比平衡位置mgsinθ判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。答案均不能看成单摆。图(a)(d)摆动过程中摆长会发生变化，图(b)空气阻力不能忽略，图(c)球的直径与绳的长度相比不能忽略，图(e)绳的质量与小球相比不能忽略。思考与讨论深化总结(1)摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用。(

)(2)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。(

)(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。(

)(4)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。(

)××××(2023·青岛一中月考)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大例1√摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误。(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则A.t1和t3时刻摆线的拉力等大B.t2和t3时刻摆球速度相等C.t3时刻摆球速度正在减小D.t4时刻摆线的拉力正在减小例2√√由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线拉力大小相等，故A正确；t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误；t3时刻摆球正靠近平衡位置，速度正在增大，故C错误；t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线拉力也减小，故D正确。二单摆的周期1.单摆振动的周期与摆球质量

(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅

(选填“有关”或“无关”)，但与摆长

(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期

(选填“越大”“越小”或“不变”)。2.单摆周期公式(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家

首先提出的。(2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成

，与重力加速度g的二次方根成

，而与振幅、摆球质量

。无关无关有关越大惠更斯正比反比无关惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：(1)摆针走时偏快应如何校准？答案摆针走时偏快应调节螺母使圆盘沿摆杆下移。思考与讨论(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？答案调节螺母使圆盘沿摆杆下移。对单摆周期公式的理解1.成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。2.影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。3.对l、g的理解(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。深化总结(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。(1)摆球的质量越大，周期越大。(

)(2)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半。(

)××

周期是2s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8m/s2,月球上的自由落体加速度为1.6m/s2，π2取9.8。例3代入数据解得它在月球上做50次全振动所用的时间为(多选)(2022·白城市洮南十中月考)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆

摆长之比是9∶4B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在

地点的重力加速度之比为9∶4例4√√√

如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，则A.球A先到达C点B.球B先到达C点C.两球同时到达C点D.无法确定哪个球先到达C点例5√因此球B运动到C点所需的时间是故tA<tB，显然球A先到达C点，故选A。

如图所示为相同的小球(可看作质点)构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4(其中(3)图两小球均带负电荷，(4)图中振动系统处于匀加速下降的电梯内)，关于周期大小关系的判断，正确的是针对训练A.T1>T2>T3>T4 B.T4<T1＝T3<T2C.T4>T1＝T3>T2 D.T1<T2<T3<T4√四课时对点练考点一单摆及单摆的回复力1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是A.摆线质量不计B.摆线不伸缩C.摆球直径比摆线长度小得多D.摆角小于5°123456789101112基础对点练√√√单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确，D错误。1234567891011122.(多选)关于单摆，下列说法中正确的是A.单摆摆球的回复力指向平衡位置B.摆球经过平衡位置时加速度为零C.摆球运动到平衡位置时，所受回复力等于零D.摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成

正比123456789101112√√123456789101112根据回复力的特点可知摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置，故A正确；摆球经过平衡位置时，由于做圆周运动，故存在向心加速度，故B错误；摆球运动到平衡位置时，回复力等于零，故C正确；摆角很小时，摆球所受回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，故D错误。3.(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大√123456789101112√123456789101112由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2、t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误，D正确；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确。考点二单摆的周期4.(2022·洛南中学高二月考)一单摆由甲地移到乙地后，发现振动变快了，其变快的原因及调整的方法是A.g甲>g乙，将摆长缩短

B.g甲<g乙，将摆长放长C.g甲<g乙，将摆长缩短

D.g甲>g乙，将摆长放长123456789101112√1234567891011125.摆长是1m的单摆在某地区的周期是2s，则在同一地区A.摆长是0.5m的单摆的周期是0.707sB.摆长是0.5m的单摆的周期是1sC.周期是1s的单摆的摆长为2mD.周期是4s的单摆的摆长为4m123456789101112√1234567891011121234567891011126.(2023·烟台市月考)如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为√1234567891011121234567891011127.(多选)(2023·安庆一中月考)如图所示，三根细线在O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，△AOB为直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC长为L，下端C点处系着一个小球(忽略小球的半径，小球摆动时偏角θ<5°，重力加速度为g)，下列说法正确的是√√1234567891011128.(2022·临沂市兰山区期中)如图所示，摆长为L的单摆，周期为T。如果在悬点O的正下方B点固定一个光滑的钉子，OB的长度为OA长度的

，使摆球通过最低点向左摆动，碰到钉子后成为一个新的单摆，则下列说法正确的是A.摆球通过最低点向左摆动时绳子拉力不变B.摆球通过最低点向左摆动时绳子拉力变小C.单摆在整个振动过程中的周期将变为原来的D.单摆在整个振动过程中的周期将变为原来的123456789101112能力综合练√1234567891011129.(多选)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，且甲、乙两摆球质量相等，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是A.甲的摆长与乙的摆长相等B.甲的摆长比乙的摆长长C.甲的机械能比乙的大D.在t＝0.5s时有负向最大加速度的是乙摆123456789101112√√123456789101112甲摆的振幅为10cm，乙摆的振幅为7cm，则甲摆的振幅比乙摆的大，由于甲、乙两摆球质量相等，甲的机械能比乙的机械能大，故C正确；在t＝0.5s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度，故D错误。10.(多选)甲、乙两位同学分别使用图甲中所示的同一套装置，观察单摆做运动时的振动图像。已知两人实验时所用的摆长相同，落在同一木板上的细砂分别形成的曲线如图乙中N1、N2所示。下列关于两图线相关的分析正确的是A.N1表示砂摆振动的幅度较大，N2表示砂摆

振动的幅度较小B.N1与N2振动的周期相同C.N1对应的木板运动速度比N2对应的木板运动速度大D.N1对应的砂摆摆到最低点时，摆线的拉力比N2对应的拉力大123456789101112√√123456789101112由题图可知，N1对应的木板运动时间为T，N2对应的木板运动的时间为2T，则N1对应的木板运动速度比N2对应的木板运动速度大，故C正确；由题图乙可知，N1表示砂摆振动的幅度与N2表示砂摆振动的幅度相同，故A错误；12345678910111212345678910111211.(2022·辽宁省实验中学月考)如图所示，AO′段为半径为R的光滑圆弧面，BO′段为光滑斜面，相交处平滑过渡，已知圆弧弧长

≪R，且A、B等高，现有三个小球，a球从A点由静止释放沿圆弧下滑，b球从B点由静止释放沿