微专题三　三角函数与解三角形的结构不良问题

微专题三三角函数与解三角形的结构不良问题结构不良问题是指题目中给出了一些条件,但允选择一个或多个条件进行

解答的问题类型.这种题型要求学生在解题过程中具备更高的灵活性和判断力,因为不

同的选择会导致不同的解题路径和结果.在解决结构不良问题时,常见的情况有两类:(1)题目所给的可选择的条件中有一个是陷阱条件,若选择,则无法解题,需要在选择前

观察所给条件,发现条件的矛盾之处,从而排除陷阱条件;(2)题目所给的条件都可以选择,解答过程的繁杂程度相似,只要推理严谨、过程规范,

都会得满分,但计算要细心、准确,避免出现低级错误导致失分.类型一三角函数的图象与性质问题解决三角函数的图象与性质问题的关键是求出函数的解析式,先观察函数解析式

的参数数量与特征,再选择合适的条件,如果只有一个参数,通常选择一个条件即可,注

意条件与题目不矛盾;若有两个参数,通常需要两个条件,此时需注意选择的两个条件求

解的不是同一参数.典例1

(2024海淀二模,16)已知函数f(x)=2cos2

+

sinωx(ω>0),从条件①、条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在且唯一确定.(1)求ω的值;(2)若不等式f(x)<2在区间(0,m)内有解,求m的取值范围.条件①:f

=2;条件②:y=f(x)的图象可由y=2cos2x的图象平移得到;条件③:f(x)在区间

内无极值点,且f

-2=f

+2.注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一

个解答计分.解析

选择条件②:(1)因为f(x)=2cos2

+

sinωx,所以f(x)=cosωx+

sinωx+1=2cos

+1.因为y=f(x)的图象可由y=2cos2x的图象平移得到,所以y=f(x)的最小正π.因为ω>0,所以ω=2.(2)由(1)知f(x)=2cos

+1.因为x∈(0,m),所以2x-

∈

.因为不等式f(x)<2在区间(0,m)内有解,即cos

<

在区间(0,m)内有解,所以2m-

>

,即m>

.所以m的取值范围是

.选择条件③:(1)因为f(x)=2cos2

+

sinωx,所以f(x)=cosωx+

sinωx+1=2sin

+1.因为f

-2=f

+2,所以f

-f

=4.所以f(x)分别在x=

,x=-

时取得最大值、最小值.所以f(x)的最小正T≤2×

=π.因为f(x)在区间

内无极值点,所以f(x)的最小正T≥2×

=π.所以T=π.因为ω>0,所以ω=

=2.(2)由(1)知f(x)=2cos

+1,以下同选择条件②.若选择条件①:无法确定唯一的函数f(x),故不能选择.变式训练1-1

(关键元素变式)(2024门头沟一模,17)设函数f(x)=2sin(ωx+φ)

,已知∀x∈R,f(x)≤f

,f(x)在区间

上单调,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在.(1)求ω,φ的值;(2)当x∈

时,若曲线y=f(x)与直线y=m恰有一个公共点,求m的取值范围.条件①:

为函数y=f(x)的图象的一个对称中心;条件②:直线x=

为函数y=f(x)的图象的一条对称轴;条件③:函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象平移得到.注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一

个解答计分.解析

(1)因为f(x)=2sin(ωx+φ),所以f(x)的最大值为2,又因为∀x∈R,f(x)≤f

,所以f

=2.选择条件①.因为f(x)在区间

上单调,且

为函数y=f(x)的图象的一个对称中心,所以由正弦函数的性质得

=

-

=

,故T=π.因为ω>0,所以ω=

=2,此时f(x)=2sin(2x+φ).解法一:当x=

时,2×

+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=

+2kπ,k∈Z.因为|φ|<

,所以φ=

,此时k=0.解法二:当x=

时,2×

+φ=

+2kπ,k∈Z,即φ=

+2kπ,k∈Z.因为|φ|<

,所以φ=

.此时k=0.选择条件②.因为f(x)在区间

上单调,且直线x=

为函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以由正弦函数的性质得

=

-

=

,故T=π.因为ω>0,所以ω=

=2,此时f(x)=2sin(2x+φ).解法一:当x=

时,2×

+φ=

+2kπ,k∈Z,即φ=

+2kπ,k∈Z.因为|φ|<

,所以φ=

,此时k=0.解法二:当x=

时,2×

+φ=

+2kπ,k∈Z,即φ=

+2kπ,k∈Z,因为|φ|<

,所以φ=

,此时k=0.若选择条件③:因为f(x)与y=sin2x的振幅不一致,故不能选择.(2)由(1)得f(x)=2sin

.因为-

≤x≤

,所以-

≤2x+

≤

,当且仅当2x+

=

,即x=

时,f(x)取得最大值2;当且仅当2x+

=-

,即x=-

时,f(x)取得最小值-1.又2x+

=

,即x=

时,f

=2sin

=1,所以m的取值范围是[-1,1)∪{2}.变式训练1-2

(关键元素变式)(2024朝阳一模,16)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)

A>0,ω>0,0<φ<

的最小正π.(1)若A=1,f(0)=

,求φ的值;(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,确定f(x)的解析式,并

求函数h(x)=f(x)-2cos2x的单调递增区间.条件①:f(x)的最大值为2;条件②:f(x)的图象关于点

中心对称;条件③:f(x)的图象经过点

.解析

因为f(x)的最小正T=

=π,ω>0,所以ω=2.所以f(x)=Asin(2x+φ).(1)因为A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又f(0)=sinφ=

,且0<φ<

,所以φ=

.(2)选条件①②.因为f(x)的最大值为2,所以A=2.因为f(x)的图象关于点

中心对称,所以2×

+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-

(k∈Z).因为0<φ<

,所以φ=

.所以f(x)=2sin

.所以h(x)=2sin

-2cos2x=2

-2cos2x=

sin2x-cos2x=2sin

.令-

+2kπ≤2x-

≤

+2kπ(k∈Z),得-

+kπ≤x≤

+kπ(k∈Z).所以h(x)的单调递增区间为

(k∈Z).选条件①③.因为f(x)的最大值为2,所以A=2.因为函数f(x)的图象经过点

,所以f

=

,即sin

=

.因为0<φ<

,所以

<φ+

<

.所以φ+

=

,即φ=

.所以f(x)=2sin

.下同选条件①②.选条件②③.因为f(x)的图象关于点

中心对称,所以2×

+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-

(k∈Z).因为0<φ<

,所以φ=

.所以f(x)=Asin

.因为函数f(x)的图象经过点

,所以Asin

=

,解得A=2.所以f(x)=2sin

.下同选条件①②.类型二正弦定理、余弦定理解三角形问题在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要

用,要抓住题目中的隐藏信息.(1)如果等式中含有角的余弦或边的二次式,则考虑用余弦定理;(2)如果等式中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理;(3)以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.典例2

(2024通州一模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

=

.(1)求A的大小;(2)若a=2

,b=2,D为BC边上的一点,再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选一个作为已知,求△ABD的面积.条件①:

=

(

+

),条件②:∠BAD=∠CAD.解析

(1)因为

=

,所以由正弦定理可得

=

,即sinAcosC=2cosAsinB-cosAsinC.所以sinAcosC+cosAsinC=2cosAsinB.所以sin(A+C)=2cosAsinB.所以sinB=2cosAsinB.因为B∈(0,π),所以sinB≠0.所以cosA=

.因为A∈(0,π),所以A=

.(2)若选条件①:

=

(

+

),所以D为BC中点,所以BD=CD=

.因为a=2

,b=2,∠BAC=

,所以由余弦定理得12=4+c2-2×2·c·

,即c2-2c-8=0.所以c=4(舍负).因为c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形,所以cosB=

=

,则B=

.所以S△ABD=

×4×

×

=

.所以△ABD的面积为

.若选条件②:∠BAD=∠CAD,所以∠BAD=∠CAD=

∠CAB=

.因为a=2

,b=2,∠BAC=

,所以由余弦定理得12=4+c2-2×2·c·

,即c2-2c-8=0.所以c=4(舍负).因为c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形,所以cosB=

=

,则B=

=∠BAD,所以AD=BD.所以S△ABD=

×4×2×

=

.所以△ABD的面积为

.变式训练2-1

(关键元素变式)(2024北大附中月考,17)在△ABC中,2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)·sinC.(1)求A;(2)从条件①,条件②,条件③,条件④这四个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且

唯一确定,若D是BC边上的中点,求△ADB的面积.条件①:cosB=-

,c=2;条件②:b+a=4+2

,c=2;条件③:sinC=

,c=4;条件④:a=

,b=

.解析

(1)已知2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,所以由正弦定理得2a2=b(2b-c)+c(2c-b),整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论得cosA=

=

=

,又因为A为△ABC的内角,即0<A<π,所以A=

.(2)条件①、④均不满足题意,条件②、③满足题意,故可从条件②、③中任选其一求

解.理由如下:由(1)可知A=

.若选择条件④:a=

,b=

.则由正弦定理得

=

,即

=

,解得sinB=

,因为sinB=sin(π-B)=

>

=sin

=sinA,所以此时B有两个值,即此时△ABC存在但不唯一确定,故条件④不满足题意.若选择条件①:cosB=-

,c=2.因为cosB=-

=-

<-

=cos

,又函数y=cosx在(0,π)上单调递减,所以B>

,但此时A+B+C>A+B>

+

=π,这与三角形内角和定理矛盾,故条件①不满足题意.若选择条件③:sinC=

,c=4.因为sinC=

,且0<C<π,所以C=

或C=

,但是当C=

时,有A+B+C>A+C=

+

>

+

=π,这与三角形内角和定理矛盾,所以只能C=

.由

=

,得

=

,解得a=2

,此时sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin

=

×

+

×

=

.此时△ABC存在且唯一确定,若D是BC边上的中点,则S△ADB=

S△ACB=

×

acsinB=

×2

×4×

=3+

.若选择条件②:b+a=4+2

,c=2.在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=b2+22-2b×2×

,整理得a2=(b-1)2+3,又因为(b-1)+a=3+2

,即a=(3+2

)-(b-1),所以(b-1)2+3=[(3+2

)-(b-1)]2,整理得2×(3+2

)×(b-1)=(3+2

)2-3,即2×(3+2

)×(b-1)=18+12

,所以2×(b-1)=6,即b=4,结合a=(3+2

)-(b-1)可知,a=(3+2

)-(b-1)=2

,此时a2+c2=(2

)2+22=16=42=b2,所以由勾股定理的逆定