微专题五　三角函数与解三角形中的结构不良问题

微专题五三角函数与解三角形中的结构不良问题1.(2025门头沟一模,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin2A=

asinB.(1)求∠A;(2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存

在且_____确定,求△ABC的面积.条件①:b=2

,a=2;条件②:b=2

,a+c=4;条件③:AB边上的高h=

,a=

.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,

按第一个解答计分.唯一解析

(1)由bsin2A=

asinB及正弦定理,得sinBsin2A=

sinAsinB,又B∈(0,π),所以sinB≠0,得sin2A=

sinA,则2sinAcosA=

sinA,又A∈(0,π),所以sinA≠0,得cosA=

,所以A=

.(2)选条件①:b=2

,a=2.由(1)知,A=

,由正弦定理得sinB=

=

=

,所以存在B=

或B=

两种情况,即△ABC存在,但不唯一,故不选此条件.选条件②:b=2

,a+c=4.cosA=

,即

=

,解得c=2,则a=2,故△ABC存在且唯一确定,所以△ABC的面积S=

bcsinA=

×2×2

×

=

.选条件③:AB边上的高h=

,a=

.

如图,AB边上的高h=CD=

,由(1)知A=

,在Rt△ACD中,AC=

=2

,由余弦定理得cosA=

=

=

,即AB2-6AB-7=0,得AB=-1(舍去)或AB=7,故△ABC存在且唯一确定,所以△ABC的面积S=

AB·AC·sinA=

×7×2

×

=

.2.(2025西城一模,17)在△ABC中,acosB+bcosA=4ccosA.(1)求cosA的值;(2)若a=2

,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高.条件①:B=

;条件②:b=6;条件③:cosC=

.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,

按第一个解答计分.解析

(1)由正弦定理

=

=

,及acosB+bcosA=4ccosA,得sinAcosB+sinBcosA=4sinCcosA,即sin(A+B)=4sinCcosA.由A+B+C=π,得sin(A+B)=sinC,所以sinC=4sinCcosA.由0<C<π,得sinC≠0,所以cosA=

.(2)选条件①:B=

,因为0<cosA=

<

=cos

,且函数y=cosx在区间

上单调递减,故

<A<

,又B=

,得A+B>π,与A+B+C=π矛盾,故①不成立.选条件②:b=6,由A∈(0,π),且cosA=

,得sinA=

=

.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得(2

)2=62+c2-2×6×c×

,整理得c2-3c-4=0,解得c=-1(舍)或c=4.设BC边上的高为h,则三角形面积S=

bcsinA=

ah,所以h=

=

=

.选条件③:cosC=

,由A∈(0,π),且cosA=

,得sinA=

=

.由C∈(0,π),且cosC=

,得sinC=

=

.所以sinB=sin(A+C)=

×

+

×

=

.由正弦定理得b=

=

=6,所以BC边上的高h=bsinC=6×

=

.3.(2024房山一模,17)在△ABC中,cos2A=-

,a=7,且a<c.(1)求A的大小;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯

一确定,求△ABC的面积.条件①:c=8,C为锐角;条件②:cos2C=

;条件③:sinB=

.解析

(1)在△ABC中,因为a<c,所以A<C.所以0<A<

.所以0<2A<π.因为cos2A=-

,所以2A=

,所以A=

.(2)选条件①.因为A=

,所以sinA=

.又因为a=7,c=8,所以由

=

,得

=

.所以sinC=

.因为sin2C+cos2C=1,C为锐角,所以cosC=

=

,由c2=a2+b2-2abcosC得82=72+b2-2b×7×

,整理得b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍),所以b=5,所以S△ABC=

bcsinA=

×5×8×

=10

.选条件③.因为A=

,所以sinA=

.又因为a=7,sinB=

,所以由

=

,得

=

.所以b=3.由a2=b2+c2-2bccosA得72=32+c2-2×3c×

.整理得c2-3c-40=0,解得c=8或c=-5(舍),所以c=8,所以S△ABC=

bcsinA=

×3×8×

=6

.不可选条件②,理由如下:由cos2C=

得cosC=±

,此时均满足A+C<π且A<C,三角形不唯一确定,故不可选条件②.4.(2024通州一模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

=

.(1)求A的大小;(2)若a=2

,b=2,D为BC边上的一点,再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选一个作为已知,求△ABD的面积.条件①:

=

(

+

),条件②:∠BAD=∠CAD.解析

(1)因为

=

,所以由正弦定理可得

=

,即sinAcosC=2cosAsinB-cosAsinC.所以sinAcosC+cosAsinC=2cosAsinB.所以sin(A+C)=2cosAsinB.所以sinB=2cosAsinB.因为B∈(0,π),所以sinB≠0.所以cosA=

.因为A∈(0,π),所以A=

.(2)若选条件①:

=

(

+

),所以D为BC中点,所以BD=CD=

.因为a=2

,b=2,∠BAC=

,所以由余弦定理得12=4+c2-2×2·c·

,即c2-2c-8=0.所以c=4(舍负).因为c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形,所以cosB=

=

,则B=

.所以S△ABD=

×4×

×

=

.所以△ABD的面积为

.若选条件②:∠BAD=∠CAD,所以∠BAD=∠CAD=

∠CAB=

.因为a=2

,b=2,∠BAC=

,所以由余弦定理得12=4+c2-2×2·c·

,即c2-2c-8=0.所以c=4(舍负).因为c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形,所以cosB=

=

,则B=

=∠BAD,所以AD=BD.所以S△ABD=

×4×

=

.所以△ABD的面积为

.5.(2024朝阳二模,16)在△ABC中,A为锐角,且sin2A=

cosA.(1)求cosA的值;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,求c.条件①:cosB=

;条件②:a=9;条件③:b=10.注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.解析

(1)因为sin2A=

cosA,所以2sinAcosA=

cosA.因为A为锐角,所以cosA>0,所以sinA=

.又因为sin2A+cos2A=1,所以cosA=

=

.(2)选条件①②:因为cosB=

,0<B<π,所以sinB=

=

.由

=

,得b=

=

=10.由cosB=

,得

=

,即c2-6

c-19=0,又c>0,所以c=8+3

.选条件①③:因为cosB=

,0<B<π,所以sinB=

=

.由

=

,得a=

=

=9.下同选条件①②.选条件②③:由cosA=

,得

=

,即c2-16c+19=0,解得c=8±3

.经检验,符合题意.6.(2024朝阳一模,16)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)

的最小正π.(1)若A=1,f(0)=

,求φ的值;(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,确定f(x)的解析式,并

求函数h(x)=f(x)-2cos2x的单调递增区间.条件①:f(x)的最大值为2;条件②:f(x)的图象关于点

中心对称;条件③:f(x)的图象经过点

.注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.解析因为f(x)的最小正T=

=π,ω>0,所以ω=2,所以f(x)=Asin(2x+φ).(1)因为A=1,最小正π,所以f(x)=sin(2x+φ).又f(0)=sinφ=

,且0<φ<

,所以φ=

.(2)选条件①②.因为f(x)的最大值为2,所以A=2.因为f(x)的图象关于点

中心对称,所以2×

+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-

(k∈Z).因为0<φ<

,所以φ=

.所以f(x)=2sin

.所以h(x)=2sin

-2cos2x=2

-2cos2x=

sin2x-cos2x=2sin

.令-

+2kπ≤2x-

≤

+2kπ(k∈Z),得-

+kπ≤x≤

+kπ(k∈Z).所以h(x)的单调递增区间为

(k∈Z).选条件①③.因为f(x)的最大值为2,所以A=2.因为函数f(x)的图象经过点

,所以f

=

,即sin

=

.因为0<φ<

,所以

<φ+

<

.所以φ+

=

,即φ=

.所以f(x)=2sin

.下同选条件①②.选条件②③.因为f(x)的图象关于点

中心对称,所以2×

+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-

(k∈Z).因为0<φ<

,所以φ=

.所以f(x)=Asin

.因为函数f(x)的图象经过点

,所以Asin

=

,解得A=2.所以f(x)=2sin

.下同选条件①②.7.(2024门头沟一模,17)设函数f(x)=2sin(ωx+φ)

,已知∀x∈R,f(x)≤f

,f(x)在区间

上单调,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在.(1)求ω,φ的值;(2)当x∈

时,若曲线y=f(x)与直线y=m恰有一个公共点,求m的取值范围.条件①:

为函数y=f(x)的图象的一个对称中心;条件②:直线x=

为函数y=f(x)的图象的一条对称轴;条件③:函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象平移得到.注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一

个解答计分.解析

(1)因为f(x)=2sin(ωx+φ),所以f(x)的最大值为2,又因为∀x∈R,f(x)≤f

,所以f

=2.选择条件①.因为f(x)在区间

上单调,且

为函数y=f(x)的图象的一个对称中心,所以由正弦函数的性质得

=

-

=

,故T=π.因为ω>0,所以ω=

=2,此时f(x)=2sin(2x+φ).解法一:所以当x=

时,2×

+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=

+2kπ,k∈Z.因为|φ|<

,所以φ=

,此时k=0.

注意

处函数图象下降,如果写成2×

+φ=kπ扣分

解法二:所以当x=

时,2×

+φ=

+2kπ,k∈Z,即φ=

+2kπ,k∈Z.因为|φ|<

,所以φ=

.此时k=0.

注意x=

时,f(x)取最大值,如果写成2×

+φ=

+kπ扣分

选择条件②.因为f(x)在区间

上单调,且直线x=

为函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以由正弦函数的性质得

=

-

=

,故T=π.因为ω>0,所以ω=

=2,此时f(x)=2sin(2x+φ).解法一:所以当x=

时,2×

+φ=

+2kπ,k∈Z,即φ=

+2kπ,k∈Z.因为|φ|<

,所以φ=

,此时k=0.

注意x=

时,f(x)取最小值,如果写成2×

+φ=

+kπ扣分

解法二:所以当x=

时,2×

+φ=

+2kπ,k∈Z,即φ=

+2kπ,k∈Z,因为|φ|<

,所以φ=

,此时k=0.

注意x=

时,f(x)取最大值,如果写成2×

+φ=

+kπ扣分

若选择条件③.因为f(x)与y=sin2x的振幅不一致,故不能选择.(2)由(1)得f(x)=2sin

.因为-

≤x≤

,所以-

≤2x+

≤

,当且仅当2x+

=

,即x=

时,f(x)取得最大值2;当且仅当2x+

=-

,即x=-

时,f(x)取得最小值-1.又2x+

=

,即x=

时,f

=2sin

=1,所以m的取值范围是[-1,1)∪{2}.8.(2025顺义一模,17)已知函数f(x)=sin

+

cosωx(ω>0).(1)求f(0)的值;(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件,使函数f(x)存在且唯一确

定.当f(x)在区间(0,a)(a>0)上仅有一个零点时,求a的取值范围.条件①:f(x)在

上是单调函数;条件②:y=f(x)图象的一个对称中心为

;条件③:对任意的x∈R,都有f(x)≤f

成立.注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.解析

(1)因为f(x)=sin

+

cosωx=sinωxcos

-cosωxsin

+

cosωx=

sinωx+

cosωx=sin

,所以f(0)=sin

=

.(2)对于条件①:f(x)在

上是单调函数,因为f(x)在

上是单调函数,所以

-

≤

,即

≤

,又因为ω>0,所以0<ω≤2,由-

+2k1π≤ωx+

≤

+2k1π(k1∈Z),解得-

+

≤x≤

+

(k1∈Z),所以函数f(x)=sin

的单调递增区间为

(k1∈Z),若函数f(x)在

上单调递增,则

(k1∈Z),即

(k1∈Z),当k1=0时,

解得0<ω≤

,当k1=1时,

无解,k1取其他值时不等式组无解;由

+2k2π≤ωx+

≤

+2k2π(k2∈Z),解得

+

≤x≤

+

(k2