必修5解三角形单元测试题-

一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=3，b=4，∠C=60°，则c的值为()A.√13B.5C.√37D.72.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定3.在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则∠B的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°4.对于△ABC，下列命题中正确的是()A.若sinA>sinB，则A>BB.若cosA>cosB，则A>BC.若tanA>tanB，则A>BD.若A>B，则sinA<sinB5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是每小时()A.5海里B.5√3海里C.10海里D.10√3海里二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)6.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=45°，a=2，则b=__________.7.在△ABC中，若a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积为__________.8.在△ABC中，若a²=b²+c²+bc，则∠A的大小为__________.9.已知△ABC的面积为√3，且b=2，c=2，则∠A=__________.三、解答题(本大题共3小题，共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分14分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=√3，b=√2，∠B=45°.(Ⅰ)求∠A的大小；(Ⅱ)求边c的长.11.(本小题满分15分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cosA=4/5，b=5c.(Ⅰ)求sinC的值；(Ⅱ)若△ABC的面积S=3，求a的值.12.(本小题满分16分)某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D处，此时测得CD距离为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？四、附加题(本小题满分10分，不计入总分，供学有余力的同学选做)13.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2cos²(A/2)=√3sinA，且a=√3.(Ⅰ)求∠A的大小；(Ⅱ)求△ABC周长的最大值.---参考答案与评分标准一、选择题1.A2.B3.C4.A5.C二、填空题6.2√27.15√7/48.120°9.60°或120°三、解答题10.解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理得a/sinA=b/sinB.(2分)即√3/sinA=√2/sin45°，sin45°=√2/2，代入得√3/sinA=√2/(√2/2)=2.(4分)∴sinA=√3/2.(6分)∵a=√3>b=√2，∴∠A>∠B=45°.∴∠A=60°或120°.(8分)(Ⅱ)当∠A=60°时，∠C=180°-60°-45°=75°.由正弦定理c/sinC=b/sinB，得c=(bsinC)/sinB.(10分)sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=√2(√3+1)/4.∴c=[√2*√2(√3+1)/4]/(√2/2)=[(√3+1)/2]*2/√2=(√3+1)/√2=√2(√3+1)/2=(√6+√2)/2.(12分)当∠A=120°时，∠C=180°-120°-45°=15°.sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=√2(√3-1)/4.∴c=[√2*√2(√3-1)/4]/(√2/2)=(√3-1)/√2=(√6-√2)/2.(13分)综上，边c的长为(√6+√2)/2或(√6-√2)/2.(14分)11.解：(Ⅰ)在△ABC中，cosA=4/5，且0<A<π，∴sinA=√(1-cos²A)=3/5.(2分)由b=5c及正弦定理得sinB=5sinC.(4分)∵A+B+C=π，∴B=π-(A+C).∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=5sinC.(6分)即(3/5)cosC+(4/5)sinC=5sinC.整理得(3/5)cosC=(21/5)sinC，即cosC=7sinC.(8分)又sin²C+cos²C=1，将cosC=7sinC代入得sin²C+49sin²C=1，50sin²C=1，sin²C=1/50.(10分)∵C为三角形内角，sinC>0，∴sinC=√(1/50)=√2/10.(11分)(Ⅱ)△ABC的面积S=(1/2)bcsinA=3.(12分)由b=5c，sinA=3/5，得(1/2)(5c)c(3/5)=(3/2)c²=3.(13分)∴c²=2，c=√2，b=5√2.(14分)由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=(5√2)²+(√2)²-2*(5√2)*(√2)*(4/5)=50+2-2*5*2*(4/5)=52-16=36.∴a=6.(15分)12.解：由题意知，∠CAD=25°+35°=60°.(2分)在△BCD中，BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米.由余弦定理得cos∠BDC=(BD²+CD²-BC²)/(2*BD*CD)=(20²+21²-31²)/(2*20*21).(5分)计算得：(400+441-961)/(840)=(-120)/840=-1/7.(7分)∴sin∠BDC=√(1-cos²∠BDC)=√(1-1/49)=√(48/49)=4√3/7.(9分)在△ACD中，∠ADC=180°-∠BDC，∴sin∠ADC=sin∠BDC=4√3/7.(10分)∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=180°-60°-∠ADC=120°-∠ADC.∴sin∠ACD=sin(120°-∠ADC)=sin120°cos∠ADC-cos120°sin∠ADC.(12分)已知cos∠ADC=cos(180°-∠BDC)=-cos∠BDC=1/7.∴sin∠ACD=(√3/2)(1/7)-(-1/2)(4√3/7)=√3/14+4√3/14=5√3/14.(14分)由正弦定理得AD/sin∠ACD=CD/sin∠CAD.∴AD=(CD*sin∠ACD)/sin∠CAD=(21*5√3/14)/sin60°=(15√3/2)/(√3/2)=15(千米).(16分)答：此人在D处距A还有15千米.四、附加题13.解：(Ⅰ)由2cos²(A/2)=√3sinA，利用二倍角公式cosA=2cos²(A/2)-1，可得1+cosA=√3sinA.(2分)即√3sinA-cosA=1.化简为2sin(A-30°)=1，sin(A-30°)=1/2.(4分)∵0°<A<180°，∴-30°<A-30°<150°，∴A-30°=30°，∴A=60°.(5分)(Ⅱ)由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，a=√3，A=60°，得(√3)²=b²+c²-2bccos60°.(6分)即3=b²+c²-bc.∵b²+c²≥2bc，∴3=b²+c²-bc≥2bc-bc