北师大版七年级下册数学第五章5.3-等腰三角形专题练习

等腰三角形作为一种特殊的三角形，在平面几何的学习中占据着举足轻重的地位。它不仅自身拥有许多独特的性质，也是后续学习更复杂几何图形和证明的重要基础。本章5.3节我们学习了等腰三角形的相关知识，现在通过一系列专题练习来巩固所学，深化理解，并提升运用这些知识解决问题的能力。一、知识回顾与核心梳理在开始练习之前，我们先来回顾一下等腰三角形的核心概念与性质，这是解决所有相关问题的基石。1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*（特别地，三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它是等腰三角形的特例。）2.等腰三角形的性质：*性质1(等边对等角)：等腰三角形的两个底角相等。这是我们进行角度计算和证明角相等的重要依据。*性质2(三线合一)：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这条性质非常重要，它将等腰三角形中的角平分线、中线和高等量关系联系起来，常常在证明线段相等、角相等或垂直关系时发挥关键作用。3.等腰三角形的判定：*判定1(定义法)：有两条边相等的三角形是等腰三角形。*判定2(等角对等边)：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。这是我们判断一个三角形是否为等腰三角形的主要方法之一。4.等边三角形的性质与判定：*性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。*判定：*三条边都相等的三角形是等边三角形。*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。二、专题练习与解题指导（一）基础巩固型——夯实基础，理解概念例1：已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求其周长。分析与解答：等腰三角形的两边长已知，但未明确哪条是腰，哪条是底边，因此需要分情况讨论。情况一：当腰长为5时，三边长分别为5，5，6。此时5+5>6，满足三角形三边关系，周长为5+5+6=16。情况二：当腰长为6时，三边长分别为6，6，5。此时5+6>6，满足三角形三边关系，周长为6+6+5=17。因此，该等腰三角形的周长为16或17。解题反思：涉及等腰三角形边长问题时，若未明确腰和底，务必考虑分类讨论，并验证每种情况是否能构成三角形（即满足“三角形任意两边之和大于第三边”）。例2：在等腰三角形ABC中，∠A是顶角，且∠A=70°，求∠B和∠C的度数。分析与解答：因为ABC是等腰三角形，∠A是顶角，所以∠B=∠C（等边对等角）。三角形内角和为180°，所以∠B+∠C=180°-∠A=180°-70°=110°。因此，∠B=∠C=110°÷2=55°。解题反思：直接运用等腰三角形“等边对等角”的性质，并结合三角形内角和定理即可求解。关键是明确哪个角是顶角，哪个角是底角。练习1：等腰三角形的一个底角是40°，则它的顶角是多少度？练习2：等腰三角形的周长为18，其中一边长为4，求其他两边的长。（二）技能提升型——运用性质，巧解计算例3：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD=30°，求∠BAC和∠B的度数。（*此处应有示意图：一个等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC，AD为底边BC上的中线，连接AD*）分析与解答：因为AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知，AD既是BC边上的中线，也是∠BAC的平分线和BC边上的高。所以，∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°。在△ABD中，AD是BC边上的高，所以∠ADB=90°。因此，∠B=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-30°=60°。（或者，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，因此∠B=60°。）解题反思：“三线合一”是等腰三角形中一个非常重要的性质，它能将角的关系、线段的关系联系起来，简化计算。看到等腰三角形底边上的中线、高或顶角平分线时，要立刻想到“三线合一”。例4：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求其顶角的度数。分析与解答：此题需要注意等腰三角形的顶角可能是锐角也可能是钝角，因此高的位置可能在三角形内部或外部，需要分类讨论。情况一：当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部。此时，顶角与这条高和另一腰的夹角互余。所以顶角=90°-40°=50°。情况二：当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部。此时，顶角的补角与这条高和另一腰的夹角互余。所以顶角的补角=90°-40°=50°，因此顶角=180°-50°=130°。综上，该等腰三角形的顶角为50°或130°。解题反思：涉及等腰三角形腰上的高的问题，一定要考虑三角形的形状（锐角、直角、钝角），因为高的位置会影响角的关系。这种分类讨论的思想在几何解题中非常重要。练习3：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A的度数。（*此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，在腰AC上取一点D，使得AD=BD，BD=BC*）练习4：等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。（*此处应有示意图：等腰△ABC，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足*）（三）综合应用型——结合图形，深化理解例5：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：DE∥BC。（*此处应有示意图：△ABC，∠B=∠C，D在AB上，E在AC上，AD=AE，连接DE*）分析与证明：要证明DE∥BC，我们可以考虑证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。因为∠B=∠C，所以AB=AC（等角对等边）。又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED（等边对等角）。在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°；在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°。所以∠B+∠C=∠ADE+∠AED。因为∠B=∠C，∠ADE=∠AED，所以2∠B=2∠ADE，即∠B=∠ADE。∠B和∠ADE是直线DE和BC被直线AB所截形成的同位角，同位角相等，两直线平行。因此，DE∥BC。解题反思：本题综合运用了等腰三角形的性质（等边对等角）和判定（等角对等边），以及平行线的判定方法。解题的关键是通过角之间的关系找到平行线的判定条件。练习5：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=AE。求证：△ADE是等边三角形。（*此处应有示意图：等边△ABC，D在AB上，E在AC上，AD=AE，连接DE*）三、总结与提升通过以上专题练习，我们对等腰三角形的性质和判定有了更深入的理解和运用。在解决等腰三角形相关问题时，希望同学们能注意以下几点：1.准确理解概念：清晰掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定定理，这是解题的前提。2.灵活运用性质：特别是“等边对等角”、“等角对等边”以及“三线合一”这几个核心性质，要能在不同情境下准确识别和运用。3.注重分类讨论：当题目条件不明确时（如等腰三角形的腰与底不明确、顶角是锐角还是钝角等），要考虑进行分类讨论，避免漏解。4.善用辅助线：在等腰三角形中，底边上的高、中线、顶角的平分线是常用的辅助线，它们往往能帮助我们构建直角三角形、平分角或线段，从而找到解题的突破口。5.强化逻辑推理：几何证明题要做到每一步推理都有依据，条理清晰，书写规范。等腰三角形的知识是平面几何的入门基础，也是后续学习四边形、圆等内容的重要工具。希望同学们通过持续的练习和反思，不断提升自己的几何直观和逻辑推理能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。---练习参考答案与提示：练习1：100°。（顶角=180°-2×40°=100°）练习2：7和7。（若腰长为4，则底边长为18-4-4=10，但4+4<10，不能构成三角形；若底边长为4，则腰长为(18-4)÷2=7，7+7>4，符合题意。）练习3：36°。（提示：设∠A=x，用等腰三角形性质表示出其他角，