2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 3.3.1 抛物线及其标准方程

第三章

圆锥曲线的方程3.3

抛物线3.3.1

抛物线及其标准方程

(教师独具内容)课程标准：1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．教学重点：抛物线的定义及其标准方程的应用．教学难点：抛物线标准方程的四种形式．核心素养：通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l_______点F)的___________的点的轨迹叫做抛物线.______叫做抛物线的焦点，_______叫做抛物线的准线．[说明]

定点F不在定直线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件．若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过定点F且和定直线l垂直的直线．不经过距离相等点F直线l图形标准方程焦点坐标准线方程_____________________________________________________________知识点二抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)_____________________________________________________________x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)[注意]

参数p的几何意义是焦点到准线的距离，恒为正，且p值越大，抛物线开口越大．1．(焦点、准线)抛物线y2＝4x的焦点坐标为________，准线方程为________．2．(焦点到准线的距离)若抛物线的方程为x＝2ay2(a>0)，则焦点到准线的距离为_____．3．(抛物线的标准方程)焦点坐标为(0，2)的抛物线的标准方程为_________．4．(抛物线的定义)抛物线y2＝4x上的点P与焦点的距离是5，则点P的坐标是_________．(1，0)x＝－1x2＝8y(4，±4)核心素养形成题型一抛物线的标准方程

求符合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[条件探究]如果把本例(1)中的“点(－3，2)”改为“点(1，2)”，如何解答？【感悟提升】

求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程．题型二抛物线定义的应用

(2)抛物线x2＝2py(p>0)上的点(x0，7)与焦点的距离为10，则p＝____．6(3)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点．若点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．[结论探究]如果本例(3)的问题改为“若点A(0，2)，求点P与点A的距离和它到该抛物线准线的距离之和的最小值”，如何解答？【感悟提升】

抛物线定义的应用抛物线的定义中指明了抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质．【跟踪训练】

2．(1)若抛物线C：x2＝2py(p>0)上的点P与焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的标准方程是(

)A．x2＝4y B．x2＝6yC．x2＝8y D．x2＝16y(2)(2025·新课标Ⅱ卷，6)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(

)A．3 B．4C．5 D．6(3)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则点P到直线l1，l2的距离之和的最小值为______．题型三求与抛物线有关的轨迹方程已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．【感悟提升】

求轨迹方程的方法求与抛物线有关的轨迹方程，既可以用求轨迹方程的方法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点与定点的距离等于到定直线的距离的条件．【跟踪训练】

3．平面上动点P与定点F(1，0)的距离比它到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．题型四抛物线的实际应用问题

“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知|AB|＝44m，∠A＝45°，|AC1|＝4m，|C1C2|＝5m，|C2D2|＝5.55m.(1)求立柱C1D1及横梁D1D8的长；(2)求抛物线D1OD8的方程和桥梁的拱高|OH|.【感悟提升】

求解抛物线实际应用问题的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系；(2)假设：设出合适的抛物线的标准方程；(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程；(4)求解：求出所要求的量；(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．【跟踪训练】

4.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度．随堂水平达标1．若动点P与定点F(1，1)的距离与它到定直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(

)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线4．若直线x＋y－2＝0经过抛物线y＝mx2的焦点，则m＝_____．5．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm.我们知道，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线，那么为了获得平行光线，灯泡应安装在对称轴上距顶点约_____mm处．(精确到1mm)35课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点利用抛物线的定义求点的坐标抛物线标准方程的应用抛物线标准方程的应用相关点法求与抛物线有关的轨迹方程抛物线的实际应用问题抛物线定义的应用求点到准线的距离题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点抛物线标准方程的应用抛物线的定义；抛物线标准方程的应用抛物线的标准方程、准线方程；定义法求与抛物线有关的轨迹方程抛物线定义的应用抛物线定义的应用阿波罗尼斯圆；利用抛物线的定义解决最值问题抛物线的实际应用问题一、选择题1．若抛物线y2＝8x上一点P与其焦点的距离为10，则点P的坐标为(

)A．(8，8) B．(8，－8)C．(8，±8) D．(－8，±8)解析：设P(xP，yP)，因为点P与焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，所以xP－(－2)＝10，则xP＝8，则yP＝±8，所以点P的坐标为(8，±8)．故选C.解析：抛物线方程可化为x2＝16y，焦点F(0，4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线方程，得(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16.故选A.解析：如图，连接FQ，FM，准线l与x轴交于点H，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ.又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，又M为PQ的中点，所以FM⊥PQ，则|QM|＝|HF|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|PF|＝|PQ|＝4，又四边形FRMQ为平行四边形，所以|FR|＝|QM|＝2.故选AC.6．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴交于点R，若∠NRF＝60°，则下列结论中正确的是(

)A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1C．|PF|＝4 D．|FR|＝48．在平面直角坐标系Oxy中，点B与点A(－1，0)关于原点O对称．点P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，且直线AP与BP的斜率之积为2，则x0＝________．三、解答题10．(1)已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)与焦点的距离为5，求m的值、抛物线的标准方程和准线方程；(2)已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．(2)设点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为R，∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，∴|PC|＝R＋5，∴|PC|＝|x|