2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 2.5.2 圆与圆的位置关系

第二章直线和圆的方程§2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.2圆与圆的位置关系

(教师独具内容)课程标准：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．教学重点：圆与圆的五种位置关系及其判定方法．教学难点：用坐标法探求圆与圆位置关系的过程．核心素养：通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一圆与圆的位置关系(1)两圆相交，有_____公共点；(2)两圆相切，包括外切与内切，只有_____公共点；(3)两圆相离，包括外离与内含，_____公共点．[拓展]

两圆位置关系与两圆公切线条数的关系两个一个没有位置关系外离外切相交内切内含公切线条数43210(2)几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系图示d与r1，r2的关系外离d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2内切d＝|r1－r2|内含d<|r1－r2|[说明]

代数法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系．1．(圆与圆位置关系的判断)圆(x＋2)2＋y2＝1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝4的位置关系为(

)A．内切B．相交C．外切D．外离2．(两圆内切)已知两圆的半径分别为1和5，若两圆内切，则圆心距是____．3．(两圆公共弦问题)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20交于A，B两点，则直线AB的方程是__________．4．(两圆相交)已知圆O1与圆O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则r的取值范围是________．4x＋3y＝0(1，3)核心素养形成题型一圆与圆位置关系的判定

(1)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25，则两圆的位置关系为______．相交(2)当实数k为何值时，圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？【感悟提升】

几何法求解两圆位置关系的有关问题的步骤(1)把圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆的圆心距d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．注意：判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果．【跟踪训练】1．(1)圆x2＋y2－4x＝0与圆(x－3)2＋(y＋3)2＝9的公切线共有(

)A．1条 B．2条

C．3条 D．4条(2)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：当m为何值时，①圆C1与圆C2外切？②圆C1与圆C2内含？题型二两圆相切的有关问题

(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为________________________________________．(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169【感悟提升】

处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切、外切两种情况讨论；(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题．注意：两圆相切时，两圆圆心的连线过切点．【跟踪训练】

2．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程．题型三两圆相交的有关问题求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[结论探究]本例若求公共弦所在直线被圆(x－3)2＋(y－1)2＝9所截得的弦长，如何求解？【感悟提升】

1．圆系方程一般地，过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.3．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．注意：两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦．【跟踪训练】3．求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．随堂水平达标1．已知圆C1：x2＋y2＝1和C2：x2＋y2－6x＋5＝0，则两圆的位置关系是(

)A．内切 B．外切

C．相交 D．外离解析：因为圆C1：x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，圆C2：x2＋y2－6x＋5＝0，即(x－3)2＋y2＝4的圆心为(3，0)，半径为2，所以两圆的圆心距|C1C2|＝3，又两圆的半径和为2＋1＝3，所以圆C1与圆C2的位置关系是外切．故选B.2．圆O1：x2＋y2－2x＋4y－4＝0与圆O2：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0的公切线有(

)A．4条 B．3条

C．2条 D．1条4．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1)．若圆O2与圆O1外切，则圆O2的方程为________________________．5．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为___，最大值为___．解析：如图，线段OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当P在P′处，Q在Q′处时，|PQ|最小，为|P′Q′|＝|OC|－1－1＝1.同理可得，|PQ|的最大值为|OC|＋1＋1＝5.15课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点圆与圆位置关系的判定由两圆公切线条数求参数由两圆相切求动圆圆心的轨迹方程由两圆有公共点求参数的取值范围两圆公切线斜率的最值两圆相交的有关问题求过两圆交点的圆的方程题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点求与圆相切的半径最小的圆的方程求与多圆相切的圆的方程由两圆相切求参数；求两圆的公切线方程由两圆有公共点求参数的取值范围由两圆交点求轨迹长度由两圆相切求圆的方程；与公共弦有关的探究问题两圆公共弦所在直线过定点问题一、选择题1．圆C1：x2＋y2－2x＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－8y＝0的位置关系为(

)A．外切 B．内切C．相交 D．外离2．若圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝m(m>0)与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0有3条公切线，则m＝(

)A．1 B．2C．3 D．43．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(

)A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9二、填空题7．经过点M(2，－2)以及圆x2＋y2－6x＝0与x2＋y2＝4交点的圆的方程为__________________．解析：设过圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＝4交点的圆的方程为x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0

①，把点M(2，－2)代入①，得λ＝1，把λ＝1代入①并化简，得x2＋y2－3x－2＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－3x－2＝0.x2＋y2－3x－2＝08．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是____________________．(x－2)2＋(y－2)2＝2三、解答题10．已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：x2＋y2－6x－8y＋m＝0相外切．(1)求m的值；(2)若直线l与圆O和圆C都相切，求满足条件的所有l的方程．11．已知直线l：(3m＋2)x＋(m－3)y－3m＋9＝0，若曲线C：(x－4)2＋y2＝r2(r>0)上存在点与点P(－1，3)关于直线l对称，则r的取值范围为(

)A．[3，6] B．[3，5]C．[4，6] D．[4，5]12．已知过原点O的直线与圆C：x2＋