大学物理课件9量子力学

第十九章量子力学基础提示量子力学是描述微观粒子运动的基本理论，是近代物理学两大理论支柱之一。主要内容：量子力学基本概念与原理在势阱、原子结构等方面应用量子力学既适用于微观世界，也适用于宏观世界，经典物理学是其近似。相对论量子力学和非相对论量子力学。这里介绍非相对论量子力学基础。19.1波函数及其统计解释一、波函数(wavefunction)写成复数形式1.平面简谐波的波函数对振幅A、频率ν、波长λ沿x轴传播平面波式中—波矢—角频率；一般形式zyxo2.自由粒子波函数对能量E

、动量实物粒子有由波粒二象性，比照平面波波函数，得到——自由粒子状态波函数，是振幅。

1o

波函数是波（）、粒（p,E）二象性统一可以描述粒子状态，也称为态函数。这是量子力学的基本原理（假设）之一。2o

在随时间和位置变化力场空间里的粒子，其波函数要复杂一些，这时k、ν随时间空间变化二、波函数的统计解释1.玻恩统计解释▲

在空间的某一点波函数模的平方和该点找到粒子的几率成正比。▲德布罗意波不代表实在的物理量波动，而是

刻画粒子在空间的概率分布的概率波。粒子性:某处明亮则某处光子多,即N大波动性:某处明亮则某处光强大,即I大I大，光子出现概率大；I小，光子出现概率小。光子数N

I

A22.数学表示

t时刻，在端点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度。即

t时刻在端点附近d

内发现粒子的概率为：Ψrd

yxz这是玻恩给出

的统计解释。▲

不同于经典波的波函数，它无直接的。物理意义，有意义的是对单个粒子：给出粒子的概率密度分布；对N个粒子：给出粒子数的分布。三、波函数的要求波函数的有限性：

根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值。波函数的归一性：

根据波函数统计解释，在空间各点的概率总和必须为1。注意：若——归一化因子则波函数的单值性：

根据统计解释，要求波函数单值，从而保证概率密度在任意时刻都是确定的。

势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数是连续的波函数的连续性：对波函数作出的统计解释，获得1954年诺贝尔物理学奖。玻恩（M.Born，英籍德国人，1882—1970）19.2

态叠加原理一、例子分析——电子衍射

1.电子双缝干涉实验只开上缝P1只开下缝P2双缝齐开P12=P1+P2（1）子弹穿过双缝（2）光波只开上缝光强I1只开下缝光强I2双缝齐开双缝齐开时的光波为光强为+干涉项干涉项通过上缝的光波为通过下缝的光波为（3）电子电子通过双缝后，其分布类似光波情况,而不是子弹情况。电子的状态用波函数

描述P12cd只开上缝时,电子有一定的概率通过上缝,其状态用

描述,只开下缝时,电子有一定的概率通过下缝,电子的概率分布为其状态用

描述,电子的概率分布为双缝齐开时,电子可通过上缝也可通过下缝通过上、下缝各有一定的概率总的概率幅为即使只有一个电子，当双缝齐开时,它的状态就要用来描述

2.电子一般衍射情况衍射前：电子状态用确定的动量和能量的单色平面波（自由粒子波函数）描述。衍射后：电子状态Ψ

表示为p

取各种可能值的平面波的线性叠加——这是许多Ψp平面波相干叠加的结果。二、态迭加原理如果一个量子体系的互异可能状态为也是这个体系的一个可能状态。其中

Cn

2为该体系处于

n状态的概率。cn是复数则它们的线性叠加若叠加中各状态间的差异无穷小，积分代替求和：则应该用对自由粒子的平面波体系，可以取则任意波函数Ψ可以看作不同动量平面波叠加。

▲态叠加原理是粒子波动性体现，是量子力学基本原理之一。其中对一维情况，有薛定谔ErwinSchrodinger

奥地利人

1887-1961

创立量子力学获1933年诺贝尔物理学奖19.3薛定谔方程(Schrodingerequation)问题提出经典粒子微观粒子薛定谔方程一、薛定谔方程建立1.自由粒子的薛定谔方程对自由粒子，波函数是：微分,得到方程同样引入拉普拉斯算符利用——自由粒子薛定谔方程。得到2.算符规则作用一个函数而得到另一个函数运算符号能量算符：能量

E能量算符动量算符：动量动量算符其中哈密顿算符3.粒子薛定谔方程在势能为力场中，粒子能量是相应哈密顿算符为薛定谔方程4.多粒子体系二、薛定谔方程的特点对N个粒子体系，有10薛定谔方程是时间的一次微分方程，而牛顿方程是二次方程20

波函数无直接物理意义，虽是复函数，并不影响薛定谔方程结果的物理意义。30薛定谔方程的建立引用了经典结果，是非相对论结果。且方程不适合质量m=0的结果。40薛定谔方程的解满足态叠加原理若和是薛定谔方程的解，则也是薛定谔方程的解。主要原因在于薛定谔方程是线性偏微分方程。19.5定态薛定谔方程定态：能量具有确定值的状态（与t无关）左边是t的函数，右边是函数，则满足可以分离变量。与t无关，－常数满足的方程为——定态薛定谔方程由时间微分方程解得数学上看：E为何值该方程都有解。满足波函数的条件（单值、有限、连续、归一）物理上看：特定的E值称为能量本征值。10E

只有取一些特定值该方程的解才能这些特定的E值所对应的波函数称为：能量本征函数。这一方程又称为：能量本征值方程。这一波函数所描述的量子态称为定态。20对自由粒子，V=0，一维情况下，方程为：其解为这正是自由粒子的波函数，E正是粒子的能量，p正是粒子的动量。20对应于能量算符第n个本征值En的本征函数体系的相应本征波函数是则一般薛定谔方程的通解是式中cn是常系数。19.6

一维无限深势阱势阱：粒子所受力场满足其势能曲线象一个无限深的阱，称为无限深势阱，a是势阱宽度。…………

a0x势阱外：一、本征波函数求解势阱内:粒子不能跑到外面，故方程的通解为令由连续性条件：粒子能量满足相应的波函数是由归一化条件：二、讨论1.能量的量子化∎能量最小值不是零，且不连续；∎势阱尺度是原子大小时，不连续才表现明显。a0E1EnE4E3E22.驻波理解节点的位置：n=1时

,节点位置是x=0,a……a0ψnψ4ψ3ψ2ψ1驻波形成：根据波的叠加思想视为两个反向传播的平面波合成。例如：n=2时

,节点位置是x=0,a/2

，a3.粒子位置的几率分布wmax

=2/aa0|n|2|4|2|3|2|2|2|1|2几率密度是10极值情况极大：节点间中心位置

极小：节点处，，wmin=0

20宏观粒子位置几率均匀，n→∞的微观情况。19.7势垒穿透和隧道效应一、隧道效应和势垒贯穿（tunnelingeffectandbarrierpenitration)粒子所受力场满足VV0xoaEPQS设微观粒子有一定能量E

(设0

E

V0)，这种势场结构称为势垒。粒子能否穿过势垒？粒子能够穿过大于其动能的势垒的现象，称为隧道（贯穿）效应VV0xoaEPQS粒子波函数的薛定谔方程是P、S区Q区令对V0>E

时，k1、k2

是正的实数，则P、S区Q区P区Q区S区在P区，波函数是入射波反射波在Q区，波函数是在S区，波函数是S区内无反射波，有限性C´＝0。故隧道二极管（略）扫描隧穿显微镜若m、a、(V0-E)

越小，则穿透率D

越大。实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。例如：放射性核的

粒子释放（略）定义势垒的透射系数是P区Q区S区二、扫描隧穿显微镜（STM）STM(ScanningTunnelingMicroscope)是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。原理:隧道电流I与样品和针尖间的距离S关系极为敏感。势能曲线U0UE扫描探针样品ABS10ASABI

s—样品和针尖间的距离

U—加在样品和针尖间的微小电压

A—常数

—平均势垒高度定量关系：1994年中国科学院真空物理实验室的研究人员利用表面原子操纵方法，通过STM在硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均宽度为2纳米(3至4个原子)的线条。从STM获得的照片上可以看到这些线条形成“100”字样和硅原子晶格整齐排列的背景。

中国科学院化学研究所的科技人员利用自制的扫描隧道显微镜，在石墨表面上刻蚀出来的图象

由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了1986年度的诺贝尔物理奖。前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，第三人是1932年电子显微镜的发明者，以追朔他们的功劳。图示镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧道显微镜照片。48个Fe原子形成“电子围栏”，

19.8线性谐振子微观粒子的势能函数是形成线性谐振子，薛定谔方程是x0V(x)E能量量子化、能级等间距。能量间隔h

……与黑体辐射同。有零点能。E0E4E3E1E2E0其中：

19.10

氢原子几个假设：(1)原子核视为静止不动，单体问题。(2)势能与时间无关，定态问题。(3)E<0

，束缚态。一、氢原子的薛定谔方程电子薛定谔方程是r考虑球坐标系，利用坐标关系zx

y电子云L·Lz分离变量，有整理含有

三个常微分方程式中l、ml

均为常数，求解时仍应满足标准条件和归一化条件。1.主量子数和能量量子化二、量子化结果

E<0

，束缚态；能量是分立的，称为分立譜。n=1,2,…称为主量子数与玻尔理论一致。2、角量子数和角动量量子化l=0,1,2,…,n-1称为角量子数l决定电子绕核运动角动量，角动量量子化。。上式有满足要求的解的条件是决定电子的轨道。l＝0，电子穿过原子核，经典理论不能解释。l＝n－1，接近于经典理论的结果。3.磁量子数和空间量子化称为磁量子数要求电子角动量L在z方向投影Lz满足

角动量在空间的取向只有(2l+1)种可能性，称为角动量空间取向量子化。L0zLzZml

210–1–2l=2，

只有五种可能的取向。例如：空间量子化的意义：由同一个n和l

表征的微观态，又有（2l+1）个可能的不同运动取向，即（2l+1）个不同的量子态。

19.11电子的自旋一、斯特恩-盖拉赫实验(Stern-Gerlachexperiment)1.电子轨道磁矩(orbitalmagneticmoment)电子运动等效于圆周运动，则由量子理论，角动量是量子化的2.原子磁矩NSS1S2K设磁场沿z轴方向，原子所受磁力的大小为在不考虑原子核磁矩时，原子磁矩是各个电子磁矩的矢量和。（μz是磁矩的z方向分量）3.斯特恩-盖拉赫实验实验装置如图。银原子束发生偏转。银原子磁矩的量子化导致偏转量子化。二、电子自旋（electronspin

）斯特恩(O.Stern,美）1943年获诺贝尔物理奖。银原子最外层只有一个电子，且处于基态，电子角动量是零，磁矩亦是零，为什么有原子束偏转？

1925年乌伦贝克（G.E.Uhlenbeck）和古兹米特（S.Goudsmit）提出了大胆的假设：

电子不是质点，有固有的自旋角动量

和相应的自旋磁矩。

电子带负电，磁矩的方向和自旋的方向应相反。BZ相对于外磁场方向(Z),有朝上和朝下两种取向。这一经典图象受到泡利的责难。按若把电子视为r=10-16m的小球，计算出的电子表面速度>C!面对按经典图象的理解所给出的“荒谬”结果，乌、古二人(当时不到25岁)曾想撤回自旋的论文，“Youarebothyoungenoughtoallowyourselvessomefoolishness!”

但是他们的导师埃伦菲斯特(P.Ehrenfest)鼓励道：轨道角动量自旋角动量

s—自旋量子数，mS—自旋磁量子数根据量子力学，角动量是量子化的：l=0,1,2…(n-1)自旋虽然不能用经典的图象来理解，但仍然和角动量有关。相对论量子力学得出：“自旋”不是一个经典的概念。电子自旋是电子的一种“内禀”运动，不能视为小球自转。

——玻耳磁子（Bohrmagneton）自旋和物理学的三个方面有关:

经典的转动概念

角动量量子化

狭义相对论杨振宁:“自旋”,自然杂志6(1983),247氢原子的状态必须用四个量子数才能完全确定。主量子数决定电子的能量。角量子数