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件人教版九年级上册数学（新教材）数学活动人教版九年级数学（上）第25章

一元二次方程活动1：探究方程有公共解的条件已知abc≠0，下列方程：ax2+bx+c=0，

①bx2+cx+a=0，

②cx2+ax+b=0.

③给出a，b，c满足的条件，并求出方程①②③的解.恰有一个公共解。解：设三个方程的公共解为x0，则x0同时满足三个方程：ax02+bx0

+c=0，

①bx02+cx0

+a=0，

②cx02+ax0

+b=0. ③步骤1：设公共解，列方程把三个方程左右两边分别相加：(ax02+bx0

+c)+(bx02+cx0

+a)+(cx02+ax0

+b)=0.整理得：(a+b+c)x02

+(a+b+c)x0

+(a+b+c)=0.提取公因式：(a+b+c)(x02+x0

+1)=0.对于x02

+x0+1，判别式Δ=12

−

4=−3<0，所以对任意实数x0，x02+x0+1

>0，不可能为0.步骤2：三式相加，推导条件因此只能是

a+b+c=0，这就是a,b,c满足的条件.步骤3：求公共解x0已知a+b+c=0，即c=−a−b，代入方程①：ax02+bx0

−a−b

=0，因式分解：a(x02−1)+b(x0

−1)=0,(x0−1)[a(x0+1)+b]=0.所以有两种情况：❶1=0，即x0

=1❷a(x0+1)+b

=0把x0=1

代入方程①②③

验证：a·12+b·1

+c=a+b+c=0，b·12+c·1

+a=a+b+c=0，c·12+a·1

+b=a+b+c=0.所以公共解为x

=1.步骤4：求每个方程的全部解已知a+b+c=0，即c=−a−b，代入方程①：ax2+bx

−a−b

=0，因式分解：(x−1)(ax+a

+b)=0.

最终结论:a，b，c

满足的条件：a+b+c=0三个方程的公共解：x=1各方程的全部解：ax2+bx+c=0，

①bx2+cx+a=0，

②cx2+ax+b=0. ③

活动2：神奇的线段分割李明，我们来做个智力游戏吧，你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于

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